20 专题四 课时10 与球有关的“切”“接”问题（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时10　与球有关的“切”“接”问题 [备考指南]　空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置． 能力考点1　内切球问题 【典例1】　(1)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为(　　) A．(8－4)π B．12π C．(8＋4)π D．8π (2)(2025·包头二模)已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r1＜r2)，r2－r1＝3．半径为r的球O与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台O1O2的侧面积为25π，则球O的表面积为(　　) A．4π B．9π C．16π D．36π (3)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm． (1)A　(2)C　(3)2.5　[(1)设内切球的半径为r，AC的中点为O，则OP⊥平面ABCD， 因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，所以OA＝OC＝， 因为PC＝2，由勾股定理得PO＝， 故四棱锥P-ABCD的体积为×22×＝， 四棱锥P-ABCD的表面积为4××22×＋22＝4＋4， 则由等体积法可得(4＋4)r＝， 解得r＝， 所以内切球的表面积S＝4πr2＝(8－4)π． (2)如图，设内切球的半径为r， 　 设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2， 则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处， 设球O与母线切于M点，所以OM⊥AB，所以OM＝OO1＝OO2＝r， 所以△AOO1与△AOM全等，所以AM＝r1，同理BM＝r2， 圆台的母线长l＝r1＋r2，而π(r1＋r2)l＝25π，因此(r1＋r2)2＝25， 所以AB＝r1＋r2＝5， 过A作AG⊥O2B，垂足为G， 则|O1O2|2＝(r1＋r2)2－(r2－r1)2＝16， 所以4r2＝16， 所以球O的表面积为4πr2＝16π． 故选C． (3)设铁球的半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm． 当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝0， 即(2r－29)(2r－5)＝0，解得r1＝14.5(舍去)或r2＝2.5． 因为2.5＞＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm． ] 反思领悟：求解空间几何体的内切球问题的关键，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径． 1．(2025·湖南永州二模)正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的高为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D　[根据题意可得上、下底面内切圆的半径分别为×6＝×18＝3， ∴该正三棱台的斜高为＋3＝4， ∴该正三棱台的高为＝6． 故选D．] 2．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　) A． B． C． D． A　[由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD． 又BC⊥CD，且AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B， 所以CD⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC， 所以CD⊥AC． 由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5， 所以三棱锥A-BCD的表面积 S＝2××3×4＋2××4×5＝32， 三棱锥A-BCD的体积V＝×3×4×4＝8． 设三棱锥内切球球心为O，半径为r， 由V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝Sr，得r＝＝， 所以该三棱锥内切球的体积V球＝πr3＝π×＝．故选A．] 【教用·备选题】 (2025·昆明市五华区校级模拟)已知圆台O1O2存在内切球O(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球)，若圆台O1O2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5∶8，设球O的体积与圆台O1O2分别为V1，V2，则＝(　　) A． B． C． D． C　[设圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r2＞r1＞0)， 母线长为l，高为h，内切球O的半径为R， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则l＝r1＋r2，h＝2R， 由＝，整理得＝0，而r2＞r1，解得r2＝3r1，l＝4r1， 因此圆台的高h＝＝2r1，R＝r1， 则圆台O1O2的体积V1＝＋r1·3r1＋(3r1)2]·2r1＝， 内切球O的体积V2＝π(r1)3＝，所以＝． 故选C．] 能力考点2　外接球问题 【典例2】　(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上．若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该外接球的表面积等于(　　) A．8π B．9π C．10π D．11π (2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π (3)[人教B版必修第四册P129复习题B组T14改编]已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积是 ． (1)A　(2)A　(3)4π　[(1)由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得 BC＝ ＝＝， 所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°， 所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点． 设△ABC的外接圆半径为r， 则r＝＝1． 又S△ABC＝BC·AC＝×1＝， 所以＝S△ABC·AA1＝，所以AA1＝2． 因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，设外接球的半径为R， 则R2＝r2＋＝12＋12＝2， 所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π．故选A． (2)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O在线段O1O2的延长线上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A． (3)因为SA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以四面体S-ABC的外接球半径等于以AB，BC，SA三边长为长，宽，高的长方体的外接球的半径． 因为SA＝AB＝1，BC＝， 所以2R＝＝2． 所以球O的表面积S＝4πR2＝4π．] 反思领悟：求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径． (2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的． (3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解． 1．若正四面体的表面积为8，则其外接球的体积为(　　) A．4π B．12π C．8π D．32π A　[设正四面体的棱长为a．由题意可知4×a2＝8，解得a＝2，所以正四面体的棱长为2．如图，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为2．因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径R＝，则外接球的体积V＝πR3＝4π．故选A． ] 2．(2025·鹤壁二模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD均为边长为的等边三角形，若二面角A-BC-D的大小为90°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为(　　) A．5π B．8π C．6π D．9π A　[如图，设BC的中点为E，连接AE，DE， 设△ABC的外心为O2，△BCD的外心为O1，O是四面体外接球球心， 则根据题意可知AE⊥BC，DE⊥BC，AE＝DE＝＝， 且O1，O2分别在DE，AE靠近E的三等分点处，四边形OO1EO2是正方形， 又EO1＝EO2＝DE＝，O1D＝DE＝1， 设四面体外接球的半径为R，则R＝＝． 所以外接球的表面积为4πR2＝4π×＝5π． 故选A．] 3．已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为(　　) A． B． C． D． A　[设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R， 则R2＝h2＋r2，S＝πR2， S1＝2πrh， V＝·πR3＝πR3， V1＝πr2h， 所以＝＝＝2＝1， 当且仅当r＝h时等号成立，此时R＝r， 所以＝＝＝．] 【教用·备选题】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A．　　　　　 B． C． D． C　[因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3， 设正四棱锥的底面边长为2a，高为h， 则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(h－3)2， 所以6h＝l2，2a2＝l2－h2， 所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h ＝＝， 所以V′＝＝l3， 当3l＜2 时，V′＞0，当2 ＜l3 时，V′＜0， 所以当l＝2 时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为， 又l＝3时，V＝，l＝3 时，V＝， 所以正四棱锥的体积V的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是． 故选C．] 1．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． C　[设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，四棱锥的高为h． 设四边形ABCD对角线夹角为α， 设S四边形ABCD＝·AC·BD·sin α·AC·BD·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)． 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2， 又r2＋h2＝1， 则VO -ABCD＝·2r2·h＝＝， 当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立，故选C．] 2．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ． [2，2]　[由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包括棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝×4，所以r＝2；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2．所以球O的半径的取值范围是[2，2]．] 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $