突破讲练二 乘、除法的意义和各部分间的关系（第一单元 四则运算）知识梳理+六大题型讲练+优选题拔尖练 共44题-2025-2026学年人教版数学四年级下册专项培优讲练

突破讲练二 乘、除法的意义和各部分间的关系 （第一单元 混合运算） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 乘、除法的意义和各部分间的关系 1 知识点二 积或商的变化规律 1 重点难点 题型讲练 2 题型一：乘、除法的意义 2 题型二：根据乘、除法的意义直接写出算式及得数 2 题型三：错中求解（根据乘、除法的意义） 3 题型四：列式计算（根据乘、除法的意义） 3 题型五：计算并验算（根据乘、除法的意义） 4 题型六：实际应用（根据乘、除法的意义） 5 培优检测 能力提升 6 知识点一 乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 （2）乘法各部分间的关系：积=因数×因数；因数=积÷另一个因数。 2. 除法。 （1）除法是已知两个因数的积和其中的一个因数求另一个因数的运算。 （2）除法各部分间的关系： 商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。 （补充：在有余数的情况下，被除数=商×除数+余数） 3. 除法是乘法的逆运算 知识点二 积或商的变化规律 1. 积的变化规律 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 2. 积不变规律 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 3 商的变化规律。 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 4. 商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 题型一：乘、除法的意义 【典例精讲】除数＝( )（没有余数）。被减数＝( )。 【变式训练1】（23-24四年级下·广东江门·期末）把两个数合并成一个数的运算，叫作乘法。( )（判断对错） 【变式训练2】我们学过的加、减、乘、除四种运算统称( )。 【变式训练3】在有余数的除法里，被除数＝( )。 题型二：根据乘、除法的意义直接写出算式及得数 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）根据714÷17＝42，写出一道乘法算式和一道除法算式分别是( )和( )。 【变式训练1】（24-25四年级下·全国·课后作业）根据乘、除法各部分间的关系，写出另外两个等式。 16×74＝1184         1786÷38＝47 _______________  _______________      _______________  _______________ 【变式训练2】（24-25四年级下·河南新乡·期末）根据32×14＝448，可以知道448÷14＝( )，还可以根据商的变化规律再写出一个除法算式：( )。 【变式训练3】（24-25四年级下·江西南昌·期末）请根据38×26＝988，直接写出下面算式的得数。 988÷38＝( )    988÷26＝( ) 题型三：错中求解（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（24-25四年级下·河南许昌·期末）明明在计算除法时，错把除数36写成了63，得到的商是12，那么被除数是( )，正确的商是( )。 【变式训练1】（24-25四年级下·江西南昌·期末）小明同学在计算时，最后一步应减去22，他却除以22，得到的错误结果是15，正确结果应是( )。 【变式训练2】（24-25四年级下·云南昭通·期中）马小虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写成8，结果得到的差是284，正确的差是( )。 【变式训练3】（24-25四年级下·江西赣州·期中）轩轩在算一道除法算式时，错把除数54写成了45，结果商是19，余数是9，那么正确的结果是( )。 题型四：列式计算（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（24-25四年级下·四川凉山·期末）列综合算式计算。 368除以一个数，商是15，余数是8，这个数是多少？ 【变式训练1】．（24-25四年级下·江西吉安·期末）列式计算。 从780里面减去12个45，差是多少？ 【变式训练2】（24-25四年级下·江西吉安·期末）列式计算。 从780里面减去12个45，差是多少？ 【变式训练3】（24-25四年级下·江西吉安·期末）列式计算。 一个数的5倍是280，这个数的12倍是多少？ 题型五：计算并验算（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（24-25四年级下·云南昭通·期中）用竖式计算，并用加、减、乘、除法各部分之间的关系进行验算。 540－282＝        768÷64＝        475＋689＝        204×37＝ 【变式训练1】（23-24四年级下·广东江门·开学考试）列竖式计算下面各题，并利用加、减法或乘、除法各部分关系进行验算。 812－455＝          754÷29＝ 【变式训练2】（23-24四年级下·湖北荆州·期中）列竖式计算，并利用乘、除法各部分间的关系进行验算。 105×28＝验算：            884÷26＝验算： 【变式训练3】用竖式计算。（带※的要求验算） ①              ②             ③ 题型六：实际应用（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）健步走能提高人的基本活动能力、对环境的适应能力和抗病力，是人们喜爱的一种运动方式。 专家建议 健步走时，可以根据个人需要，选择合适的速度。每次走30~60分钟，累计不少于6000步，能达到最佳的锻炼效果。 张老师今天计划健步走55分钟。先用15分钟走完1500步，剩余时间按照平均每分钟120步的速度走完。张老师按照今天的健步走计划，她能达到最佳锻炼效果了吗？ 【变式训练1】（23-24四年级下·福建莆田·期末）明明爸爸根据百度地图查询知道，福州到莆田全程大约是120千米。而明明爸爸开车行驶30千米，要用去2升汽油。照这样计算，他们全家人自驾从福州到莆田一共需要多少升汽油？ 【变式训练2】（23-24四年级上·全国·单元测试）猴子们一起分桃子，如果每只猴子分得2个桃子，那么还剩下10个桃子；如果每只猴子分得4个桃子，就只剩下2个桃子，请问一共有多少只猴子？这堆桃子一共有多少个？ 【变式训练3】星光小学体育小组的同学去公园骑自行车，其中男同学有18人，女同学有8人。租车的价格如下，怎样租车最省钱？需要多少钱？                  两人自行车20元/时      　三人自行车25元/时 1．（24-25四年级下·全国·课后作业）已知☐÷24＝2，求☐里的数。下面方法正确的是（    ）。 A．24÷2 B．24－2 C．24×2 D．24＋2 2．（24-25四年级下·江西南昌·期中）下面的算式中，结果一定等于0的是（    ）。 A． B． C． 3．（24-25四年级下·浙江杭州·期末）一个除法算式中被除数是120，则“被除数＋除数×商”的结果是（    ）。 A．143 B．162 C．240 D．241 4．（24-25四年级下·河南驻马店·期末）体育用品商店开展促销活动，排球销售方法如图所示，学校要买12个排球至少要花（    ）元钱。 今日排球售价 买1个20元 买2个38元 买3个51元 A．190 B．204 C．288 5．（24-25四年级下·河南许昌·期末）已知△÷○＝☐，☆＋◎＝■。那么下面算式正确的是（    ）。 A．△÷☐＝○ B．☆＋■＝◎ C．○÷☐＝△ D．■＋◎＝☆ 6．（24-25四年级下·全国·课后作业）在（   ）里填上合适的数。 8＋0＝( )      50×( )＝0      19÷19＝( )    ( )×36－72＝0 18×( )＝90   ( )÷12＝40   ( )×26＝650   184÷( )＝12……4 7．（24-25四年级下·河北廊坊·期末）根据3345＋678＝4023，可以直接得出4023－3345＝( )。根据314×26＝8164，可以直接得出8164÷26＝( )。 8．（24-25四年级下·四川南充·期末）1040减去一个数得746，这个数是( )；被除数是283，商是16，余数是11，则除数是( )。 9．（24-25四年级下·四川凉山·期末）两个不为零的数的差是0，则商一定是1。( )（判断对错） 10．（24-25四年级下·云南楚雄·期末）在有意义且没有余数的除法算式里，如果被除数不为0，那么被除数÷（除数×商）＝1。( )（判断对错） 11．（24-25四年级下·全国·课后作业）用竖式计算下面各题，带★的要验算。 347＋125＝         306×35＝                ★384÷32＝ 12．（24-25四年级下·广东汕头·期末）列式计算。 625除以25的商加上16乘29的积，和是多少？ 13．（24-25四年级下·福建福州·期末）六一节，黎明小学四（1）班家委为班级每位同学都准备了一个汉堡和一瓶牛奶，全班一共有45人，一共需要花多少元钱？ 14．（24-25四年级下·江西赣州·期末）妈妈给爷爷奶奶、外公外婆每人买了2套同一品牌同一价格的保暖内衣，每套保暖内衣的价格是125元，妈妈买保暖内衣一共花了多少元？ 15．（24-25四年级下·山东日照·期末）使用DeepSeek R1模型可以辅助编程，已知该模型在处理复杂编程任务时，平均每分析10行代码需要120秒。知夏爸爸用它分析150行代码，大约需要多少秒？ 16．（24-25四年级下·河南开封·期末）2025年春节联欢晚会由张艺谋导演的舞蹈《秧BOT》，一群黑色机器人穿着东北花棉袄和演员们一起扭着秧歌，精准的动作让我们见证科技的强盛。 （1）机器人转手绢每秒能转50转，10分钟能转______转。解决这个问题我们可以先算______。 （2）机器人跳舞是由代码控制完成。在学校科技活动中，四年级兴趣小组的成员根据“互动小贴士”输入代码即可让机器人跳舞。请求出该数字代码。 17．（24-25四年级下·河南洛阳·期末）从2025年春季学期开始，洛阳市小学生迎来了“每天体育两小时”的新规定，为了丰富学生体育活动器材，向阳小学体育组老师购买了一些体育用品，如下图： 篮球足球 ①老师买这些体育用品一共用去758元。②一个排球的价钱是48元。 ③一个足球的价钱是102元。④老师带了1000元去买体育用品。 （1）要解决“一个篮球多少钱？”这个问题，需要知道哪些信息？从上面的信息中选择（    ）。（填序号） （2）请列式解答。 18．（24-25四年级下·福建莆田·期末）莆田市历史底蕴深厚，素有“海滨邹鲁”、“文献名邦”之美称，因其丰富的自然资源和独特的地理环境，孕育了丰富多样的莆仙文化。今年端午节期间，百艘龙舟巡游木兰溪10公里活动，吸引来自福州的小朋友明明一家人过来观光。明明爸爸根据百度地图查询知道，福州到莆田全程大约是120千米。而明明爸爸开车行驶30千米，要用去2升汽油。照这样计算，他们全家人自驾从福州到莆田一趟需要多少升汽油？ 19．（24-25四年级下·福建漳州·期末）妙妙亲子活动团想选择“懒人赏景”模式，骑着观光自行车感受大自然的美。妙妙亲子活动团共有26人，怎样租车最划算？需要多少钱？ 观光自行车有两种规格： 四人车：限坐4人，每辆租金30元。 六人车：限坐6人，每辆租金40元。 20.新冠疫情期间，来自全国的物资源源不断的运到武汉，有一批62吨的物资要从北京运往武汉。如果租大货车每次可运10吨，每次运费7000元；如果租小货车每次可运4吨，每次运费3200元。怎样租车最省钱？需要多少钱？（大小货车可搭配租） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练二 乘、除法的意义和各部分间的关系 （第一单元 混合运算） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 乘、除法的意义和各部分间的关系 1 知识点二 积或商的变化规律 1 重点难点 题型讲练 2 题型一：乘、除法的意义 2 题型二：根据乘、除法的意义直接写出算式及得数 3 题型三：错中求解（根据乘、除法的意义） 4 题型四：列式计算（根据乘、除法的意义） 5 题型五：计算并验算（根据乘、除法的意义） 6 题型六：实际应用（根据乘、除法的意义） 9 培优检测 能力提升 12 知识点一 乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 （2）乘法各部分间的关系：积=因数×因数；因数=积÷另一个因数。 2. 除法。 （1）除法是已知两个因数的积和其中的一个因数求另一个因数的运算。 （2）除法各部分间的关系： 商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。 （补充：在有余数的情况下，被除数=商×除数+余数） 3. 除法是乘法的逆运算 知识点二 积或商的变化规律 1. 积的变化规律 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 2. 积不变规律 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 3 商的变化规律。 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 4. 商不变规律（商不变性质）。 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 题型一：乘、除法的意义 【典例精讲】除数＝( )（没有余数）。被减数＝( )。 【答案】 被除数÷商 减数＋差/差＋减数 【思路引导】根据被除数÷除数＝商，可以知道除数＝被除数÷商；根据被减数-减数＝差，可以知道被减数＝减数＋差，或被减数＝差＋减数，举例说明。 【规范解答】比如28÷4＝7，那么4＝28÷7；28-4＝24，那么28＝4＋24或28＝24＋4，所以除数＝被除数÷商，被减数＝减数＋差或被减数＝差＋减数。 【变式训练1】（23-24四年级下·广东江门·期末）把两个数合并成一个数的运算，叫作乘法。( )（判断对错） 【答案】× 【规范解答】把两个数合并成一个数的运算，叫作加法。例如5＋2＝7；求几个相同加数的和的简便运算，叫作乘法；例如3×4＝12；原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练2】我们学过的加、减、乘、除四种运算统称( )。 【答案】四则运算 【规范解答】加、减、乘、除四种运算统称四则运算。 【变式训练3】在有余数的除法里，被除数＝( )。 【答案】商×除数＋余数 【思路引导】在有余数的除法中，被除数÷除数＝商……余数，被除数＝商×除数＋余数，除数＝（被除数－余数）÷商，余数＝被除数－除数×商，据此解答即可。 【规范解答】在有余数的除法里，被除数＝商×除数＋余数。 【考点剖析】此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答。 题型二：根据乘、除法的意义直接写出算式及得数 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课后作业）根据714÷17＝42，写出一道乘法算式和一道除法算式分别是( )和( )。 【答案】 【思路引导】先明确除法算式中各部分的名称，再根据乘除法的互逆关系，分别写出对应的乘法算式和除法算式。 【规范解答】除数×商＝被除数：； 被除数÷商＝除数：。 所以：根据714÷17＝42，写出一道乘法算式和一道除法算式分别是和。 【变式训练1】（24-25四年级下·全国·课后作业）根据乘、除法各部分间的关系，写出另外两个等式。 16×74＝1184         1786÷38＝47 _______________  _______________      _______________  _______________ 【答案】 1184÷16＝74 1786÷47＝38 1184÷74＝16 47×38＝1786 【思路引导】乘法各部分间的关系：积＝因数×因数，因数＝积÷另一个因数 除法各部分间的关系：商＝被除数÷除数，除数＝被除数÷商，被除数＝商×除数 【规范解答】，根据乘法各部分间的关系可以写出另外两个等式：； ，根据除法各部分间的关系可以写出另外两个等式：； 【变式训练2】（24-25四年级下·河南新乡·期末）根据32×14＝448，可以知道448÷14＝( )，还可以根据商的变化规律再写出一个除法算式：( )。 【答案】 32 224÷7＝32（答案不唯一） 【思路引导】根据乘法与除法的互逆关系，因数×因数＝积，那么积÷一个因数＝另一个因数。已知32×14＝448，这里32和14是因数，448是积； 商的变化规律是：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。据此解答。 【规范解答】448÷14＝32 被除数和除数同时除以2，商不变，即224÷7＝32。答案不唯一，只要符合商的变化规律即可。 所以，根据32×14＝448，可以知道448÷14＝32，还可以根据商的变化规律再写出一个除法算式：224÷7＝32。 【变式训练3】（24-25四年级下·江西南昌·期末）请根据38×26＝988，直接写出下面算式的得数。 988÷38＝( )    988÷26＝( ) 【答案】 26 38 【思路引导】根据乘、除法的意义和各部分间的关系，因数×因数＝积，则积÷一个因数＝另一个因数，据此判断。 【规范解答】根据38×26＝988，则988÷38＝26，988÷26＝38。 题型三：错中求解（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（24-25四年级下·河南许昌·期末）明明在计算除法时，错把除数36写成了63，得到的商是12，那么被除数是( )，正确的商是( )。 【答案】 756 21 【思路引导】先用错误的除数63乘商12，求出原来的被除数，再用被除数除以除数36，求出正确的商，据此解答即可。 【规范解答】63×12＝756 756÷36＝21 明明在计算除法时，错把除数36写成了63，得到的商是12，那么被除数是756，正确的商是21。 【变式训练1】（24-25四年级下·江西南昌·期末）小明同学在计算时，最后一步应减去22，他却除以22，得到的错误结果是15，正确结果应是( )。 【答案】308 【思路引导】由题意得，小明同学在计算时，最后一步应减去22，他却除以22，得到的错误结果是15。可以先用15乘22算出得数，也就是算最后一步之前的结果，然后再减去22即可算出正确的结果。 【规范解答】15×22－22 ＝330－22 ＝308 因此，正确结果应是308。 【变式训练2】（24-25四年级下·云南昭通·期中）马小虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写成8，结果得到的差是284，正确的差是( )。 【答案】234 【思路引导】把被减数十位上的3看成了8，也就是说被减数多了50，即差多了50，用所得的差减50即可解答． 【规范解答】8－3＝5 5×10＝50 284－50＝234 所以正确的差应该是234。 【变式训练3】（24-25四年级下·江西赣州·期中）轩轩在算一道除法算式时，错把除数54写成了45，结果商是19，余数是9，那么正确的结果是( )。 【答案】16 【思路引导】根据被除数＝除数×商＋余数，用错误的除数乘错误的商，再加上错误的余数，求出正确的被除数。再用正确的被除数除以正确的除数解答。 【规范解答】45×19＋9 ＝855＋9 ＝864 864÷54＝16 正确的结果是16。 题型四：列式计算（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（24-25四年级下·四川凉山·期末）列综合算式计算。 368除以一个数，商是15，余数是8，这个数是多少？ 【答案】24 【思路引导】有余数的除法算式为：被除数÷除数＝商……余数，根据除数＝（被除数－余数）÷商，计算即可。 【规范解答】（368－8）÷15 ＝360÷15 ＝24 这个数是24。 【变式训练1】．（24-25四年级下·江西吉安·期末）列式计算。 从780里面减去12个45，差是多少？ 【答案】240 【思路引导】先算12乘45的积，再用780减去12乘45的积求出差，列式为780－12×45，先算乘法，再算减法，据此解答。 【规范解答】780－12×45 ＝780－540 ＝240 所以差是240。 【变式训练2】（24-25四年级下·江西吉安·期末）列式计算。 从780里面减去12个45，差是多少？ 【答案】240 【思路引导】先求出12个45是多少，用乘法，再用780减去这个积得到差。 【规范解答】780－12×45 ＝780－540 ＝240 所以从780里面减去12个45，差是240。 【考点剖析】本题考查整数的四则混合运算，要明确先算什么，再算什么。 【变式训练3】（24-25四年级下·江西吉安·期末）列式计算。 一个数的5倍是280，这个数的12倍是多少？ 【答案】672 【思路引导】根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答，求是多少，用乘法解答。 【规范解答】280÷5×12 ＝56×12 ＝672 所以这个数的12倍是672。 题型五：计算并验算（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（24-25四年级下·云南昭通·期中）用竖式计算，并用加、减、乘、除法各部分之间的关系进行验算。 540－282＝        768÷64＝        475＋689＝        204×37＝ 【答案】258；12；1164；7548 【思路引导】三位数减三位数的竖式计算，相同数位对齐，从个位减起。当哪一位上的数不够减，要从前一位退1当10，和这一位数合起来继续减。如果前一位上是0，则继续向前一位借。验算时，可以用差＋减数＝被减数，或者被减数－差＝减数。 除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。验算方法是商×除数＝被除数，或被除数÷商＝除数。 三位数加三位数的竖式计算，相同数位对齐，从个位加起。哪一位相加满十就向前一位进1。验算时用和－一个加数＝另一个加数。 三位数乘两位数的竖式计算时，个位对齐。先用两位数个位上的数和三位数的每一位上的数相乘，乘得结果和个位对齐，再用两位数十位上的数和三位数的每一位上的数相乘，乘得结果和十位对齐。最后把两次乘得结果相加。据此解答即可。验算时，可以用积÷一个因数＝另一个因数。 【规范解答】540－282＝258             768÷64＝12 验算          验算 475＋689＝1164                           204×37＝7548 验算             验算 【变式训练1】（23-24四年级下·广东江门·开学考试）列竖式计算下面各题，并利用加、减法或乘、除法各部分关系进行验算。 812－455＝          754÷29＝ 【答案】357；26 【思路引导】减法的退位法则：相同数位要对齐，从个位算起，两数相减，个位不够减向十位借一当十，以此类推；减法用差＋减数＝被减数进行验算； 多位数除法法则：从被除数的高位除起，除数有几位，就看被除数的前几位，如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，如果不够除，就在这一位上商0，每次除得的余数必须比除数小，并在余数右边一位落下被除数在这一位上的数，再继续除即可。除法用商×除数＝被除数进行验算。 【规范解答】812－455＝357        754÷29＝26 验算：      验算： 【变式训练2】（23-24四年级下·湖北荆州·期中）列竖式计算，并利用乘、除法各部分间的关系进行验算。 105×28＝验算：                           884÷26＝验算： 【答案】2940；34 【思路引导】整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数。 除法各部分间的关系：在没有余数的除法里，商×除数＝被除数。 三位数乘两位数的笔算：用两位数的个位和十位分别去乘三位数的每一位。用哪一位去乘，乘得的积的末尾就和那一位对齐，最后再把几次乘得的积相加。 乘法各部分间的关系：积＝因数×因数，因数＝积÷另一个因数。 【规范解答】105×28＝2940 验算：                 884÷26＝34 验算： 【变式训练3】用竖式计算。（带※的要求验算） ①              ②             ③ 【答案】7380；23800；8856 【思路引导】三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位与三位数相乘；接着两位数的十位与三位数相乘，最后把两次乘得的积相加；当乘数末尾有0时，可先不让0参与计算，最后将0的个数补在积的末尾处即可。乘法验算时，交换两个因数的位置，看是不是等于积。 【规范解答】                 验算： 题型六：实际应用（根据乘、除法的意义） 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）健步走能提高人的基本活动能力、对环境的适应能力和抗病力，是人们喜爱的一种运动方式。 专家建议 健步走时，可以根据个人需要，选择合适的速度。每次走30~60分钟，累计不少于6000步，能达到最佳的锻炼效果。 张老师今天计划健步走55分钟。先用15分钟走完1500步，剩余时间按照平均每分钟120步的速度走完。张老师按照今天的健步走计划，她能达到最佳锻炼效果了吗？ 【答案】能 【思路引导】用计划健步总时间减去15分针，求出剩余时间，再乘剩余时间里的走路速度，求出剩余时间里走路长度，再加上15分钟里走路长度，求出走路总长度，再与6000步比较大小。 【规范解答】55－15＝40（分钟） 120×40＝4800（步） 4800＋1500＝6300（步） 6300＞6000 答：她能达到最佳锻炼效果。 【变式训练1】（23-24四年级下·福建莆田·期末）明明爸爸根据百度地图查询知道，福州到莆田全程大约是120千米。而明明爸爸开车行驶30千米，要用去2升汽油。照这样计算，他们全家人自驾从福州到莆田一共需要多少升汽油？ 【答案】8升 【思路引导】先算出120千米是30千米的几倍，从福州到莆田用的汽油就应该是用去几个2升，列式为120÷30×2。 【规范解答】120÷30×2 ＝4×2 ＝8（升） 答：他们全家人自驾从福州到莆田一共需要8升。 【变式训练2】（23-24四年级上·全国·单元测试）猴子们一起分桃子，如果每只猴子分得2个桃子，那么还剩下10个桃子；如果每只猴子分得4个桃子，就只剩下2个桃子，请问一共有多少只猴子？这堆桃子一共有多少个？ 【答案】4只；18个 【思路引导】我们可以简单画出两次分配的示意图： 对比两次分配过程，我们可以发现：第二次与第一次相比，每只猴子多分到了2个桃子，剩下的桃子少了8个也就是说一共多分出去了8个桃子，我们可以这样思考：从第一次分完剩下的10个桃子中再拿出8个桃子分给猴子，每只猴子可以再分到2个桃子，因此可以用8除以2算出猴子数量，再代入第一次（或第二次）分配过程计算桃子数量。 根据本题我们可以去总结“盈盈型”的解题方法： ①大盈（多的余数）－小盈（少的余数）＝总数差 ②每份多的－每份少的＝每份差 ③总数差÷每份差＝份数 【规范解答】总数差：10－2＝8（个） 每份差：4－2＝2（个） 猴子：8÷2＝4（只） 桃子：4×2＋10＝8＋10＝18（个）或4×4＋2＝16＋2＝18（个） 答：一共有4只猴子，18个桃子。 【考点剖析】本题考查学生分析问题和解决问题的能力，解决这类问题关键是知道（大盈－小盈）÷两次每人分得之差＝份数。 【变式训练3】星光小学体育小组的同学去公园骑自行车，其中男同学有18人，女同学有8人。租车的价格如下，怎样租车最省钱？需要多少钱？                  两人自行车20元/时      　三人自行车25元/时 【答案】8辆三人自行车，1辆两人自行车，220元 【思路引导】先看求出两种自行车平均每人需要的钱数，确定哪种自行车最省钱，尽量多的租省钱的自行车，再尽可能的不剩余座位即可。 【规范解答】20÷2＝10（元）   25÷3＝8（元）……1（元） 10＞8 所以租三人自行车省钱。 18＋8＝26（人） 26÷3＝8（辆）……2（人） 25×8＋20 ＝200＋20 ＝220（元） 答：租8辆三人自行车，1辆两人自行车最省钱，需要220元钱。 【考点剖析】本题考查了租车问题，原则是单价低、不空座。 1．（24-25四年级下·全国·课后作业）已知☐÷24＝2，求☐里的数。下面方法正确的是（    ）。 A．24÷2 B．24－2 C．24×2 D．24＋2 【答案】C 【思路引导】根据题意可以算出☐里的数，进而选择正确的结果。 【规范解答】根据分析可知：被除数＝除数×商，故☐＝。 故正确答案为：C 2．（24-25四年级下·江西南昌·期中）下面的算式中，结果一定等于0的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】任何数加0都等于这个数本身；任何数减0都等于这个数本身；0乘任何数都等于0，据此选择即可。 【规范解答】A．□＋0＝□，结果不等于0，不符合题意； B．□－0＝□，结果不等于0，不符合题意； C．□×0＝0，结果一定等于0，符合题意。 所以，结果一定等于0的是□×0。 故答案为：C 3．（24-25四年级下·浙江杭州·期末）一个除法算式中被除数是120，则“被除数＋除数×商”的结果是（    ）。 A．143 B．162 C．240 D．241 【答案】C 【思路引导】根据除法算式各部分的关系，被除数＝除数×商，因此“被除数＋除数×商”可转化为被除数＋被除数，即120＋120。 【规范解答】由分析知：被除数＝除数×商。已知被除数是120，则除数×商＝120。 因此：被除数＋除数×商＝120＋120＝240。 故答案为：C 4．（24-25四年级下·河南驻马店·期末）体育用品商店开展促销活动，排球销售方法如图所示，学校要买12个排球至少要花（    ）元钱。 今日排球售价 买1个20元 买2个38元 买3个51元 A．190 B．204 C．288 【答案】B 【思路引导】单个买的单价是20元，2个一组买的单价是38÷2＝19（元），3个一组买的单价是51÷3＝17（元），17＜19＜20，因此最便宜的购物方法是3个一组的买，买12个即是买12÷3＝4（组），再用3个的钱数×4即可解题。 【规范解答】38÷2＝19（元） 51÷3＝17（元） 17＜19＜20，所以3个3个的买最便宜。 12÷3＝4（组） 51×4＝204（元） 体育用品商店开展促销活动，排球销售方法如图所示，学校要买12个排球至少要花204元钱。 今日排球售价 买1个20元 买2个38元 买3个51元 故答案为：B 5．（24-25四年级下·河南许昌·期末）已知△÷○＝☐，☆＋◎＝■。那么下面算式正确的是（    ）。 A．△÷☐＝○ B．☆＋■＝◎ C．○÷☐＝△ D．■＋◎＝☆ 【答案】A 【思路引导】根据题意，被除数÷除数＝商，被除数÷商＝除数，被除数＝除数×商，加数＋加数＝和，和－一个加数＝另一个加数，根据已知等式△÷○＝☐和☆＋◎＝■，逐一验证各选项的正确性。 【规范解答】根据分析可知： A．由△÷○＝☐，根据被除数÷商＝除数，得△÷☐＝○。此选项正确。 B．由☆＋◎＝■，根据和－一个加数＝另一个加数，得◎＝■－☆，而非☆＋■＝◎。此选项错误。 C．由△÷○＝☐，根据被除数＝除数×商，可得△＝○×☐，而○÷☐＝△不成立。此选项错误。 D．由☆＋◎＝■，根据和－一个加数＝另一个加数，得☆＝■－◎，而非■＋◎＝☆。此选项错误。 故答案为：A 6．（24-25四年级下·全国·课后作业）在（   ）里填上合适的数。 8＋0＝( )      50×( )＝0      19÷19＝( )    ( )×36－72＝0 18×( )＝90   ( )÷12＝40   ( )×26＝650   184÷( )＝12……4 【答案】 8 0 1 2 5 480 25 15 【思路引导】本题主要考查了整数的四则运算，包括加法、乘法、除法以及混合运算，通过已知的运算关系求出未知的数。 【规范解答】根据任何数加0都等于它本身的性质，可得 因为0乘任何数都得0，所以50乘0等于0，即 一个非零数除以它本身结果为1，所以 先将原式变形为，再根据因数＝积÷另一个因数，可得，即 根据因数＝积÷另一个因数，可得，即 根据被除数＝商×除数，可得，即 根据因数＝积÷另一个因数，可得，即 根据除数＝（被除数余数）÷商，可得，即 7．（24-25四年级下·河北廊坊·期末）根据3345＋678＝4023，可以直接得出4023－3345＝( )。根据314×26＝8164，可以直接得出8164÷26＝( )。 【答案】 678 314 【思路引导】根据加减法和乘除法的互逆关系，和减去一个加数等于另一个加数；积除以一个因数等于另一个因数；可以直接写出对应的减法算式和除法算式的答案。 【规范解答】根据分析可知： 根据3345＋678＝4023，可以直接得出4023－3345＝678。根据314×26＝8164，可以直接得出8164÷26＝314。 8．（24-25四年级下·四川南充·期末）1040减去一个数得746，这个数是( )；被除数是283，商是16，余数是11，则除数是( )。 【答案】 294 17 【思路引导】求减数，根据被减数－差＝减数，解答即可；求除数，根据被除数＝商×除数＋余数，除数＝（被除数－余数）÷商解答即可。 【规范解答】1040－746＝294 （283－11）÷16 ＝272÷16 ＝17 所以1040减去一个数得746，这个数是294；被除数是283，商是16，余数是11，则除数是17。 9．（24-25四年级下·四川凉山·期末）两个不为零的数的差是0，则商一定是1。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】两个不为零的数的差为0，说明这两个数相等。根据除法的意义，一个非零数除以它本身，商为1。依此举例并判断即可。 【规范解答】假如两个不为零的数为10， 10－10＝0 10÷10＝1 两个不为零的数的差是0，则商一定是1。原题说法正确。 故答案为：√ 10．（24-25四年级下·云南楚雄·期末）在有意义且没有余数的除法算式里，如果被除数不为0，那么被除数÷（除数×商）＝1。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意，在整除的除法中，被除数＝除数×商。将这一关系代入被除数÷（除数×商）中，即可得出结果。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 根据除法算式的关系，被除数＝除数×商。因此，被除数÷（除数×商）＝（除数×商）÷（除数×商）＝1。说法正确。 故答案为：√ 11．（24-25四年级下·全国·课后作业）用竖式计算下面各题，带★的要验算。 347＋125＝         306×35＝                ★384÷32＝ 【答案】472；10710；12 【思路引导】根据加法、乘法、除法的竖式计算方法列竖式，并用逆运算进行验算。 【规范解答】 验算： 12．（24-25四年级下·广东汕头·期末）列式计算。 625除以25的商加上16乘29的积，和是多少？ 【答案】489 【思路引导】根据题意，先用625除以25，求出商，再计算16乘29，求出乘积，最后把两数相加，求出和，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 625÷25＋16×29 ＝25＋464 ＝489 答：和是489。 13．（24-25四年级下·福建福州·期末）六一节，黎明小学四（1）班家委为班级每位同学都准备了一个汉堡和一瓶牛奶，全班一共有45人，一共需要花多少元钱？ 【答案】1080元 【思路引导】用一个汉堡的钱数×人数，计算出买汉堡的总钱数，再用一瓶牛奶的钱数×人数，计算出买牛奶的总钱数，然后加一起即可。 【规范解答】16×45＋8×45 ＝720＋360 ＝1080（元） 答：一共需要花1080元钱。 14．（24-25四年级下·江西赣州·期末）妈妈给爷爷奶奶、外公外婆每人买了2套同一品牌同一价格的保暖内衣，每套保暖内衣的价格是125元，妈妈买保暖内衣一共花了多少元？ 【答案】1000元 【思路引导】根据题意可知，妈妈给4个人，每人买2套保暖内衣，一共买了（2×4）套保暖内衣。用每套保暖内衣的价钱乘购买保暖内衣的数量，求出花费总钱数。 【规范解答】2×4×125 ＝8×125 ＝1000（元） 答：妈妈买保暖内衣一共花了1000元。 15．（24-25四年级下·山东日照·期末）使用DeepSeek R1模型可以辅助编程，已知该模型在处理复杂编程任务时，平均每分析10行代码需要120秒。知夏爸爸用它分析150行代码，大约需要多少秒？ 【答案】1800秒 【思路引导】已知平均每分析10行代码需要120秒，用除法先计算出分析1行代码需要的时间，再乘要分析的150行代码，即可得到总时间。 【规范解答】120÷10×150 ＝12×150 ＝1800（秒） 答：大约需要1800秒。 16．（24-25四年级下·河南开封·期末）2025年春节联欢晚会由张艺谋导演的舞蹈《秧BOT》，一群黑色机器人穿着东北花棉袄和演员们一起扭着秧歌，精准的动作让我们见证科技的强盛。 （1）机器人转手绢每秒能转50转，10分钟能转______转。解决这个问题我们可以先算______。 （2）机器人跳舞是由代码控制完成。在学校科技活动中，四年级兴趣小组的成员根据“互动小贴士”输入代码即可让机器人跳舞。请求出该数字代码。 【答案】（1）30000；1分钟能转的转数；（2）5959 【思路引导】（1）1分钟＝60秒，解决这个问题可以先用50乘60求出1分钟转的转数，再乘10等于10分钟能转的转数，据此即可解答。 （2）根据一个因数等于积除以另一个因数可以求出A的值，根据一个加数等于和减去另一个加数可以求出B的值，再根据A、B的值写出数字代码ABAB是多少，据此即可解答。 【规范解答】（1）1分钟＝60秒 50×60×10 ＝3000×10 ＝30000 机器人转手绢每秒能转50转，10分钟能转30000转。解决这个问题我们可以先算1分钟能转的转数。（第二个空答案不唯一） （2）79×A＝395 A＝395÷79 A＝5 289＋B＝298 B＝298－289 B＝9 所以，ABAB为5959。 答：数字代码为5959。 17．（24-25四年级下·河南洛阳·期末）从2025年春季学期开始，洛阳市小学生迎来了“每天体育两小时”的新规定，为了丰富学生体育活动器材，向阳小学体育组老师购买了一些体育用品，如下图： 篮球足球 ①老师买这些体育用品一共用去758元。②一个排球的价钱是48元。 ③一个足球的价钱是102元。④老师带了1000元去买体育用品。 （1）要解决“一个篮球多少钱？”这个问题，需要知道哪些信息？从上面的信息中选择（    ）。（填序号） （2）请列式解答。 【答案】（1）①③ （2）146元 【思路引导】（1）由题可知，老师买这些体育用品中有1个篮球和6个足球，要想求出一个篮球的钱数，需要知道一共用去的钱数和一个足球的价钱，故应选择条件①和③，不涉及排球，故不选择条件②，老师带了1000元，但不知道找回的钱数，故也不选择条件④。 （2）根据题意，先用购买足球的数量乘一个足球的价钱，求出足球一共用去的钱数，再用一共用去的钱数减去足球用去的钱数，即可求出一个篮球的价钱。 【规范解答】由分析可得的： （1）要解决“一个篮球多少钱？”这个问题，条件需要选择①③。 （2）758－102×6 ＝758－612 ＝146（元） 答：一个篮球146元钱。 18．（24-25四年级下·福建莆田·期末）莆田市历史底蕴深厚，素有“海滨邹鲁”、“文献名邦”之美称，因其丰富的自然资源和独特的地理环境，孕育了丰富多样的莆仙文化。今年端午节期间，百艘龙舟巡游木兰溪10公里活动，吸引来自福州的小朋友明明一家人过来观光。明明爸爸根据百度地图查询知道，福州到莆田全程大约是120千米。而明明爸爸开车行驶30千米，要用去2升汽油。照这样计算，他们全家人自驾从福州到莆田一趟需要多少升汽油？ 【答案】 8升 【思路引导】根据题意，先用福州到莆田全程大约的路程120千米除以30千米，得到总路程是每30千米的几倍，则全程用汽油的升数也是2升的几倍，即再用2升与得到的倍数相乘。据此解答。 【规范解答】120÷30×2 ＝4×2 ＝8（升） 答：他们全家人自驾从福州到莆田一趟需要8升汽油。 19．（24-25四年级下·福建漳州·期末）妙妙亲子活动团想选择“懒人赏景”模式，骑着观光自行车感受大自然的美。妙妙亲子活动团共有26人，怎样租车最划算？需要多少钱？ 观光自行车有两种规格： 四人车：限坐4人，每辆租金30元。 六人车：限坐6人，每辆租金40元。 【答案】 租3辆六人车和2辆四人车最划算，需要180元。 【思路引导】根据题意先分别计算出两种车平均每人所需的钱数，即四人车平均每人的价钱是：30÷4＝7（元）……2（元），六人车平均每人的价钱是：40÷6＝6（元）……4（元），6＜7，所以尽量租六人车，而且没有空位或空位最少则最省钱；那么用活动团总人数26人除以一辆六人车可乘坐的人数6，求出需要六人车的数量，再结合余数调整判断需要几辆四人车，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 30÷4＝7（元）……2（元） 40÷6＝6（元）……4（元） 因为6＜7，所以尽可能多的租六人车，且保证没有空位或空位最少； 26÷6＝4（辆）……2（人） 因为余下2人，那么再租一辆4人车，此时有2个空位 方案一：4辆6人车，1辆4人车 4×40＋1×30 ＝160＋30 ＝190（元） 方案二：3辆6人车，2辆4人车，此时是没有空位的 3×6＋2×4 ＝18＋8 ＝26（人） 3×40＋2×30 ＝120＋60 ＝180（元） 180元＜190元 所以租3辆六人车和2辆四人车最划算，需要180元。 答：租3辆六人车和2辆四人车最划算，需要180元。 20.新冠疫情期间，来自全国的物资源源不断的运到武汉，有一批62吨的物资要从北京运往武汉。如果租大货车每次可运10吨，每次运费7000元；如果租小货车每次可运4吨，每次运费3200元。怎样租车最省钱？需要多少钱？（大小货车可搭配租） 【答案】租5辆大货车和3辆小货车最省钱。44600元。 【思路引导】租大货车每吨需要花费7000÷10＝700元，租小货车每吨需要花费3200÷4＝800元，则尽量租用大货车。62÷10＝6……2，则需要租用6辆大货车和1辆小货车，此时小货车没有装满。在保证装满的前提下租车才能最省钱，则把其中1辆大货车的10吨货物和剩余的2吨货物用3辆小货车运送，此时大货车和小货车均装满，租车最省钱。 【规范解答】7000÷10＝700（元） 3200÷4＝800（元） 700＜800，则尽量租大货车最省钱。 62÷10＝6（辆）……2（吨） 10＋2＝12（吨） 12÷4＝3（辆） 则租5辆大货车和3辆小货车最省钱。 7000×5＋3200×3 ＝35000＋9600 ＝44600（元） 答：租5辆大货车和3辆小货车最省钱。需要44600元。 【考点剖析】明确尽量租大货车最省钱是解决本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $