第5章 分式与分式方程 测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

交于点C(n,2),∴.把C(n,2)代入y=2x-4,得2=2n- 4,解得：n=3,把C(3,2)代入y=mx+4,得2=3m+4, 解得：m=-子直线4B:y=一子+4，当y=0时，则0 2 =-子+4，解得=6A(6,0): 3x+4< (2)直线AB:y=-3x+4,A(6,0),.当y=-2 0时，x的取值范围是x>6; (3)0<mr+4≤2x-4,即0<-子+4≤2x-4,根据图象 此时的不等式0<-号x+4≤2x-4的解集为3≤x<6. 第四章测试卷 一、选择题 1.B2.A3.B4.A5.A6.C7.D8.B9.A 10.A 二、填空题 11.2312.7013.x<y<z14.①③15.22或24 三、解答题 16.解：(1)原式=3(x2-4xy+4y2)=3(x-2y)2; (2)原式=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4+4x)(x2+4-4x) =(x+2)2(x-2)2 17.解：设另一个因式为a+k,则a2+4a+b=(a+3)(a +k),展开右边：(a+3)(a+k)=a2+(k+3)a+3,比 较系数得：k+3=4,b=3k,解得k=1,b=3,∴.另一个因 式为a+1,b=3. 18.证明：(2n+1)2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n- 1)]×[(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n,n是整数， .8n是8的倍数，故两个连续奇数的平方差是8的倍数 19.解：S=πR2-4πr2=T(R2-4r2）=π(R+2r）(R 2r)≈3×(8.6+2×0.7)×(8.6-2×0.7)=216(cm2). 答：剩余钢板的面积为216cm2. 20.解：(1)①； (2)(3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x- 3y)=(4x+4y)(2x-2y)=8(x+y)(x-y). 21.解：(1)a-b=3,.50÷5=5-6=53=125; (2)2”-2=227+n-204+m=23.224,2”-22024.2”= (23-1)×224×2”=7×224×2”=7×2×220四×2=14 ×22023+",n为正整数，.14×2203+m一定能被14整除， .2-2能被14整除. 22.解：(1)x2+2y2-2xy+4y+4=0,.x2-2xy+y2+ +4+4=0(x+g+2=0,20,解 得∫x=-2 =-2 (2).a2+b2=10a+8b-41,.a2-10a+25+b2-8b+ fa-5=0 16=0,(a-5)2+(6-4)2=0,6-4=0解得 ∫a=5 6=4c是最长边的长，…5<c<9. .85 23.解：(1)原式=(m-7)2-52=(m-7+5)(m-7-5) =(m-2)(m-12): (2)原式=-(m2-12m+36-36)-18=-(m-6)2+ 18,因为无论m取何值，-(m-6)2都小于或等于0，所 以-(m-6)2+18≤18，则-m2+12m-18有最大值， 为18. 第五章测试卷 一、选择题 1.C2.C3.A4.B5.A6.A7.A8.A9.B 10.B 二、填空题 1.412,13.-3或4143<x≤6且x≠4 x+y 15.-6 三、解答题 16.解：(1)原方程两边同时乘x(x+3)得5x=2(x+3), 去括号得5x=2x+6,解得：x=2,检验：当x=2时，最简 公分母x(x+3)≠0，∴.分式方程的解为x=2; (2)原方程两边同时乘(x-1)(x+2),得3+(x-1)(x +2)=x(x+2),去括号得3+x2+2x-x-2=x2+2x,解 得：x=1,检验：当x=1时，最简公分母(x-1)(x+2)= 0,.x=1是分式方程的增根，.分式方程无解。 7解：（号为己4f+5+25+ 2 3=0,∴.-x2+5x=3,∴.原式=3+2=5. 18.解：原式=2x3》.1.（x+3)x-22。 (x-2)7x+3 3-x 名2因为式子的值为正数，所以-2<0.即<2.又 因为式子中，x需满足x≠2，x≠±3，所以当x<2,且x≠ -3时，式子2红-6(x+3).+6的值为正数 x2-4x+4 3-x 9解：依题意(2-24d l七+2）(x-2)-x(x-1).（x-2）2]·x2 x(x-2) = r =-2.x2=x(x-2)=x2-2x, ∴.输出D的化简结果为x2-2x. 20.解：(1)C; (2)m+3=m+1+2=m+1,2 m+1-m+1m+1m+1< m+1 21.解：(1)二；三； （2)原武=(2克号-2+2 x-3 x-2x-2 =2x-5-x+2.(x-2)(x+22 x-2 x-3 =-3.（x-2)x+21=x+2, x-2 x-3 -1=3+(-2),解得x=子检验：当=时5(x x+2≠0，x-2≠0，x-3≠0，∴.x≠-2,2,3，.x可取 4,5,当x=5时，原式=7.（或当x=4时，原式=6） ,·x三)是原分式方程 22.解：(1)x+7_x+6=11 x+8x+7x+7x+8 ):2+2+-2产两边同乘(x-1)(:+2) (2)x 3 (2)x+n+1x+n 1 1 得：x(x-1)+3=x(x+2),解得x=1,检验：当x=1时， x+n+2x+n+1x+n+1x+n+29 (x+2)(x-1)=0,∴.x=1是原分式方程的增根，.原分 (3)证明：第①个等式等号左边=+n+! x+n 式方程无解. x+n+2x+n+1 17.解：(1)原式=1-(x2-2xy+y2)=1-(x-y)2=(1 （x+n+1)2 (x+n)(x+n+2) (x+n+1)(x+n+2)(x+n+1)(x+n+2) +x-y)(1-x+y); =x+n)2+2(x+m)+1(x+n)2+2(x+n) (2)原式=(x2-9)2=[(x+3)(x-3)]2=(x+3)2(x-3)2. 18.解：.4a2+9b2+11ab=(4a2+9b+12ab)-ab=(2a (x+n+1)(x+n+2)(x+n+1)(x+n+2) +3b)2-ab,.4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型 1 =(x+n+1)(x+n+2) 地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖， 第0个等式等号右边= 19.解：该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的 1 1 x+n+2 顺序为从左到右.正确的解答过程如下：x÷(x-1)· x+n+1x+n+2=(x+n+1)(x+n+2) 1 11 x+n+1 1 x-1=x‘x-1'x-=(x-1)2 (x+n+1)(x+n+2)=(x+n+1)(x+n+2)' 20.解：(1)原式=(ab+b)+(a+1)=b(a+1)+(a+ 所以第D个等式等号左边=等号右边，故第⑩个等式 1)=(a+1)(b+1); 成立 (2)证明：.a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2=(a 23.解：(1)设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单 -c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b),a,b,c是△ABC的 价为子元 三边，∴.a-c+b>0,a-c-b<0,.(a-c+b)(a-c- b)<0,即a2-b2+c2-2ac<0. 山题意可得学四=4，解得x:罗，经检验 200 200 3 2L条安试D片中： 4x 文3*3女5+57+…+02a+32nt521 11 1 3 是原方程的解，4x=50(元). 1 1 答：开元占经》单价为50元，《甘石星经单价为元： 1 1 (2)设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》(100- m)本，100-m≥3m,解得m≤75，设总费用为0元，w= 1 1 12n+4_n+2.n+2_9 2m+5)=2×2n+5-2n+5心2n+519, 50×0.75m +200x0.75×(100-m)=-12.5m+5000, 解得n=7; 3 1 1 因为-12.5<0，所以w随m的增大而减小，所以当m= (2)1 +1+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+…+ 75时，0最小，此时100-m=25(本). 1 170 答：购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本时费用 (x+99)(x+100)=(x+1)(x+100) 最少 左边=1+11 中+中2*中2中3+…+十g 11 第二次月考测试卷 x+99 一、选择题 1111 x+199 1.C2.B3.D4.B5.A6.D7.A8.A9.A x+100=x+1+x+1x+100=(x+1)(x+100), 10.B x+199 170 二、填空题 六(x+1)(x+10)=x+1)(x+100x+19=170, 11.812.-213.a<2且a≠114.>15.x+1)2 1 解得：=-29，”原式中存在(x+28)(x+29)和 三、解答题 (x+29)(x+30)两项.当x=-29时，这两项无意义， 1 )之5x210+写，两边同乘5(x-2)得：5(x 16.解：(1)x-1=3 即原方程无意义，故原方程无解. ·86·第五章测试卷 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列各式是分式的是 ( A.3x B青 C. x+2 D.+1 2 2在分式，3中*的取值范围是 A.x>3 B.x≥3 C.x≠3 D.x≤3 3计算兰·产4的结梨是 e A.0+2 B.-a+2 C.a-2 D.、a-2 2a 2a 2a 2a 4.已知关于x的分式方程+0=2的解为负数，则a的取值范围为 x+1 A.a<2 B.a<2且a≠1 C.a<-2 D.a<-2且≠-3 5.一项工程，甲单独干，完成需要α天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需 的天数是 () A.ab a+b B.a+b C.a+b D.ab(a+b) ab 6.下列计算错误的是 A.12+2.2 Am二g+3-m=m+3 一二 高+ C.at3a 4b a-b+a-b-a-b- =4 D.,5-2+3=l0bc-8ac+9ab 6ab3ab *4abe 12a2b2c .49· 7关于x的分式方程，5=1，下列说法正确的是 A.m<-5时，方程的解为负数 B.方程的解是x=m+5 C.m>-5时，方程的解是正数 D.以上都不对 8.-9÷M化简的结果为整式，其中M是含有x的一次二项式，则M不可能是 x+2x2-4 A.x+2 B.x-2 C.x+3 D.x-3 )若a为正整数，下刻关于分式二子的前的结论正确的是 A.有最大值是2 R有最大值是号 C.有最小值是1 D.有最小值，没有最大值 10.如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具，假设某社区组织居民去距离社 区10km的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，6in后其余居 民骑共享电动车出发，结果同时到达，已知共享电动车的速度是共享单车速度的1.5倍，设共 享单车的速度为xk/h,根据题意可列方程 A.10、10 6 B.10-101 x1.5x ·x-1.5x-10 c199-6 n8”品 第二部分 非选择题（共90分) 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） Ⅱ如架x=6是关于x的分式方程”2子的解，则m的值是 x2-xy ÷米二1= 12.化简+2xy+yx+y 13.若9-4.1a+21=0-4成立，则a= a+1 a+1 14函数)三人右+4中，自变量x的取值范围泥 ·50· 15定义一种新运算：对于任意的非零实数a,6,y都有*y名-六若53=2，则0,56 ab 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(本小题8分)》 解分式方程. (1)5-2 x+3=元 3 (2)x-10x+2)+1 17.(本小题8分) 先化简，再求值：（号）己4其中：满足-5+3-0 .51· 18.(本小题8分) 当取何值时武子4+3》，：的值为正数： 3-x 19.（本小题8分) 根据如图所示的程序，求输出D的化简结果 输入x /输出D/ (第19题图)》 ·52· 20.(本小题8分)》 我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性 质，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫作真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分 母整式的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任意一个假分式都可以化成整式与 真分试的和的形试如2名1+ x-1 (1)下列分式中，属于真分式的是(). A.+2 B.t~1 3 D.女+1 x-1 x+1 C.2x-1 x2-1 (2)将假分式m+3化成整式与真分式的和的形式 m+1 .53· 21.（本小题10分) 下面是小年化尚(2-1)÷营的过程 解：原式=(2x-5x-2 x-3 (-2x-)÷x-2)x+2) 第一步 =2x-5-x-2.(x-2)(x+2) 第二步 x-2 x-3 =（x-7)(x+2) 第三步 x-3 (1)小华的化简过程中，从第 步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第 步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2,3,4,5中选择一个合适的数代入求值. ·54· 22.（本小题12分) 阅读两位同学的探究交流活动过程： 小杰在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明. x+2x+111 x+3x+2x+2x+3 ① 小杰尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： x+3x+211 x+4x+3x+3x+4 ②： x+4x+3 11 x+5x+4x+4x+5 ③： x+5x+4_11 x+6x+5x+5x+6 ④. 小杰邀请同学小俊，根据规律写出第⑥个等式和第⑦个等式（用含的式子表 小俊对第@个等式进行了证明： 请解答下列问题： (1)第⑥个等式是 (2)第⑦个等式是 (3)请证明第⑦个等式成立. .55· 23.(本小题13分) 中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就.《开元占经》记载了众多天文现象和数 据，《甘石星经》则是古代重要的天文学著作.某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石 星经》单价的子，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本 (1)求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？ (2)在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共100本，且购买的《甘石星经》数量 不少于《开元占经》数量的行由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求 两种图书分别购买多少本时费用最少？ 示，n为正整数)， ·56·