山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题

山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为（ ） A. 1 B. 7 C. 21 D. 42 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在 处取得极小值，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 已知正项等差数列的前 项和为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为 A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 10. 函数在一个周期内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆 过抛物线上的两点，则（ ） A. 圆 面积的最小值为 B. 圆 与抛物线 的公共点个数为3 C. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆 与抛物线 还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 13. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则 ______． 14. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致 ， ，， 改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面 与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 16. 设函数. （Ⅰ）讨论 的导函数的零点的个数； （Ⅱ）证明：当时. 17. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知． （1）求 ； （2）若 ，， ， 边上的中线 ， 相交于点 ． （i）求 ； （ii）求． 18. 箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为 . （1）求取球一次分别取到黄球､白球的概率 （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 次，以 表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求 的分布列； （ii）求 的数学期望. 19. 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中， ，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与 ， 轴的交点， （1）若三角形是边长为 的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明：由正方体的性质可知， 因为 平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【16题答案】 【答案】（Ⅰ）当 时， 没有零点；当 时， 存在唯一零点. （Ⅱ）由（Ⅰ），可设 在的唯一零点为，当时， ; 当 时， . 故 在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为. 由于 ，所以. 故当 时，. 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【18题答案】 【答案】（1），； （2）（i） 0 1 2 （ii）. 【19题答案】 【答案】（1），； （2）； （3）当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上； 当 时，以为斜率过的直线 与半椭圆的交点是， 由此，在直线 右侧，以为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上； 当 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $