58 回归原点1 集合、常用逻辑用语、不等式、复数（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

回归原点1　集合、常用逻辑用语、不等式、复数 [考前必背要点] 一、集合运算的性质 名称 性质 交集 A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A； A∩B＝A⇔A⊆B；(A∩B)⊆A 并集 A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A； A∪B＝A⇔B⊆A；A⊆(A∪B) 补集 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅； ∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) 二、充分、必要条件与对应集合的关系 设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B． p是q的充分不必要条件 p⇒q且qDp AB p是q的必要不充分条件 pDq且q⇒p BA p是q的充要条件 p⇔q A＝B p是q的既不充分也不必要条件 pDq且qDp A，B互不包含 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A 三、不等式 1．基本不等式：(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记为积定和最小)； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值(简记为和定积最大)． 3．几个重要的不等式 (1)a2＋b22ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)2(ab>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (4)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． 4．基本不等式链：(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． 四、三个“二次”间的关系 设关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的判别式Δ＝b2－4ac． 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 五、复数 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b，i为虚数单位． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分为 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di，当且仅当a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R． 3．i的乘方具有周期性： (1)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，n∈N． (2)i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0，n∈N． 4．设z，z1，z2都是复数，n>1，且n∈N，则 (1)z·＝|z|2＝||2； (2)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)； (3)|zn|＝|z|n； (4)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2． [规避教材易混] 1．(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，yx}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 C　[∵集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，yx}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}， ∴A∩B＝＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}． ∴A∩B中元素的个数为4．故选C．] 易错提醒：用描述法表示集合时，一定要理解集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x}表示函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函数图象上的点集． 2．(教材改编)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和p的否定正确的为(　　) A．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 B．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 C．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 D．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 A　[在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意实数a，方程都有实根，故命题p为真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根．故选A．] 易错提醒：含有量词的命题的否定，不仅要把结论否定，还要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词． 3．(多选)(教材改编)下列条件中，可以作为“关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件的有(　　) A．0m<4 B．0<m<2 C．1<m<4 D．－1<m<6 BC　[因为关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立， 当m＝0时，原不等式为1>0，恒成立； 当m>0时，不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立， 可得Δ<0，即m2－4m<0，解得0<m<4； 当m<0时，y＝mx2－mx＋1的图象开口向下，原不等式不恒成立． 综上，m的取值范围为[0，4)． 所以“关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件有0<m<2或1<m<4． 故选BC．] 易错提醒：对于充分、必要条件问题，要弄清先后顺序．“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A． 4．(教材改编)已知复数z满足z(2－i)＝1＋i，则z的虚部为(　　) A．3i B． C．3 D． D　[z＝＝＝＝i． 所以z的虚部为． 故选D．] 易错提醒：对复数的虚部理解错误，在复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部是指b，而不是bi． 5．(多选)已知复数z＝2＋(i为虚数单位)，则(　　) A．z的共轭复数的虚部为1 B．z－2为纯虚数 C．z2的模为5 D．复数z是方程x2－4x＋5＝0的一个根 BCD　[z＝2＋＝2＋＝2＋i， 对于A，＝2－i，虚部为－1，错误； 对于B，z－2＝2＋i－2＝i，正确； 对于C，z2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以|z2|＝5，正确； 对于D，(2＋i)2－4(2＋i)＋5＝0，正确． 故选BCD．] 易错提醒：复数分类不清，如z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))． 6．(教材改编)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为(　　) A．[25，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，5] D．(0，1] D　[因为a，b∈(－∞，0)，a＋4b＝ab－5，且a＋4b<0， 所以0<ab<5． 又ab－5＝a＋4b＝－[(－a)＋4(－b)]－2＝－4， 即ab＋4－50，即(＋5)·(－1)0， 解得0<1，所以0<ab1，当且仅当－a＝－4b，即a＝4b＝－2时，等号成立， 即ab的取值范围为(0，1]． 故选D．] 易错提醒：忽视基本不等式的应用条件致误．利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． 7．(教材改编)已知A＝{x∈R|2axa＋3}，B＝{x∈R|x<－1，或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 ． {a|a<－4，或a>2}　[因为A⊆B，①当A≠∅时，有 解得a<－4或2<a3； ②当A＝∅时，由2a>a＋3，解得a>3． 综上可知，实数a的取值范围是a<－4或a>2．] 易错提醒：忽略空集是任何集合的子集导致解题出错． 8．(教材改编)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x－4，或x3}，则不等式cx2－bx＋a<0的解集为 ． 　[因为关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x－4，或x3}， 则即b＝a，c＝－12a，a<0， 所以cx2－bx＋a<0等价于－12ax2－ax＋a<0，即12x2＋x－1<0，解得－<x<， 故不等式cx2－bx＋a<0的解集为．] 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $