专题6.3 共面向量定理（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

本讲义聚焦共面向量定理核心知识点，系统梳理共面向量定义、向量共面充要条件及四点共面判定（x+y+z=1），前承空间向量基本概念，后接空间几何位置关系证明，构建从概念到应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，含4类题型及例题变式，通过向量共面判断、参数求解等培养数学思维（推理能力），推论应用结合体积计算体现数学眼光（空间形式观察）。课中助教师分层教学，课后供学生强化练习补盲点。

专题6.3 共面向量定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 空间向量共面的判断与证明】 2 【题型2 四点共面的判断与证明】 4 【题型3 由空间向量共面求参数】 6 【题型4 共面向量定理的推论及应用】 8 知识点1 共面向量定理 1．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 2．空间向量共面证明 (1)证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. (2)证明空间向量共面 ①判断三个向量共面一般用：； ②证明三线共面常用：； ③证明四点共面常用：(其中x+y+z=1). 【题型1 空间向量共面的判断与证明】 【例1】（2025高二上·全国·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案． 【解答过程】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，即， 则，显然方程组无解，故，，不是共面向量． 故选：D． 【变式1-1】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【解答过程】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【答案】，，三个向量共面 【解题思路】根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可说明． 【解答过程】，，三个向量共面． 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面． 【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【答案】(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可； （2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可． 【解答过程】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 【题型2 四点共面的判断与证明】 【例2】（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解题思路】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解答过程】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式2-1】（24-25高二上·福建·月考）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【解答过程】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 【变式2-2】（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【答案】(1)共面 (2)不共面 【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【解答过程】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 【变式2-3】（24-25高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【解答过程】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面. 【题型3 由空间向量共面求参数】 【例3】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【解答过程】在四面体中，不共面， 而， 则， 所以， 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）为空间任意一点，点与共面，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量共面的性质，整理计算，即可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 因为点与共面， 所以，解得. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【解答过程】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解题思路】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【解答过程】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 【题型4 共面向量定理的推论及应用】 【例4】（25-26高三上·河北·月考）已知三棱锥的体积为是空间内一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解题思路】利用空间向量线性运算及共面向量定理的推论得点共面，进而利用比例关系求解三棱锥. 【解答过程】，故， 令，则，又， 故点共面，故. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量面的推论可求出的值. 【解答过程】因为点在平面内，设，其中、， 所以， 整理可得， 因为、、不共面，且， 所以，故，因此， 故选：A. 【变式4-2】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【解题思路】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，通过四点共面，即可求解. 【解答过程】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 共面向量定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 空间向量共面的判断与证明】 2 【题型2 四点共面的判断与证明】 2 【题型3 由空间向量共面求参数】 4 【题型4 共面向量定理的推论及应用】 4 知识点1 共面向量定理 1．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 2．空间向量共面证明 (1)证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. (2)证明空间向量共面 ①判断三个向量共面一般用：； ②证明三线共面常用：； ③证明四点共面常用：(其中x+y+z=1). 【题型1 空间向量共面的判断与证明】 【例1】（2025高二上·全国·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-1】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【变式1-3】（2025高三·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【题型2 四点共面的判断与证明】 【例2】（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式2-1】（24-25高二上·福建·月考）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【变式2-3】（24-25高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【题型3 由空间向量共面求参数】 【例3】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）为空间任意一点，点与共面，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【题型4 共面向量定理的推论及应用】 【例4】（25-26高三上·河北·月考）已知三棱锥的体积为是空间内一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【变式4-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【变式4-3】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $