13 专题二 周末滚动诊断卷1 三角函数与解三角形（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

周末滚动诊断卷1　三角函数与解三角形 (考试时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A． B． C． D． A　[由题得，A＝，B＝{x|x<0或x>1}， 则A∩B＝．故选A．] 2．(2025·邯郸四调)已知复数z＝(x∈R)，则“|z|<”是“x>2”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[＝＝＝<，解得x<－2或x>2， 所以“|z|<”是“x>2”的必要不充分条件． 故选C．] 3．(2025·东莞市月考)为了得到函数y＝sin 的图象，只需要把函数y＝cos x上所有的点(　　) A．向右平移个单位长度，横坐标变为原来的 B．向左平移个单位长度，横坐标变为原来的2倍 C．横坐标变为原来的，向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位长度 A　[y＝sin ＝sin ＝cos ， 结合选项可知，把函数y＝cos x上所有的点向右平移个单位长度，横坐标缩小到原来的，A正确，B错误； 把函数y＝cos x上所有的点的横坐标变为原来的，向左平移个单位长度可得y＝cos 的图象，C错误； 把函数y＝cos x上所有的点的横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位长度可得y＝cos 的图象，D错误． 故选A．] 4．(2025·甘肃一模)若α∈，sin ＝，则cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ C　[因为α∈，所以α＋∈， 所以cos ＝ ＝＝， 因此，cosα＝cos ＝cos ·cos ＋sin sin ＝＝． 故选C．] 5．(教材改编)已知(4x＋a)(1－2x)4的所有项的系数和为5，则x2的系数为(　　) A．－32 B．－8 C．24 D．48 B　[由题意，在(4x＋a)(1－2x)4中，令x＝1， 得所有项的系数和为(4＋a)×(1－2)4＝5，解得a＝1， 故(4x＋a)(1－2x)4＝4x·(1－2x)4＋(1－2x)4的展开式中，x2的系数为×12×(－2)2＝－32＋24＝－8． 故选B．] 6．[新考法](2025·河北模拟)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，下表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则sin 2 200°＝(　　) α 5° 15° 25° 35° tan α m n p q A． B． C． D． A　[sin 2 200°＝sin ＝sin 40°＝cos 50°＝＝＝． 故选A．] 7．已知tanθ＝3，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[＝ ＝＝＝2． 故选B．] 8．(2025·潍坊模拟)已知函数f＝，则f图象的对称轴方程为(　　) A．x＝，k∈Z B．x＝，k∈Z C．x＝，k∈Z D．x＝，k∈Z C　[因为f＝ ＝， F＝＝＝f， 所以为函数f的一个周期， 当x∈时，x＋∈， 此时f＝sin ＋cos ＝sin ，作出函数的图象如图， 由图象可得，函数f图象的对称轴方程为x＝，k∈Z．故选C．] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·张家港市月考)下列说法中正确的有(　　) A．命题“∀x∈R，cos x－1”的否定是“∃x∈R，cos x＜－1” B．若α是第三象限角，则在第三象限 C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角(正角)的弧度数为 D．若角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，则sin α＝ AC　[A：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为∃x∈R，cos x＜－1，故A正确； B：由α是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，又sin ＝cos α，tan (π＋α)＝tan α，所以(cos α，tan α)在第二象限，故B错误； C：设扇形的半径为r，弧长为l，则可得或 当时，则圆心角的弧度数为＝；当时，则圆心角的弧度数为＝8>2π(舍)， 所以扇形的圆心角(正角)的弧度数为，故C正确； D：角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，则sin α＝＝＝±，故D错误． 故选AC．] 10．下列函数最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝(其中x∈(0，1)) C．y＝ D．y＝2log2a＋loga4(a>1) BCD　[对于A，取特值x＝－3，得y＝－12<4，A错误． 对于B，y＝＝＝4，当且仅当x＝1－x，即x＝时，y取得最小值4，B正确． 对于C，法一：y＝＝×(sin2x＋cos2x)＝2＋2＋2＝4， 当且仅当sin2x＝cos2x时等号成立，C正确． 法二：y＝＝＝，sin22x∈(0，1]，故y4，C正确． 对于D，y＝2log2a＋loga4＝2(log2a＋loga2)，由于a>1，所以log2a>0，loga2>0，从而log2a＋loga22 ＝2，于是y4，当且仅当log2a＝loga2，即a＝2时等号成立，D正确．故选BCD．] 题后反思：利用基本不等式求最值要灵活应用“配凑”、妙用“1”、“齐次化”、“取特值”等方法． 11．(2025·达州模拟)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数g(x)为奇函数 B．函数g(x)的最小正周期为π C．函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z) D．函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z) BD　[由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知， A＝3，且T＝＝， 所以T＝π，解得ω＝＝2， 又f＝3sin ＝3， 所以sin ＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－， 所以f(x)＝3sin ． 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后， 得y＝f＝3sin ＝3sin 的图象， 所以g(x)＝3sin ，所以g(x)不是奇函数，A错误； g(x)的最小正周期为T＝＝π，B正确； 令2x＋＝＋kπ，解得x＝kπ，k∈Z， 所以g(x)图象的对称轴为直线x＝kπ＋，k∈Z，C错误； 令－＋2kπ2x＋＋2kπ，解得－＋kπx＋kπ，k∈Z， 所以g(x)的单调递增区间为，k∈Z，D正确． 故选BD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是 ． 2　[由题意知，f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈， sin ∈，于是f(x)∈[－，2]，故f(x)在[0，π]上的最大值为2．] 13．[开放题](2025·榆林模拟)已知向量a＝，向量b在向量a方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量b＝ ． 或(答案不唯一)　[设b＝，则根据条件有＝＝＝，即＝2． 从而只要b＝满足m＋n＝2或m＋n＝－2即可． 故答案为或(答案不唯一，写出任意一个即可)．] 14．(2025·甘肃模拟)设△ABC的面积为S，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2＝，则的最大值为 ． 　[由题意得cos A＝＝ ＝＝，当且仅当b＝c时取等号． 因为cos A＝，即b2＋2c2＝6bc cos A， 所以＝＝tan A＝＝，当且仅当b＝c时，取得最大值． 故答案为．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2025·济南市模拟节选)记等差数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，已知a1＝1，S3＝6． (1)求的通项公式； (2)求Tn． [解]　(1)设等差数列的公差为d， 所以S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝3＝6，则a1＋d＝2，又a1＝1，所以d＝1， 所以an＝a1＋d＝1＋×1＝n， 即an＝n． (2)由(1)有Sn＝， 所以＝＝2， 所以Tn＝＋…＋＝2＝2＝， 所以Tn＝． 16．(15分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C． (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC． [解]　(1)证明：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理， 得sin ∠ABC＝，sin C＝， 因为BD sin ∠ABC＝a sin C， 所以BD·＝a·，即BD·b＝ac． 又因为b2＝ac，所以BD＝b． (2)法一：两次应用余弦定理 因为AD＝2DC，如图， 在△ABC中，cos C＝ ，① 在△BCD中，cos C＝ ．② 由①②得a2＋b2－c2＝3，整理得2a2－b2＋c2＝0． 又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0， 解得a＝或a＝， 当a＝，b2＝ac＝时，a＋b＝<c(舍去)． 当a＝，b2＝ac＝时， cos ∠ABC＝＝． 所以cos ∠ABC＝． 法二：等面积法和三角形相似 如图，已知AD＝2DC，则S△ABD＝S△ABC， 即b2sin ∠ADB＝ac·sin ∠ABC， 而b2＝ac，即sin ∠ADB＝sin ∠ABC， 故有∠ADB＝∠ABC，从而∠ABD＝∠C． 由b2＝ac，即＝，即＝， 即△ACB∽△ABD， 故＝，即＝， 又b2＝ac，所以c＝a， 则cos ∠ABC＝＝． 法三：正弦定理、余弦定理相结合 由(1)知BD＝b＝AC，再由AD＝2DC得AD＝b，CD＝b． 在△ADB中，由正弦定理得＝． 又∠ABD＝∠C(见法二)，所以＝， 化简得sin C＝sin A． 在△ABC中，由正弦定理知c＝a，又由b2＝ac， 所以b2＝a2． 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos ∠ABC＝＝＝． 故cos ∠ABC＝． 法四：构造辅助线利用相似的性质 如图，作DE∥AB，交BC于点E，则△DEC∽△ABC． 由AD＝2DC，得DE＝，EC＝，BE＝． 在△BED中，cos ∠BED＝． 在△ABC中，cos ∠ABC＝． 因为cos ∠ABC＝－cos ∠BED， 所以＝－， 整理得6a2－11b2＋3c2＝0． 又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0， 即a＝或a＝c． 下同法一． 法五：平面向量基本定理 因为AD＝2DC，所以＝2． 以向量为基底，有＝． 所以＝＋·， 即b2＝a2＋ac cos ∠ABC＋c2， 又因为b2＝ac，所以9ac＝4a2＋4ac·cos ∠ABC＋c2．① 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC， 所以ac＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，② 联立①②，得6a2－11ac＋3c2＝0． 所以a＝c或a＝c． 下同法一． 法六：建系求解 以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴， DC长为单位长度建立平面直角坐标系， 如图所示，则D，A，C． 由(1)知，BD＝b＝AC＝3，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设B，则x2＋y2＝9．① 由b2＝ac知，·＝， 即·＝9．② 联立①②解得x＝－或x＝3(舍去)，y2＝， 代入②式得a＝|BC|＝，c＝|BA|＝，b＝3， 由余弦定理得cos ∠ABC＝＝． 题后反思：本题第(2)问解答方法如下： 法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化． 17．(15分)(2025·邯郸四调)如图，在平面四边形ABCD中，A＝C＝60°，∠ABC＝90°，BC＝． (1)若BD＝，求CD的长； (2)设∠CBD＝θ，AB＝y，将y表示成θ的函数，并求y的取值范围． [解]　(1)由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 60°， 即＝3＋CD2－CD， 解得CD＝或CD＝． (2)∵∠CBD＝θ， ∴∠ABD＝90°－θ，∠CDB＝120°－θ，∠ADB＝30°＋θ． 在△BCD中，由正弦定理得＝， 即BD＝． 在△ABD中，＝， 即BD＝， ∴＝， 即y＝3－， ∵0°<θ<90°，∴tan θ>0，∴y∈(1，3)． 18．(17分)[概率]某城市推广垃圾分类，设置智能回收箱(方式A)和传统垃圾桶(方式B)．统计显示，60%的居民选择方式A，40%的居民选择方式B，若垃圾被正确分类，则垃圾被回收，不用填埋．智能回收箱的正确分类率为85%，错误分类后需人工处理，人工处理可将错误分类垃圾的40%重新正确分类，其余直接填埋；传统垃圾桶的正确分类率为75%，错误分类后直接填埋． (1)求垃圾最终被填埋的概率； (2)若某吨垃圾被填埋，求其最初通过传统垃圾桶投放的概率； (3)现有一吨垃圾要整体处理，设X为其处理成本(单位：元)，正确分类无需成本，人工处理成本为200元，填埋成本为500元．求X的分布列及数学期望． [解]　(1)记A为事件“垃圾按照方式A分类”，M为事件“垃圾最终被填埋”， 则P＝P＋P＝0.6×0.15×0.6＋0.4×0.25＝0.154． (2)由题意得，P＝＝＝． (3)由题意，X的可能取值为0，200，500，700， 且P＝0.6×0.15×0.4＝0.036， P＝0.4×0.25＝0.1， P＝0.6×0.15×0.6＝0.054， P＝1－0.1－0.036－0.054＝0.81， 故X分布列如下： X 0 200 500 700 P 0.81 0.036 0.1 0.054 E＝0×0.81＋200×0.036＋500×0.1＋700×0.054＝95． 19．(17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC的平分线BD交AC于点D，a cos2B＋b sinA sin B＝2b． (1)求； (2)若cos C＝，BD＝2，求△ABC的面积． [解]　(1)已知sin A cos2B＋sinB sin A sin B＝2sin B， 根据同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1，对等式左边提取公因式sinA可得： sin A(cos2B＋sin2B)＝2sinB， 因为cos2B＋sin2B＝1，所以sinA＝2sin B． 由正弦定理＝，可得＝，所以＝． (2)已知cos C＝＝＝， 即＝⇒5b2－c2＝b2⇒4b2＝c2⇒c＝2b， 因为a＝2b，所以a＝c，△ABC为等腰三角形， 所以BD⊥AC． 在Rt△BCD中，sin C＝＝＝，即＝， 解得b＝． 因为a＝2b，所以S△ABC＝ab sin C＝×2b×b sin C， 将b＝，sin C＝代入可得，S△ABC＝×2×＝． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $