21 专题四 课时11 空间点、线、面的位置关系（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时11　空间点、线、面的位置关系 [备考指南]　空间位置关系一是考查命题的真假判断，二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属于中档题． 基础考点1　空间位置关系的判定 【母题1】　[人教A版必修第二册P171复习参考题8T16]已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　) A．α∥β，l∥α B．α与β相交，且交线平行于l C．α⊥β，l⊥β D．α与β相交，且交线垂直于l B　[∵m⊥平面α，直线l满足l⊥m，l⊄α，∴l∥α． 又n⊥平面β，直线l满足l⊥n，l⊄β，∴l∥β． 由直线m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β， 则可知α，β相交，否则m∥n与条件矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l， 综上所述可知选项B正确． 故选B．] 链接核心知识：判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断． (2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断． (3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断． 1．(2025·上海春季高考)如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是(　　) A．AB和C1D1　　　　　 B．AA1和CC1 C．BD1和B1D D．A1D1和AB D　[根据题意，依次分析选项： 对于A，因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱台，所以AB∥A1B1∥C1D1，故A错误； 对于B，棱台的侧棱延长后交于一点，所以AA1与CC1相交，故B错误； 对于C，同理B，BB1与DD1也相交，所以B，B1，D1，D四点共面，所以BD1与B1D相交，故C错误； 对于D，A1D1与AB既不相交，也不平行，是异面直线，故D正确． 故选D．] 2．(多选)(2024·全国甲卷改编)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题中正确的是(　　) A．若m∥n，则n∥α或n∥β B．若m⊥n，则n⊥α，n⊥β C．若n∥α，且n∥β，则m∥n D．若n与α和β所成的角相等，则m⊥n AC　[若n⊂α，因为m∥n，m⊂β，则n∥β， 若n⊂β，因为m∥n，m⊂α，则n∥α， 若n不在α也不在β内， 因为m∥n，m⊂α，m⊂β， 所以n∥α且n∥β，故A正确； 若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，也有可能相交，故B错误； 过直线n分别作平面，与α，β分别相交于直线a，直线b， 因为n∥α，过直线n的平面与平面α相交于直线a，所以n∥a， 同理可得n∥b，所以a∥b， 因为a⊄β，b⊂β，则a∥β，因为a⊂α，α∩β＝m，则a∥m， 又因为n∥a，则m∥n，故C正确； n与α和β所成的角相等，则m和n不一定垂直，故D错误； 综上只有AC正确．故选AC．] 易错提醒：(1)易遗漏定理中的条件． (2)易直接将平面几何中的结论应用到立体几何中． 【教用·备选题】 1．(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　) A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β 　C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β C　[对于A，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故A错误； 对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误； 对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确； 对于D，若m⊂α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m⊂β，故D错误．故选C．] 2．(2024·上海春季高考)已知空间中有两个不重合的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列说法中正确的是(　　) A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n D．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β A　[根据题意，依次分析选项： 对于A，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，又n⊥β，所以m⊥n，故A正确； 对于B，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，由m⊥n，则n与β斜交、垂直、平行均有可能，故B错误； 对于C，若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，由n∥β，则m与n相交、平行、异面均有可能，故C错误； 对于D，若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，又m∥n，则n∥β或n⊂β，故D错误．故选A．] 基础考点2　空间中平行与垂直的证明 【母题2】　[人教A版必修第二册P170复习参考题8T9]如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．求证： (1)DE∥平面PAC； (2)AB⊥PB． [证明]　(1)∵D，E分别是AB，PB的中点， ∴DE∥PA． 又∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC， ∴DE∥平面PAC． (2)∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴PC⊥AB， ∵AB⊥BC，PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴AB⊥平面PBC， ∵PB⊂平面PBC， ∴AB⊥PB． 链接核心知识： 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α． (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b． (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β． (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b． 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α． (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b． (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β． (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β． 1．(多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　) A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1D C．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D BD　[由正三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，ADC⊂平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C⊂平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误； 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC， 因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 因为AB∥A1B1，AD与AB相交， 所以AD与A1B1异面，故C错误； 因为CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确． 故选BD．] 2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是(　　) 　 A　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　D BC　[对于A，设正方体棱长为2，设MN与OP所成角为θ， 则tan θ＝＝，∴不满足MN⊥OP，故A错误； 对于B，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则N(2，0，0)，M(0，0，2)，P(2，0，1)，O(1，1，0)， ＝(2，0，－2)，＝(1，－1，1)， ·＝0，∴满足MN⊥OP，故B正确； 对于C，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则M(2，2，2)，N(0，2，0)，O(1，1，0)，P(0，0，1)， ＝(－2，0，－2)，＝(－1，－1，1)， ·＝0，∴满足MN⊥OP，故C正确； 对于D，如图， 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则M(0，2，0)，N(0，0，2)，P(2，1，2)，O(1，1，0)， ＝(0，－2，2)，＝(1，0，2)， ·＝4，∴不满足MN⊥OP，故D错误． 故选BC．] 3．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO． (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积． [解]　(1)证明：法一：如图，连接DE，设AF＝tAC(0<t<1)，则＝＝＋t＝＋t＝(1－t)＋t． 易知＝－． ∵BF⊥AO， ∴·＝[(1－t)＋t]·＝(t－1)＋t＝4(t－1)＋4t＝0，解得t＝， 故F为AC的中点． ∵D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点， ∴DE∥AB，且DE＝AB，OF∥AB，且OF＝AB， ∴DE綉OF． ∴四边形DEFO是平行四边形， ∴EF∥DO． 又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， ∴EF∥平面ADO． 法二：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，所以＝＝， 所以△OBA∽△ABC， 所以∠CAB＝∠AOB． 记BF⊥AO的垂足为H，则∠HBA＋∠OAB＝， 又∠OAB＋∠AOB＝， 所以∠HBA＝∠AOB． 所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF， 所以CF＝BF， 故CF＝AF，F是AC的中点． 因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC． 因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC， 所以EF∥DO． 又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO， 所以EF∥平面ADO． (2)由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC，所以FO⊥BC． 又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角， 所以二面角P-BC-F的大小为120°． 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M， 连接MO，MB， 则∠POM是二面角P-BC-M的平面角， 所以∠POM＝60°． 在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2，得PO＝2， 所以PM＝． 所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝S△ABC×PM＝×2×2＝． 反思领悟：平行关系及垂直关系的转化 【教用·备选题】 1．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1， 所以EF⊥平面BDD1， 又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2， 则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 则＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，0)， 设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则有可取m＝(2，2，－1)， 同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)， 平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)， 平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行， 所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 因为m与n3不平行， 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误． 故选A．] 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD； (3)EF∥平面PCD． [证明]　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD． 因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD，所以PE⊥BC． (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD． 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD． 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD． 又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB． 又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD． (3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG． 因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC． 因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC， 所以DE∥FG，DE＝FG， 所以四边形DEFG为平行四边形． 所以EF∥DG． 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD． 3．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，E和F分别为BC和A1C的中点． (1)用向量法证明：EF∥平面A1B1BA； (2)用向量法证明：平面AEA1⊥平面BCB1． [证明]　(1)由AB＝AC，E为BC的中点，则AE⊥BC，而AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，过E作平行于BB1的直线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝3，BE＝， 所以AE＝2， 所以E(0，0，0)，C(，0，0)，A(0，2，0)，B(－，0，0)，B1(－，0，2)，A1(0，2，)，F．所以＝＝(－，－2，0)，＝(0，0，)． 设平面A1B1BA的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝－2，则可得平面A1B1BA的一个法向量为n＝(－2，，0)， 而·n＝×(－2)＋1××0＝0， 所以⊥n， 又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA． (2)因为EC⊥平面AEA1，则＝(，0，0)为平面AEA1的一个法向量． 又EA⊥平面BCB1，则＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量． 因为·＝0，故⊥，故平面AEA1⊥平面BCB1． 1．(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交 C　[对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误． 对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n相交或异面，故D错误．故选C．] 2．(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别为A1D，D1B的中点，则(　　) A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 A　[法一：连接AD1(图略)，则易得M为AD1的中点，且AD1⊥A1D．因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，因为BD1⊂平面ABD1，所以A1D与BD1异面且垂直．在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直．所以选项A正确．故选A． 法二：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)．设AB＝2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，所以＝(－2，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0，1，0)，所以·＝－4＋0＋4＝0，所以A1D⊥D1B．又由题图易知直线A1D与D1B是异面直线，所以A1D与D1B异面且垂直．因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以·n＝0，又MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．设直线MN与平面BB1D1D所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，所以sin θ＝|cos 〈，a〉|＝＝＝，所以直线MN与平面BB1D1D不垂直．故选A．] 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $