课后限时练3 解三角形(A) 解三角形(B)（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课后限时练(三)(A) 1．A　[cos A＝，因为0°<A<180°，所以A＝45°．] 2．BD　[选项A，在△ABC中由大边对大角可知，若A>B，则a>b， 又由正弦定理可得sin A>sin B，A说法正确； 选项B，若acos A＝bcos B，则由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，在三角形中，可得2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B说法错误； 选项C，因为B＝30°，c＝4，b＝3，所以由正弦定理可得sin C＝>sin B， 所以角C有两个值，此时符合条件的△ABC有两个，C说法正确； 选项D，若sin2A＋sin2B<sin2C，则由正弦定理角化边可得a2＋b2<c2， 所以cos C＝<0，即角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，D说法错误．故选BD．] 3．B　[设OP＝x，则可得OA＝x，OB＝x，OC＝x， 由＝2，可得B是AC的中点，所以AB＝BC＝10， 而∠OBA＋∠OBC＝π， 则cos ∠OBA＋cos ∠OBC＝0， 在△ABO，△CBO中，由余弦定理可得：＝0， 解得x＝5，所以该建筑的高度OP＝5米．故选B．] 4．　[由题知B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得c＝．] 5．解：(1)因为sin 2B＝bcos B＝2sin Bcos B， 因为A为钝角，所以B为锐角，cos B≠0， 所以sin B＝b， 在△ABC中，由正弦定理得， 因为a＝7，所以sin A＝， 因为A为钝角，所以A＝． (2)若选条件①，因为b＝7，a＝7， 所以B＝A＝，与A＋B＋C＝π矛盾， 此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①． 若选条件②，因为cos B＝，所以sin B＝， 在△ABC中，由正弦定理得， 所以b＝·sin B＝×＝3， 又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝××， 所以△ABC的面积为S＝absin C＝×7×3×． 若选条件③，由(1)知A＝， 因为csin A＝，所以c＝5， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即72＝b2＋52－2b×5×cos，解得b＝3， 所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×5×sin． 课后限时练(三)(B) 1．C　[因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0．在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝．所以B＝π－A－C＝π－．故选C．] 2．D　[依题意可得如图图形， 在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40， 由正弦定理得， 解得BC＝＝20， 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°， 所以CD＝BCtan 30°＝20×， 所以红豆树的高度为米．] 3．BC　[因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4， 令a＝2t，b＝3t，c＝4t(t>0)， 对于选项A，(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5t∶7t∶6t＝5∶7∶6，故A错误； 对于选项B，因为cos C＝＝－<0， 所以角C为钝角，故B正确； 对于选项C，由选项B知sin C＝， 由正弦定理得＝2R，所以2R＝，得到R＝， 又absin C＝(a＋b＋c)r，得到r＝，所以5R＝16r，故C正确； 对于选项D，a＋b＋c＝9t＝18，得到t＝2，所以a＝4，b＝6， 又sin C＝， 所以△ABC的面积为S＝absin C＝×4×6×＝3，故D错误． 故选BC．] 4.1或2　[由，得sin C＝，所以C＝．当C＝时，B＝，所以b＝2；当C＝时，B＝，所以b＝1．综上所述，b＝2或b＝1．] 5．解：(1)由余弦定理的推论，知cos A＝， 又＝2，所以2bc＝2， 故bc＝1． (2)由正弦定理及＝1， 得＝1， 化简得＝1． ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴－2cos Asin B＝sin B． ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－． ∵A∈(0，π)，∴sin A＝． 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后限时练(三)　解三角形(A) 1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 2．(多选)(2025·广西玉林北流市月考)对于△ABC，有如下判断，其中错误的是(　　) A．若A＞B，则sin A＞sin B B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形 C．若B＝30°，c＝4，b＝3，则符合条件的△ABC有两个 D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是锐角三角形 3．(2025·四川乐山模拟)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，＝2，AB＝10米，则该建筑的高度OP＝(　　) A．10米 B．5米 C．5米 D．5米 4．[人教A版必修第二册P48练习T2(2)]在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝________． 5．[结构不良题](2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin2B＝b cos B． (1)求∠A； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 条件①：b＝7； 条件②：cos B＝； 条件③：c sin A＝． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 课后限时练(三)　解三角形(B) 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2025·南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(　　) A．10米 B．20米 C．米 D．米 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．(多选)(2025·长沙芙蓉区一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　) A．(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7 B．△ABC为钝角三角形 C．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r D．若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．[易错题]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2． (1)求bc； (2)若＝1，求△ABC面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $