第20章 勾股定理 测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章测试卷 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分）》 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别是4和6，则另一条直角边的长是 A.2 B.25 C.213 D.4 2.如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(1，√3)，则OA的长为 A.1 B.2 ,4(1,5 C.√3 012 D.2 (第2题图) 3.下列各组数中，是“勾股数”的是 () A.4,5,6 B.5,12,13 C.1.2,1.5,1.7 D.5,12,23 4.如图，直线1上有三个正方形A、B、C,若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B的面 积为 A.93 B.12 C.14 D.35 A (第4题图) (第5题图)》 第6题图) 5.如图，在长方形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE 的长为 () A.1 B.5 C.22 D.√10 6.如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相 对的食物B,则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是 A.4 B.5 C.8 D.10 …9… 7.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m.当小猫从木板底端爬 到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m,木板顶端向下滑动了0.9m,则小猫在木板上爬动的距 离为 () A.3 m B.2.5m C.2m D.1.5m 马 (第7题图) (第8题图) 8.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位 置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是 A.5 B.√5 C.√13 D.√17 9.若△ABC三边分别是a、b、c,则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 A.∠A=∠B-∠C B.a:b:c=3:4:5 C.5a=12b=13c D.∠A:∠B:∠C=1:2:3 10.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工 具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有 a L b ① 2 ③ ④ A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图 如图2，其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺，设AC的长度为x尺，可 列方程为 诗文：波平如镜一湖面，半 尺高处生红莲.亭亭多姿湖 中立，突遭狂风吹一边离 开原处二尺远，花贴湖面 象睡莲 图1 图2 (第11题图) ·10· 12.如图，BD⊥AD且BD=1.以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的数 为 B A D -3-2-10C12 (第12题图) 13.已知a,b,c分别是△ABC的三边长，且满足√c2-a2-b+1a-b1=0,则△ABC的形 状为 14.如图，OA=√13，AB=√26，B(-2,3),0是坐标原点，则∠0AB的度数是 0 (第14题图) (第15题图) 15.如图，AB=BC=CD=DE=EF,∠CBA=∠DCA=∠EDA=∠FEA=90°，以点A为圆心， AF的长为半径作弧与数轴交于点P.若点A表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表 示的数为 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(本小题8分) 如图，绿地广场有一块四边形空地将进行绿化，AC=8m,BC=6m,DE⊥AB交AB边于点D, DE=5m,△ABE的面积为25m2.请计算： (1)这块四边形空地的对角线AB的长度； (2)这块四边形空地的面积 E D C (第16题图) .11· 17.（本小题8分) 根据勾股定理知识，完成下列题目. (1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积S,S2,S3之间满足 的数量关系是 (2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,分别以三边为直径作半 圆.若a=3,c=5,求图中阴影部分的面积 S S3 图1 图2 (第17题图) 18.（本小题8分) 广东省7~9月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳 定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿 海移动.如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿 BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km. (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200k的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的 时间持续多少小时？ B (第18题图) ·12· 19.（本小题8分) 南海区有很多旅游资源，如很有代表性的南海影视城(A)和贤鲁岛(B),它们位于笔直的沈海 高速公路l同侧，AB=4km,A、B到直线l的距离分别为AE=5.5km和BD=2.5km.旅游开 发公司计划在高速公路1旁修建一服务区C,并从服务区C向A、B两景区修建笔直公路运送 游客.如图，点C在DE上，到点A、B的距离之和的值为m. (1)求DE的长； (2)求m的最小值： (第19题图) 20.(本小题8分) 如图，四边形ABCD为某景区观光区域，经测量AB=AD=CD=70米，BC=703米，且∠BAD =90°. (1)求∠ADC的度数； (2)若直线AD为景区观光车的行驶道路（道路宽度忽略不计），景区管理部门想要在C处安 装一个监控摄像头来监测观光车行驶情况，已知摄像头能监控的最远距离为70米，求被 监控到的道路长度， B 道路 D (第20题图) ·13· 21.（本小题10分) 如图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100m的小路AB,AC 通往公路l,与公路l交于B,C两点，且B,C两点相距120m. (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路AD(点D在上)，使得学生 从学校走到公路的路程最短，请在图中画出AD,并计算新路AD的长度； (2)为保证学生的安全，在公路1上的点E和点C处设置了一组区间测速装置（区间测速原理 是用车辆通过前后两个监控，点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度)，点E在点 B的北侧，且距实验中学A处170m.一辆汽车经过EC区间共用时21s,若此段公路限速 为40km/h(约11.1m/s),请判断该车是否超速，并说明理由. 北 B C (第21题图) ·14· 22.（本小题12分) 综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，AB=9m,BC=12m, CD=17m,AD=8m,现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E,F; 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分 别向浇灌点E,F铺设管道 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两，点之间的距离，就确定了∠ABC=90°. (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米； (2)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方 案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用. D 街 E A 道 B街道C (第22题图) .15· 23.（本小题13分) 阅读下列文字，然后回答问题 已知平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2),则这两点间的距离可用下列公式计算： MN=√(x1-x2)2+(y1-y2)7. 例如：已知P(3,1),Q(1,-2),则这两点间的距离PQ=√(3-1)2+(1+2)2=√13. 特别地，如果两点M(x1,y1),N(x2,y2)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐 标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1-x2I或y1-y21. (1)已知A(1,2),B(-2,-3),试求A,B两点间的距离； (2)已知A,B在平行于x轴的同一条直线上，点A的横坐标为5，点B的横坐标为-1，试求A, B两点间的距离； (3)已知△ABC的顶，点坐标分别为A(0,4),B(-1,2),C(4,2),你能判定△ABC的形状吗？ 请说明理由 ·16·参考答案 第十九章测试卷 1.B2.D3.B4.A5.A6.B7.B8.A9.A10.C 山.≥-1且x≠322万13.子4215①3④ 16,解：(1)原式3+5E-1=8-1=7 2 (2)原式=122-62=62. 17.解：因为x=万+E(万+⑤： 万-5（万-5）（万+5） =6+√35， y-7-5.万-5 7+5(万-5万+56-35，所以x+y=6+ 35+6-35=12,xy=(6+√35)(6-√/35)=1， 所以原式=3[(x+y)2-2xy]-2y=3(x+y)2-8xy=424. 18.解：(1)长方形ABCD的周长为2×(85+√98)=(165 +14√2)(m). (2)通道的面积为85×√98-（√3+1）（√13-1）=(56√6 -12)(m2),则购买地砖需要花费6×(56√6-12)=(336√6 -72)(元). 答：购买地砖需要花费(3366-72)元. 19.解：海伦公式：p=2(a+b+c)=号×(3+5+6)=7，S /7×(7-3)×(7-5)×(7-6)=2√14； 拳九都公式8-√仔产x-(±多6汀-2瓜 解：1)当=0m时=√后-√图=反=2( 答：物体从60m的高空落到地面的时间为25s; （2②)当=3s时√否=3，解得么=45m, 由题意，得E=10×0.2×45=90(J), 90J>65J,∴这串钥匙在下落到地面时会对行人构成伤害， 因此严禁高空抛物， 21.解：小刚的解法错误。 x+y=-6,xy=4,∴.x<0,y<0 把x+y=-6,y=4代人， 得”=3√+V月的值为3 2解：(2+5万+5 (2)0+点=-1+22 2+12 a(2-1） =-1+22 (2+1)(2-1)√2×√2 a反-1)+6=-1+2万 (a+-2万+1-a)=0 (a+6-22+(1-a)=0 ·81 a+26-2=0 .. 解得=1 L1-a=0 1b=2 (3).a= 1 2+1 =√2+1， 2-1(2-1)(2+1) .原式=3(2+1)2-6(2+1)-1=2. 23.解：(1)W32√223： (2)由题意得，长方形木板的长、宽分别为(22+23)dm,(5 +22)dm,.长方形木板的面积为(5+22)×(22+25) =(6√6+14)(dm2): (3)根据题意，得剩余的A木板的长为25dm,宽为5+22 -25=(2√2-√5)(dm),因为25≈3.464(dm),22-5≈ 1.096(dm),且3.464>1.5×2,1.096>1， 所以最多能裁出1.5dm×1dm这样的木块共2块； (4)由(2)知长方形木板的长为(22+25)dm.:从长方形 木板上裁下两块完全相同的最大正方形木板①②，.这两块正 方形木板的边长均为(22+25)÷2=(2+5)(d).∴.这 两块正方形木板的总面积为2×(2+5)2=2×(5+26)= (10+46)(m),.剩余部分（阴影）的面积为(6√6+14)- (10+46)=(4+26)(dm2). 第二十章测试卷 1.B2.B3.B4.B5.D6.D7.B8.A9.C10.D 11.x2+22=(x+0.5)212.-2+513.等腰直角三角形 14.45°15.-W5 16.解：(1)在△ABE中，DE⊥AB,DE=5,△ABE的面积为25， 所以Sa度=分4B·DE=之AB·5=25,所以B=10. (2)在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10, 所以AC+BC2=AB,所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°， 1 所以S△c=2×6×8=24. 所以S四边形ACE=S△c+S△ABE=24+25=49(m2). 17.解：(1)S1+S2=S3; (2)以a,6,e三边长为直径所作半圆的面积分别为g:,骨， 哥，设直角三角形的面积为S,因为a=3,c=5,所以6= -口=4，所以S=b=方×3x4=6,所以阴影部分的 面积为贺a2+8+S-名2=S,=6, 18.解：(1)由题意可知，AD⊥BC,AB=340km,AD=160km, .BD=√AB-AD=√/340-160=300(km), C .300÷20=15(h),∴.台风中心经过15h从B 点移到D点； D (2)在射线BC上取点E,F,使得AE=AF= 200km,由AD⊥BC得DE=DF,在Rt△AEF中 B ED=√/AE2-AD=√200-160=120(km), (第18题答图) EF=2ED=240(km),.t=240÷20=12(h), .A市受到台风影响的时间持续12h. 19.解：(1)过点B作BF⊥AE于点F,如图所示： 根据题意得：EF=BD=2.5km,DE=BF,∴AF=AE-EF= 5.5-2.5=3(m),AB=4km,∴.根据勾股定理得： BF=√AB2-AF=√/4-3=√7(km). (2)·A,B在平行于x轴的同一条直线上，点A的横坐标为5， .DE=√万km; 点B的横坐标为-1，.AB=15-(-1)1=6; (2)延长AE,使EA'=EA,连接A'B,交 (3)△ABC是直角三角形，理由：：AB=√(0+1)2+(4-2)7= F DE于点C,连接AC,过点B作BF⊥AE 5,BC=√/(-1-4)2+(2-2)7=5,4C=√/(0-4)2+(4-2)2= 于点F,如图所示： D √20，.AB2+AC2=(5)2+(2①)2=25，BC2=52=25,.AB+ AE⊥DE,∴DE垂直平分A4',AC= (第19题答图1) A'C.∴.AC+BC=A'C+BC,:两点之间线 AC2=BC2,∴.△ABC是直角三角形 段最短，∴A'C+BC最小，即AC+BC 第一次月考测试卷 最小， 1.C2.B3.A4.A5.C6.B7.A8.C9.C10.C B 根据解析(1)可知：BF=√7km,EF= 11.a(b-√a)12.3-√213.8m14.14.515.62+12 2.5km,A'E+EF=2.5+5.5=8(km), D 16.解：(1)原式=4-32+2-2=4-42 A'B=√BF+A'F产=√()2+82= (2)原式=49-48-[(5)2-25+1]=25-3. (km),即m的最小值为√km. A 17.解：(1)原式=(a-b)2-ab,将a=2+6,b=2-6代入，得 20.解：(1)连接BD,如图.AD=AB=70米， (第19题答图2) (a-b)2-ab=(2+6-2+6)2-(2+6)(2-6)=26; ∠BAD=90°，.∠BDA=45°.在 B (2)原式=ab+a+b+1,将a=2+6,b=2-6代人，得ab+a Rt△ABD中，由勾股定理得BD= +b+1=(2+6)(2-6)+2+6+2-√6+1=-2+5=3. √AD+AB=70√2米.CD=70 18.解：(1)24； 米，BC=705米，且702+(702)2 H 道路 (2)小明发现正确，理由如下： =(705)2,.CD+BD2=BC, (第20题答图) 62+c2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+(n2)2-2n2+1=(n2+1)2, ∴.∠BDC=90°， .b2+c2=a2,当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数. ∴.∠ADC=∠BDA+∠BDC=135 (2)过点C作CH⊥AD于H,作点D关于CH的对称点F,连接 19.解(1)：h=5F=分≥01=√写： h CF,如图.由轴对称的性质，得CD=CF=70米，DH=FH.由(1)得 ∠ADC=135°，.∠CDH=180°-∠ADC=45°，.△CDH是等腰直 （2②当=0时√月-0：当=0时√ 0=2:当h= 角三角形，.DH=CH,Df+CH=CD,.DH=35√2米，.DF= 2DH=70√2米答：被监控到的道路长度为70√2米 15时4=√=：当么=20时=√原=-2：当=5 21.解：(1)如图，过点A作AD⊥I于点D,则AD即为所求 .·AB=AC,AD⊥l,BC=120m,.∠ADB=90°， 时4=√昏=5，~5>2>厅>万>0：的值随么的端大面 ↑北 BD=DC=2BC=7×1D0=60(m),在△ABD 增大 20.解：由题意得a=100m,b=120m,c=180m,设面积为Sm2, 中，由勾股定理，得AD2+BD=AB.AB= p=2(10+120+180)=20. 100 m,BD=60 m,.'.AD=AB -BD2 =80 m, ∴.新路AD的长度是80m C S=p(p-a)(p-b)(p-c), (2)该车没有超速.理由：如图，在Rt△ADE (第21题答图) =/200(200-100)(200-120)(200-180) 中，∠ADE=90°，由勾股定理，得AD+DE2=AE2.AE= =40002≈5600(m2), 170 m,AD=80 m,..DE AE -AD =150 m,..EC DE DC=210m.:该车经过EC区间共用时21s,∴.该车的速度为 王大爷应支付示包费G09×60500(元). 210=10(m/s).10<11.1,该车没有超速 答：王大爷应支付5040元的承包费. 2 21.解：由题意得，绳子的长度比旗杆的高度多1米，BD=5米 22.解：(1)施工人员测量的是A,C两，点之间的距离，运用AC、AB、 设旗杆的高度AB为x米，则绳子的长AD为(x+1)米. BC的长度验证AC2=AB2+BC2从而确定∠ABC=90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理，得52+x2=(x+1)2, 测量A,C两点之间的距离为15m; 解得x=12,∴.AB=12米 (2):∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m, D 答：旗杆的高度为12米. ∴.FG=√EF2-EG=√/10-82=6(m), 街 22.解：(1) 1 5-万 -万-5」 A -CHLEF,Sam=7BG·FG=R 道 5+万(5+万)(5-万) 2 (2)2025; ·GB,HG=EG·FG_8x6_24 EF 105m, B街道C ·.求得方案一铺设管道所花的费用=(6 (第22题答图) (3)原式：=2n+2n-D(2m+T+2n-西 2n +1-/2n -1 +8)×25=30(元)，方案二：铺设管道所花的费用=(10+学× √(2n+1)(2n-1)(√2n+I+√2n-I)(/2n+I-√2n-I) =2（2m=2m 1 25=370(元)，：370>350，∴.铺设管道所需的最少费用为350元 23.解：(1)：A(1,2),B(-2,-3),AB=√(1+2)2+(2+3) =√34； 23.(1)证明：由题图易得S0=之a(a+),S6=6(a- .82·