18 专题三 周末滚动诊断卷2 数列（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

周末滚动诊断卷2　数列 (考试时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为(　　) A． B． C． D． A　[因为z＝＝ ＝＝－2＋i． 所以复数z对应的点的坐标为． 故选A．] 2．(2025·潍坊市昌乐县模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，若a1＝2，a3＋a9＝24，则S6＝(　　) A．12 B．14 C．42 D．84 C　[因为数列为等差数列，所以a3＋a9＝2a6，所以a6＝12． 所以S6＝＝＝42． 故选C．] 3．(2025·湖南长沙市芙蓉区模拟)若1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则等差数列的公差为(　　) A．3 B．3或－1 C．－3 D．3或－3 A　[∵1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则 解得或(舍去)． ∴等差数列的公差为b－a＝3． 故选A．] 4．(2025·山西太原模拟)北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们所成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，还是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为(　　) A．35 B．34 C．31 D．30 C　[从这七个点中任意选取三个点作三角形有＝35(个)， 其中共线的四点中有＝4(个)不能构成三角形， 所以不同的三角形有31个， 故选C．] 5．已知等比数列{an}递增，前n项和为Sn，a4a5＝3，a3＋a6＝4，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[根据等比数列{an}的性质可得，a3a6＝a4a5＝3， 又a3＋a6＝4，又因为{an}是递增数列， 解得a3＝1，a6＝3，因为q3＝， 所以数列{an}的公比q满足q3＝3， 所以＝＝1＋q3＝4． 故选D．] 6．[新定义]定义两个平面向量a，b之间的一种运算：a*b＝|a||b|·sin θ，其中θ是向量a，b的夹角，则对于非零向量a，b，下列结论不一定成立的是(　　) A．该运算满足交换律，即a*b＝b*a B．若向量a，b共线，则a*b＝0 C．a*b的值等于以a，b为邻边的平行四边形的面积 D．对任意向量c，有(a＋b)*c＝a*c＋b*c D　[对于A选项，根据定义， a*b＝b*a＝|a||b|sin θ，故A选项一定成立； 对于B选项，若向量a，b共线，则θ＝0或π，则sin θ＝0，所以a*b＝0，故B选项一定成立； 对于C选项，以a，b为邻边的平行四边形的面积为2×|a||b|sin θ＝|a||b|sin θ＝a*b，故C选项一定成立； 对于D选项，若c＝a＋b且a与b不共线，则(a＋b)*c＝c*c＝0，但a*c＋b*c≠0，故D选项不一定成立． 故选D．] 7．已知数列的前n项和为Sn，且满足S1＝2，3Sn＝an，则使不等式Sn<2 026成立的n的最大值为(　　) A．15 B．17 C．20 D．22 B　[由3Sn＝an，当n2时，得3Sn－1＝an－1， 两式相减并整理得＝，则··…·＝×…×，n2，即＝，n2， 又因为a1＝S1＝2，所以an＝n，n2， 当n＝1时也满足上式，所以an＝n，n∈N*， 则Sn＝，n∈N*，显然Sn随n的增大而增大， 又S17＝1 938<2 026，S18＝2 280>2 026，n的最大值为17． 故选B．] 8．[易错题]已知－<α<0，－π<β<－，sin 2α－sin β＋sin ＝0，则cos α＋sin ＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D． B　[sin 2α－sin β＋sin ＝sin 2α－sin β＋sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝0， 即sin 2α＝sin β， 则2sin αcos α＝2sin βsin2α， 因为－<α<0，则sinα≠0， 化简得cos α＝sin βsin α， 即cos αcos β－sin βsin α＝－cos α， 即cos ＝－cos α＝cos ， 因为－<α<0，－π<β<－， 则－<α＋β<－，－<α－π<－π， 故α＋β＝α－π或α＋β＋α－π＝－2π， 即β＝－π(舍去)或2α＋β＝－π， 则cos α＋sin ＝cos α＋sin ＝cos α－cos α＝0． 故选B．] 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·上海市嘉定区二模)已知实数a，b满足a＞b，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a3＞b3 B．>1 C．a2＋b2＞2ab D．2a＞2b ACD　[对于A，函数y＝x3在R上单调递增，若a＞b，必有a3＞b3，不等式恒成立； 对于B，当a＝－1，b＝－2时，a＞b，但＝<1，不等式不恒成立； 对于C，a＞b，根据基本不等式可知a2＋b2＞2ab，不等式恒成立； 对于D，函数y＝2x在R上单调递增，若a＞b，必有2a＞2b，不等式恒成立． 故选ACD．] 10．(2025·广东珠海模拟)已知在首项为1，公差为d的等差数列{an}中，a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．d＝0或d＝3 B．Sn＝ C．是等差数列 D．bn＝4n-1 AC　[由已知可得，a2＝1＋d，a6＝1＋5d， ∵a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项， ∴(1＋d)2＝1×(1＋5d)，解得d＝0或d＝3，故A正确； 当d＝0时，Sn＝n， 当d＝3时，Sn＝n＋＝，故B错误； 由上述解析知，＝1或＝，数列是等差数列，故C正确； 当d＝0时，bn＝1，当d＝3时，bn＝4n-1，故D错误． 故选AC．] 11．设函数f＝，数列满足x1＝，xn＋1＝f，则(　　) A．x2＝ B．f＋f为定值 C．数列为等比数列 D．xn<1＋ ACD　[由xn＋1＝f＝，x1＝，则x2＝＝＝，故A正确； 由f＋f＝ ＝＝， 则显然f＋f不是常数，故B错误； 由＝＝＝5·，又＝5，则＝5， 则数列是以5为首项，5为公比的等比数列，故C正确； 则＝5n，即xn＝＋1， 由1＋－xn＝1＋＝>0，则xn<1＋，故D正确． 故选ACD．] 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则a10＝ ． 21　[因为等差数列{an}的首项为3，公差为2， 则a10＝a1＋9d＝3＋9×2＝21．] 13．已知集合A＝，B＝，若A∪B＝A，则实数a＝ ． 0或2　[因为A∪B＝A， 所以B⊆A． 根据集合中元素的互异性，可知a2≠1⇒a≠1且a≠－1． 若a2＝0⇒a＝0，此时A＝，B＝，满足B⊆A． 若a2＝a＋2，化简得＝0，解得a＝2或a＝－1(舍去)． 此时A＝，B＝，满足B⊆A． 综上a＝0或2．] 14．(2025·广东湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5＝ ，{an}的前202项和为 ． 14　49 609　[{3n＋2}与{4n} 的公共项为12n－4，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，…， 所以a5＝14，且每两个相邻的公共项之间有5项， 以这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为(202－2)÷5＝40， 所以{an}的前202项和为4＋5＋40×70＋＝49 609．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)[结构不良题](2025·北京市房山区月考)已知等差数列{an}满足a5＝9，a3＋a9＝22． (1)求{an}的通项公式． (2)等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求满足Sn＜2 026的n的最大值． 条件①：b3＝a1＋a2； 条件②：S3＝7； 条件③：bn＋1＞bn． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， ∵a5＝9，a3＋a9＝22， ∴a1＋4d＝9，2a1＋10d＝22， 解得a1＝1，d＝2， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1． (2)(ⅰ)选择①②：因为an＝2n－1， 所以a1＝1，a2＝3， 所以b1＝1． 因为b3＝a1＋a2， 所以b3＝4， 因为S3＝7，b1＝1，b3＝4， 所以b2＝2， 因为数列{bn}为等比数列，设公比为q， 所以q＝2， 所以Sn＝＝2n－1， 所以2n－1＜2 026， 解得n10． 即满足Sn<2 026的n的最大值为10． (ⅱ)选择①③：因为an＝2n－1， 所以a1＝1，a2＝3， 所以b1＝1． 因为b3＝a1＋a2， 所以b3＝4， 因为数列{bn}为等比数列，设公比为q， 所以q2＝4， 因为bn＋1＞bn， 所以b2＞b1， 所以q＝2， 所以Sn＝＝2n－1， 所以2n－1＜2 026， 解得n10． 即满足Sn<2 026的n的最大值为10． (ⅲ)选择②③：因为an＝2n－1， 所以a1＝1，a2＝3， 所以b1＝1， 因为S3＝7， 所以b1＋b2＋b3＝7， 因为数列{bn}为等比数列，设公比为q， 所以1＋q＋q2＝7， 解得q＝2或q＝－3， 因为bn＋1＞bn， 所以b2＞b1， 所以q＝2， 所以Sn＝＝2n－1， 所以2n－1＜2 026， 解得n10． 即满足Sn<2 026的n的最大值为10． 16．(15分)(2025·山东济南模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2cos B＋ab cos A＝2c． (1)求a； (2)若A＝，且△ABC的周长为2＋，求△ABC的面积． [解]　(1)由题设a(a cos B＋b cos A)＝2c，由正弦定理有 a(sin A cos B＋sin B cos A)＝2sin C， 所以a sin (A＋B)＝2sin C，而A＋B＝π－C，故a sin C＝2sin C，又sin C>0， 所以a＝2． (2)由(1)及已知，有cos A＝＝＝－，可得b2＋c2＋bc＝4， 又a＋b＋c＝2＋，即b＋c＝， 所以(b＋c)2－bc＝5－bc＝4，解得bc＝1， 故S△ABC＝bc sin A＝． 17．(15分)(2025·贵州贵阳模拟)对于数列{an}，记区间(1，an)内偶数的个数为bn，则称数列{bn}为{an}的偶数列． (1)若数列{dn}为数列{n3}的偶数列，求d3； (2)若数列{cn}为数列{2n+1＋3}的偶数列，证明：数列{cn－1}为等比数列； (3)在(2)的前提下，若数列{bn}为等差数列{an}的偶数列，a1＝5，a5＝13，求数列{bncn}的前n项和Sn． [解]　(1)在区间(1，33)内的偶数为2，4，…，26，共有13个，可得d3＝13． (2)证明：在区间(1，2n+1＋3)内的偶数有2，4，…，2n+1，2n+1＋2， 可得cn＝＋1＝2n＋1， 即有cn－1＝2n，则数列{cn－1}是首项和公比均为2的等比数列． (3)若数列{bn}为等差数列{an}的偶数列，a1＝5，a5＝13， 设等差数列{an}的公差为d，可得5＋4d＝13，解得d＝2， 则an＝5＋2(n－1)＝2n＋3， 则bn＝＋1＝n＋1， bncn＝(n＋1)·2n＋(n＋1)， 设Tn＝2×2＋3×22＋…＋(n＋1)·2n， 2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n＋1)·2n+1， 相减可得－Tn＝4＋22＋…＋2n－(n＋1)·2n+1＝2＋－(n＋1)·2n+1， 化简得Tn＝n·2n+1， 则Sn＝n·2n+1＋n(2＋n＋1)＝n·2n+1＋． 18．(17分)(2025·山西太原月考)已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝2，b1＝1，a3＋b2＝8，a2＝b3． (1)求{an}，{bn}的通项公式． (2)已知数列{cn}的前n项和为Sn，且2cn－Sn＝an． (ⅰ)证明：数列{cn＋1}是等比数列； (ⅱ)设数列{dn}满足dn＝cn＋log2bn＋1，求{dn}的前n项和Tn． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q＞0)， 因为a1＝2，b1＝1，a3＋b2＝8，a2＝b3， 所以2＋2d＋q＝8，2＋d＝q2，解得d＝q＝2(负的舍去)， 所以an＝2n，bn＝2n-1． (2)(ⅰ)证明：当n＝1时，2c1－c1＝1，即c1＝1， 当n2时，联立 ①－②，可得2cn－2cn－1－cn＝1，即cn＝2cn－1＋1， 所以＝＝2， 又c1＋1＝2，所以{cn＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (ⅱ)由(ⅰ)可得cn＋1＝2n，则cn＝2n－1，dn＝2n＋n－1， 所以Tn＝d1＋d2＋d3…＋dn－1＋dn ＝(21＋22＋23＋…＋2n-1＋2n)＋(0＋1＋2＋…＋n－2＋n－1)＝＝2n+1＋－2． 19．(17分)[学科内综合](2025·烟台、德州联考模拟节选)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence，简称AI)已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A＝“学生报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计P(A)＝，P(B|A)＝，P(A|B)＝． (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 单位：人 答题活动 性别 合计 男生 女生 未报名参加 报名参加 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置m道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望． 参考公式与数据： χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [解]　(1)因为P(A)＝，所以报名参加答题活动人数为100×＝45， 又因为P＝，所以报名参加答题活动的男生人数为45×＝30， 报名参加答题活动的女生人数为45－30＝15， 又P＝，所以样本中男生人数为30÷＝50，女生人数为50， 得到2×2列联表为 单位：人 答题活动 性别 合计 男生 女生 未报名参加 20 35 55 报名参加 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为H0：学生报名参加答题活动与性别无关， 则χ2＝＝≈9.091>7.879＝x0.005， 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． (2)设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为1，2，3，…，m， 其中p(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，m－1)，p＝， 所以E＝＋2×＋3×＋…＋＋m×． E＝＋2×＋3×＋…＋＋m×， 以上两式错位相减得 E＝＋…＋＋－m×， 所以E＝1＋＋…＋＋－3m·＝－3m·＝3－2·． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $