课后限时练9 空间几何体的表面积、体积（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课后限时练(九) 1．B　[∵几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， ∴表面积＝正方体表面积－三个半径为2的圆＋2为半径的球面， 则S＝6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π． 故选B．] 题后反思：求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后求和或作差；求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再求和或作差． 2．ABD　[设该圆锥的母线长为l，因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，所以l2＝1，解得l＝，A正确； 设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA＝SB＝，所以AB＝2， 则圆锥的高SO＝1， 所以该圆锥的体积V＝π×12×1＝π， 侧面积为πrl＝π×1×π，B正确，C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则α＝2π×1，所以α＝π，D正确． 故选ABD．] 3．B　[如图(1)为△ABC的原图，可得OC＝OA＝OB＝1，所以∠CBA＝90°，所以以BC所在直线为轴，将△ABC旋转一周得到的几何体是以C为顶点，AB为底面半径的圆锥(如图(2))，AB＝，AC＝2，所以该几何体的表面积为π××2＋π×()2＝(2＋2)π． ] 4．D　[由题知VB-AEF＝VB-ACD， 所以S△AEF＝S△ACD＝××1×1×． 设EF＝a，AE＝b，AF＝c， 则bcsin 60°＝，即bc＝， 则a2＝b2＋c2－2bccos 60°2bc－bc＝bc＝． 当且仅当即b＝c＝时，取等号，所以EF的最小值为．故选D．] 易错提醒：求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数致误． 5．BCD　[因为圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上， 所以作出示意图如下： 对于正方体ABCD-A1B1C1D1和圆柱O1O2，正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O， 对于选项A：由题意可知，AC＝2，AA1＝2， 所以圆柱的轴截面不为正方形，故A错误； 对于选项B：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心O也为圆柱O1O2的中心， 根据对称性可知过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分，故B正确； 对于选项C：可知圆柱的底面半径为，母线长为2， 所以圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝4(＋1)π，故C正确； 对于选项D：可知该球的球心为O， 则OA＝， 所以该球的体积是π()3＝4π，故D正确． 故选BCD．] 6．D　[取B1C1的中点为M，连接EM，MD1，BC1， 则EMBC1，且EM＝BC1， 则EMAD1，且EM＝AD1． 又AB＝2， 所以MD1＝AE＝， BC1＝AD1＝2， 因此EM＝，所以平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EMD1A． 因此该等腰梯形的高 h＝， 所以该截面的面积S＝(AD1＋EM)·h＝．] 7．D　[根据题意可得放球前水面圆的半径为， 所以根据题意可得 ××πr3 ＝×(π×42＋π×32＋12π)×6.5， 解得r＝3.25．故选D．] 8．　11π　[由题意圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1BO2A， 所以O1B＝1，圆台的高h＝， 因此圆台的体积V＝πh(＋r1r2＋)＝， 表面积S＝π(＋r1l＋r2l＋)＝11π． 故答案为；11π．] 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后限时练(九)　空间几何体的表面积、体积 1．如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为(　　) A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 2．(多选)(2025·晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(　　) A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为π C．该圆锥的侧面积为π D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为π 3．[易错题]如图，△A′B′C′是用斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝1．以BC所在直线为轴，将△ABC旋转一周得到的几何体的表面积为(　　) A．2π B．(2＋2)π C．4π D．(2＋4)π 4．(2022·新高考Ⅱ卷T11改编)如图，已知正四面体A-BCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体A-BEF的体积为四面体A-BCD体积的，则EF的最小值为(　　) A． B． C． D． 5．(多选)(2025·宁夏二模)圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则(　　) A．圆柱的轴截面为正方形　 B．过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C．圆柱的表面积为4(＋1)π D．若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是4π 6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为棱BB1的中点，则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为(　　) A． B． C．4 D． 7．(2025·广东深圳一模)如图，已知圆台形水杯盛有水(不计厚度)，杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为r的球(球被完全浸没)，水恰好充满水杯，则r＝(　　) A．1.5 B．2 C．3 D．3.25 8．(2025·山东鄄城模拟)如图，已知圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B∥O2A，则圆台的体积为________，圆台的表面积为________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $