2.3直线与圆的位置关系（相切）（题型专练，5基础2提升1培优）高二数学北师大版选择性必修第一册

2.3直线与圆的位置关系（相切） 题型一：直线与圆的位置关系 1．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】由圆的方程可得圆心以及半径，利用点到直线距离计算圆心到直线的距离，将其与半径进行比较，可得答案. 【详解】由圆可知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，由，则直线与圆相交. 故选：A. 2．直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算圆心到直线的距离并与半径比较. 【详解】圆，则圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系是相交. 故选：B 3．直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求得的范围，进而可得结论. 【详解】由圆，得圆心，半径为， 所以圆心到的距离为， 又因为，所以， 所以直线与圆相交. 故选：A. 题型二：已知直线与圆的位置关系求参 1．若直线过圆的圆心，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题可知圆心坐标满足直线方程进而即得. 【详解】圆的圆心为， 因为直线经过圆心，所以，解得. 故选：C. 2．“”是“直线与圆相切”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，建立的方程，解出的值，利用充分条件和必要条件得到结论. 【详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切， 得，解得a＝0或a＝－4， 则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件． 故选：B. 3．若直线与圆相切，则实数的值为___________. 【答案】3 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由可化为且， 所以圆心为，半径为， 由直线与圆相切，则，可得. 故答案为：3 4．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据直线过定点，以及直线与圆的位置关系，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，直线可化为，可得直线过定点， 将曲线化为， 可得曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所示， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点时，此时直线与曲线相切，直线与曲线只有一个交点， 由得，即， 曲线与直线有两个交点，结合图形， 可得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型三：过圆上的点求圆的切线方程 1．过圆上一点作圆的切线则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【详解】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 2．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可. 【详解】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以， 则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 3．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 4．过点作圆：的切线，则切线方程为______． 【答案】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 题型四：过圆外一点求圆的切线方程 1．在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或. 故选：D. 2．已知圆C过点，，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用几何法作出圆心，结合方程组求解圆心坐标和半径，从而可得圆的标准方程； （2）利用分斜率是否存在来表示直线，结合圆心到直线的距离等于半径来求切线方程. 【详解】（1）由点，，可得中点和斜率， 则的中垂线方程为：， 由圆心既在的中垂线上，又在直线上， 联立可得：，解得：， 所以圆心坐标，半径， 所以圆C的标准方程为； （2）过点垂直于轴的直线为，圆心到直线的距离，故直线为圆的一条切线， 再设过点斜率存在的切线方程为， 由直线与圆相切，可得：， 解得：，则此时切线方程为， 综上，与圆C相切的直线方程为或. 3．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足：． (1)求动点的轨迹方程． (2)记的轨迹为曲线，求过点与曲线相切的直线方程． 【答案】(1) (2)和． 【分析】（1）设出点，根据已知结合两点间距离列式化简即可得出答案； （2）分类讨论过点P的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案； 【详解】（1）设， 因为M满足，所以， 整理可得：，即． （2）， 点在圆外，圆心为，半径为， ①过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与圆C相切，符合题意； ②直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 由直线到圆心的距离得，即，解得， 所以直线方程为整理得． 综上，过点P与圆C相切的直线方程为和． 题型五：切线长 1．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 2．已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意得，过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，即为圆心到直线的距离，结合，即可求得的值. 【详解】由题意得，圆心，半径，切线长为， 过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，则有， 即为圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 3．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可. 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. 故选：B 题型一：切线长最值 1．点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 2．过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 3．（多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】将圆的方程配方易得A项正确；利用圆的切线的性质和勾股定理易求得；设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求出值，回代入直线方程与圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率关系即可求得直线的方程；先判断，求出的正余弦，再求即得. 【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为， 故A项正确； 如图，点为圆的两条切线,切点分别为. 对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误； 对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：， 由圆心到直线的距离，解得：， 取，则切线方程为代入整理得：， 解得：，代入可得：，即得：， 因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确； 对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则， 于是，.故D项错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆相切产生的切线长，直线方程和夹角问题，属于较难题. 解决此类题目的思路即是，作出图形，利用图形的几何性质，借助于直线与圆的方程联立，求出相关点坐标和相关角的三角函数值即可依次求得. 4．已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】/ 【分析】根据直线与圆的位置关系及几何关系求解即可. 【详解】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为：. 题型二：切点对应的方程及长度 1．过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A．2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得该圆圆心坐标与半径，再借助切线性质可得、，最后利用等面积法计算即可得. 【详解】圆化为标准方程为， 则，半径，则， 由切线定义可得， 则四边形的面积可表示为，也可表示为， 即有，故. 故选：B. 2．过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 3．已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【解答过程】已知的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得，且与全等， 则四边形的面积为， 又由垂径定理可知：⊥，则四边形的面积为， 所以，其中， 即， 要使得最小，只需要最小， 显然当⊥直线时，最小，即最小值为， 此时. 故选：C. 4．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得． 方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 题型一：切点的综合应用 1．已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（ ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，可得切线长，即可得四边形周长的最小值. 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离， 因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 故选：C. 2．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以， ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 3．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 3．（多选）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（ ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.3直线与圆的位置关系（相切) 直线与圆的位置关系 已知直线与圆的位置关系求参 基础达标题 过圆上的点求圆的切线方程 过圆外一点求圆的切线方程 切线长 2.3直线与圆的位 置关系（相切) 切线长最值 能力提升题 切点对应的方程及长度 拓展培优题 切点的综合应用 A 基础达标题 题型一：直线与圆的位置关系 1.已知直线：x-y-1=0,圆C(x-1)+(y+1)2=3,则直线1与圆c的位置关系是() A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 2.直线1：y=x-2与圆C:x2+y2-2y-7=0的位置关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 3.直线1：4r-3y-a=010≤a<15)与圆C:x2+y2-9的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 题型二：已知直线与圆的位置关系求参 1.若直线-2y+m= 0过圆r-少+0-12=2 的圆心，则m=() A.-3 B.-1 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.1 D.3 2.“a=-4”是“直线1：3x+ay+a+3=0与圆C:(x-1)2+(y-3)2=4相切”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若直线3x-4y-1=0与圆x2+y2-4x+m=0相切，则实数m的值为 4.曲线y=V1-x2与直线y=k(x-+2有两个交点，则实数k的取值范围是 题型三：过圆上的点求圆的切线方程 1.过圆x2+2x+y2-4=0上一点M(0,2)作圆的切线1，则1的方程为() A.x+3y-6=0 B.2x+y-2=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y+4=0 2.过圆C:x2+(y+4)2=25上一点M(3,0)作圆C的切线1，则1的方程为() A.4x-3y-12=0 B.4x+3y-12=0 C.3x+4y-9=0 D.3x-4y-9=0 3.过圆(x-1)2+(y+1)2=5上一点M(-1,0)作圆的切线1，则1的方程为() A.x+2y+1=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 4.过点P(1,3)作圆C:(x-2)+y2=10的切线，则切线方程为。 题型四：过圆外一点求圆的切线方程 1.在平面直角坐标系x0y中，过点M(-1,4)与圆C:(x+2)+(y-2)=1相切的直线方程是() A.y=-1 B.x=-1 C.少=-1或3-4+19=0 或 D.x=-1或3r-4y+19=0 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知圆C过点A1,4),B(2,3),且圆心在直线x+y-6=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线方程. 3.在平面直角坐标系中，已知点A-2,0),B2,0),动点M满足：MA=3MB. (1)求动点M的轨迹方程. (2)记M的轨迹为曲线C,求过点P1,-2)与曲线C相切的直线方程. 题型五：切线长 1.已知点P(3,5)是圆C:x2+(y-I)=1外一点，过P作圆C的两条切线，切于A,B两点，则切线长PA= () A.2V6 B.25 C.V26 D.32 2.已知圆C的方程为(x-4)?+(y-3)2=1,过直线：4x+ay-10=0上任意一点作圆C的切线，若切线长的 最小值为2W2,则a=() A.3 B.4 C.5 D.6 3.过点(0，-2)与圆(x-4)+(y-2)=4相切的两条直线的夹角为a,则sina=() A.6 B. 4 4 D.0 4 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：切线长最值 1.点P为直线y=2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的切线，切点为Q,则P⑨的最小值为() A.1 B.2 C.5 D.2 2.过直线x-y+1=0上一动点M作圆C:(x-7)+y=7的切线，切点为T,则线段MT的最小值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.(多选)已知点A(0,-2),AM,AN为圆C:x2+y2-4x-1=0的两条切线，切点分别为M,N,则下列说 法正确的是() A.圆C的圆心坐标为2,0，半径为5 B.切线MM=V万 C.直线MN的方程为2x+2y+1=0 D.sin∠MaN= 8 4E知点在直线.34+30上，过P作M,r4y-6r-4490 两条切线，切点为A,B, 则∠APB的最大值为 题型二：切点对应的方程及长度 1.过点P-作圆C:r+y+2x-2y=0的两条切线，切点分别为M,N,则MN=（) 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,22 B.v6 C.5 D.2 2.过点P-2,0作圆r+广-4y=l的两条切线，设切点分别为4，B,则 B刷=) 4.30 B.v15 4 4 C.30 2 D.5 2 3.已知圆 M:G-+y=4,点P为直线-=0 上的动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为 本B,则A6的最小值为() AB 4.25 B.v2 C.25 D.3 4.过点P-2,-作圆0：r+广-4y=0的两条切线PA,PB,切点分别为4B,则直线AB的方程为 拓展培优题 题型一：切点的综合应用 1.已知直线：4r+3y+5=0与圆C:(x-4+(y-3)4,点P在直线上，过点P作圆C的切线，切点 分别为A,B,四边形PACB周长的最小值为() A.2V21+4 B.4V2+4 C.8V2+4 D.16 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.点P为直线：+y-2=0上的一点，过点作圆Cx+2+少=1的两条切线，切点分别为4B,则 四边形QACB面积的最小值为() A.V B.2② C.2分 D.4 3.设点P为直线1： 2x+y-4=0 上任意一点，过点P作圆0： 广+少=引的切线，切点分别为A,B,则直 线AB必过定点() 11Y A.42 到 C:(x-2)2+y2=4 3.(多选)已知圆 和直线 r-y+2=0,点P在直线1上运动，直线PA、B分别与圆 C相切于点A,B,则下列说法正确的是() A.切线长PA的最小值为22 B.四边形PACB面积的最小值为4 C.当P4最小时，弦B所在的直线方程为-y1=0 D.弦AB所在直线必过定点 6/6