课后限时练12 空间角的计算(A) 空间角的计算(B)（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课后限时练(十二)(A) 1．D　[如图所示，不妨设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，依题意以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为 ∠DB1A，所以sin 30°＝，即b＝c，B1D＝2c＝ ，解得a＝c． 对于A，AB＝a，AD＝b，AB＝AD，A错误； 对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE， 因为tan∠BAE＝，所以∠BAE≠30°，B错误； 对于C，AC＝c，CB1＝c，AC≠CB1，C错误； 对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin∠DB1C＝，而0°<∠DB1C<90°， 所以∠DB1C＝45°．D正确． 故选D．] 2．D　[设AE的中点为点O，连接OD1，OB，由题意知AD1＝D1E，所以OD1⊥AE， 又平面AED1⊥平面ABCE，平面AED1∩平面ABCE＝AE，所以OD1⊥平面ABCE，易知OB⊥AE． 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，D1(0，0，)， 所以＝(－1，，0)，＝(0，－)． 设平面ABD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则不妨设y＝1，得n＝(，1，1)． 易知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，由图易知二面角D1-AB-C为锐二面角，所以二面角D1-AB-C的余弦值为．] 3．　[以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角．因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)．根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)，所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)．设n2＝(x，y，z)，则取n2＝(3，4，2)，则cos〈n1，n2〉＝． 设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝． 即平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为．] 4．　[P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径是1， B，C均在圆锥的底面上． 如图，过A作ADBC交底面圆锥于D点，连接PD， ∵PA＝PD，ADBC，则∠PAD为异面直线PA与BC所成的角， ∴cos∠PAD＝ ＝， 又0<|AD|2， ∴0<，即0<cos∠PAD， ∵∠PAD∈，函数y＝cos α在α∈上单调递减， ∴∠PAD<， ∴异面直线PA与BC所成角的最小值为． 故答案为．] 5．解：(1)证明：设PC的中点为F，连接NF，BF， 因为N为PD的中点，所以NFDC，且NF＝DC， 又ABCD，且AB＝CD，所以NFAB，且NF＝AB， 所以四边形ANFB为平行四边形，则ANBF， 又AN⊄平面PBC，BF⊂平面PBC， 所以AN平面PBC． (2)记CD的中点为E，连接AE， 因为ABCD，CE＝CD＝1＝AB，AB⊥BC， 所以四边形ABCE是矩形，则AE＝BC＝1，AE⊥AB． 以A为原点，以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0，0，0)，D(1，－1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，2)， 则＝(0，－2，0)，＝(1，－1，－2)，＝(0，0，2)， 设平面PAD的法向量为n＝(a，b，c)， 则 所以 令a＝1，则n＝(1，1，0)， 设平面PCD的法向量为u＝(r，s，t)， 则 令t＝1，则u＝(2，0，1)， 所以cos〈n，u〉＝， 由图可知，二面角C-PD-A为锐角， 所以二面角C-PD-A的余弦值为． (3)依题意，设M(0，0，k)(0k2)，则＝(－1，－1，k)， 又由(2)得平面PAD的一个法向量为n＝(1，1，0)， 记直线CM与平面PAD所成角为β， 所以sin β＝|cos〈n，〉|＝ ＝， 解得k＝1(负值舍去)， 所以M(0，0，1)，则＝(0，0，1)， 而由(2)得平面PCD的一个法向量为u＝(2，0，1)， 所以点M到平面PCD的距离为． 课后限时练(十二)(B) 1．解：(1)证明：连接BO，因为AB＝BC＝，所以BO⊥AC， 因为平面PAC⊥平面ABC，交线为AC， BO⊂平面ABC， 所以BO⊥平面PAC． 因为PA＝AC＝CP＝2，所以PO⊥AC，AO＝1，PO＝， 故S△OPA＝OP·AO＝××1＝， 由勾股定理得BO＝＝1， 又BO⊥平面PAC， 三棱锥B-OPA的体积V＝S△OPA·BO＝××1＝． (2)由(1)知，BO⊥平面PAC，OC，OP⊂平面PAC， 所以BO⊥OC，BO⊥OP，又PO⊥AC，故OB，OC，OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，P(0，0，)，C(0，1，0)，A(0，－1，0)， ＝(－1，0，＝(0，1，－)， 设平面BPC的法向量为m＝(x，y，z)， 则 则 令z＝1，得x＝y＝，故m＝(，1)， 易知平面PCA的一个法向量为n＝(1，0，0)， 由图可知，二面角B-PC-A为锐角，设其为θ， 故cos θ＝cos〈m，n〉＝ ＝， ∴sin θ＝， 故二面角B-PC-A的正弦值为． 易错提醒：求二面角的正弦值的易错点：一是使用向量法前，应注意证明基向量所在的三条直线两两垂直；二是向量夹角公式求出来的是两平面法向量夹角的余弦值，还需转化为二面角的正弦值． 2．解：(1)证明：取线段CE的中点H，连接FH，BH， 在△CDE中，FHCD，FH＝CD． 因为ABCD，AB＝2OB＝CD， 所以FHOB，FH＝OB， 所以四边形FHBO为平行四边形， 则OFHB， 因为OF⊄平面BCE，HB⊂平面BCE， 所以OF平面BCE． (2)连接AE，因为AB是圆O的直径，所以AE⊥BE， 过点E作圆柱的母线EQ，则EQ⊥平面ABE， 所以AE，BE，EQ互相垂直， 以E为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AE＝a，BE＝b，则a2＋b2＝4，E(0，0，0)，C(0，b，2)，D(a，0，2)， 所以＝(0，b，2)，＝(a，0，2)， 设m＝(x，y，z)为平面CDE的法向量， 所以 令z＝ab，则m＝(－2b，－2a，ab)， 易知直线BE的一个方向向量为n＝(0，1，0)， 记直线BE与平面CDE所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝， 化简得15a2＝4b2＋a2b2． 结合a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝， 所以BE＝． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后限时练(十二)　空间角的计算(A) 1．[人教A版必修第二册P152例4改编]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1　 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD＝2．设E为DC的中点，将△AED沿AE翻折到△AED1的位置，使得平面AED1⊥平面ABCE，如图，则二面角D1-AB-C的余弦值为(　　) A．－ B． C． D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．[人教A版选择性必修第一册P37例8]在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1，则平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．(2025·上海春季高考)已知P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径是1．B，C均在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．(2025·石景山区一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝1，PA＝2，AB⊥BC，N为PD的中点． (1)求证：AN∥平面PBC； (2)求二面角C-PD-A的余弦值； (3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为，求点M到平面PCD的距离． 课后限时练(十二)　空间角的计算(B) 1．(2025·上海春季高考T17改编)在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝AC＝CP＝2，AB＝BC＝． (1)若O是棱AC的中点，证明：BO⊥平面PAC，并求三棱锥B-OPA的体积； (2)求二面角B-PC-A的正弦值． 2．(2025·十堰模拟)如图，边长为2的正方形ABCD是圆柱的轴截面，E为底面圆O上的点，F为线段DE的中点． (1)证明：OF∥平面BCE． (2)若直线BE与平面CDE所成角的正弦值为，求BE的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $