课后限时练15 随机变量及其分布(A) 随机变量及其分布(B)（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课后限时练(十五)(A) 1．C　[由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×． 故选C．] 2．AD　[对于A，B，由分布列的性质，可得a＋b＋＝1①，因为E(ξ)＝，所以a＋2b＋3×②，联立①②，解得a＝，b＝，故A正确，B错误；对于C，D，因为η＝3ξ＋1，所以E(η)＝3E(ξ)＋1＝6，D(η)＝9D(ξ)＝9×＝5，故C错误，D正确．故选AD．] 3．ABC　[由分布列的性质可得m＋n＋0.3＋0.2＝1，则m＋n＝0.5，故A正确； E(X)＝2.7，则E(3X－1)＝3E(X)－1＝8.1－1＝7.1，故B正确； 由E(X)＝m＋0.6＋3n＋0.8＝2.7，得m＋3n＝1.3，又m＋n＝0.5， 解得m＝0.1，n＝0.4，则P(X >2)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＝0.6，故D错误； D(X)＝(1－2.7)2×0.1＋(2－2.7)2×0.3＋(3－2.7)2×0.4＋(4－2.7)2×0.2＝0.81，故C正确． 故选ABC．] 4．　[随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，6，则E(X)＝×(12＋22＋32＋42＋52＋62)＝， 所以D(X)＝．] 5．解：(1)设“游戏停止时小队有人投中”为事件A， 由题意得P()＝(1－p)(1－q)(1－r)＝0.336， 则游戏停止时小队有人投中的概率为P(A)＝1－P()＝0.664． (2)(ⅰ)X的所有可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)q， P(X＝3)＝(1－p)(1－q)， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P p (1－p)q (1－p)(1－q) E(X)＝p＋2q(1－p)＋3(1－p)(1－q)＝3－2p－q＋pq． (ⅱ)设采用方案二所需派出的人员数目为Y，同理可得E(Y)＝3－2r－p＋rp， 因为1>p>q>r>0，所以E(Y)－E(X)＝2(p－r)＋(q－p)＋p(r－q)＝2(p－r)＋(q－r)＋(r－p)＋p(r－q)＝(p－r)＋(1－p)(q－r)>0， 所以E(Y)>E(X)，所以采用方案一可使所需派出人员数目的期望更小． 课后限时练(十五)(B) 1．解：(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为 P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6． (2)依题可知，X 的可能取值为0，10，20，30， 所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06． 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13． 2．解：(1)依题意有，P(C)＝××， P(D)＝×××××． 又事件C与D相互独立， 则P(CD)＝P(C)P(D)＝×． (2)设A组中服用甲种中药康复的人数为X1，则X1~B， 所以E＝3×， 设A组的积分为X2，则X2＝2X1， 所以E＝2E． 设B组中服用乙种中药康复的人数为Y1，则Y1的可能取值为0，1，2，3， P××， P×××××， P×××××， P××， 故Y1的分布列为 Y1 0 1 2 3 P 所以E＝0×＋1×＋2×＋3×， 设B组的积分为Y2，则Y2＝2Y1， 所以E＝E＝2E． 因为>，所以甲种中药药效更好． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后限时练(十五)　随机变量及其分布(A) 1．(2025·山西吕梁二模)一只纸箱中装有4双不同鞋码的运动鞋，售货员从中随机取出4只鞋子凑成了X双相同鞋码的鞋，则X的数学期望E(X)＝(　　) A． B． C． D． 2．(多选)(2024·安徽安庆期末)已知两个离散型随机变量ξ，η，满足η＝3ξ＋1，其中ξ的分布列如下： ξ 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数．若E(ξ)＝，D(ξ)＝，则(　　) A．a＝ B．b＝ C．E(η)＝5 D．D(η)＝5 3．(多选)(2025·广东模拟)离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若E(X)＝2.7，则下列结论正确的是(　　) A．m＋n＝0.5 B．E(3X－1)＝7.1 C．D(X)＝0.81 D．P(X＞2)＝0.5 4．[人教A版选择性必修第三册P69例5]抛掷一枚质地均匀的骰子，则掷出的点数X的方差为________． 5．(2025·辽宁鞍山模拟)某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成．三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次．如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中(闯关成功)或无队员可派出(闯关失败)时游戏停止． 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为p，q，r，且每人投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.3，r＝0.2，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若1＞p＞q＞r＞0，现在小队计划采用两种方案参加游戏． 方案一：甲最先、乙次之、丙最后； 方案二：丙最先、甲次之、乙最后； (ⅰ)若采用方案一，求所需派出人员数目X的分布列和期望E(X)； (ⅱ)分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小． 课后限时练(十五)　随机变量及其分布(B) 1．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 2．某科研机构为研究甲、乙两种中药对某种疾病的治疗效果，医护人员对该症确诊患者进行积极救治．现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药．服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为． (1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求P(CD)； (2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设积分期望值越高药效越好，请问甲、乙两种中药哪种药效更好？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $