第04讲 平面向量的应用（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦平面向量的应用，系统梳理平面几何中向量方法（含平行、垂直、夹角、长度、最值等问题的“转化-运算-翻译”三步曲）及物理应用（力、速度、功等），构建从几何问题向量化到物理情境建模的学习支架。 资料以6类几何题型（如证明平行四边形、判断三角形形状）和1类物理题型为载体，通过例题与变式题结合，培养学生用数学眼光观察几何关系、用数学思维推理运算、用数学语言表达过程。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过练习题巩固，有效查漏补缺。

第04讲 平面向量的应用 【人教A版】 模块一 平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解题思路】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解题思路】分析可得且，利用梯形的定义判断可得出结论. 【解答过程】因为平面四边形满足，则且， 故四边形一定是梯形， 故选：D. 【变式1.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析 【解题思路】利用向量相等证明四边形是平行四边形. 【解答过程】连接．因为E，F分别是，的中点， 所以，同理， 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形． 【变式1.3】（24-25高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，利用，可求点的坐标； （2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标. 【解答过程】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 【题型2 用向量证明线段垂直】 【例2】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【解答过程】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【解答过程】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【解答过程】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 【变式2.3】（24-25高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【解题思路】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【解答过程】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（24-25高一下·福建三明·期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果. 【解答过程】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，写出坐标表示，利用二次函数求出最小值时的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可. 【解答过程】建立如图所示平面直角坐标系： 则, 设， 因为动点位于直线上， 直线的方程为：， 所以 ， 当时，取得最小值，此时， ， 所以， 又因为， 所以， 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      【变式3.3】（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【解答过程】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以 ， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以 ， 所以. 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一下·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得． 【解答过程】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以， 故选：C． 【变式4.2】（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 【变式4.3】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由，，根据向量数量积的运算即可求解； （2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）解：由题意，，， 又， 所以 ， ，即，            =， ， ，即； （2）解：， ==，   与的夹角即为， . 【题型5 向量与几何最值】 【例5】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，然后求出正八边形的内角大小，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【解答过程】由正八边形的对称性可知， ， 易知正八边形的每个内角为， 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值. 如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点， 可知当在线段上时，取得最大值，， 此时. 当在线段上时，取得最小值，此时， 此时， 故的取值范围为. 故选：A.    【变式5.1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，由此可知表示轴上一点到和的距离之和，由对称性即可得出答案. 【解答过程】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为，    故选：A. 【变式5.2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【解答过程】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 ， 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得. 【变式5.3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 【答案】(1)-3 (2)12 【解题思路】（1）根据向量的加减法运算，可得答案； （2）建立平面直角坐标系，求得相关各点坐标，表示出P点坐标，进而表示出，求得其模的表达式，结合二次函数的性质，求得答案. 【解答过程】（1）由题意得：两个正六边形全等，， 则， 故由，可得； （2）如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由于直线OD的方程为，故设P点坐标为， 则， 所以， 则， 由于，此时函数为增函数， 故当时，取到最大值为144， 所以的最大值为12. 【题型6 向量在几何中的其他应用】 【例6】（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【解答过程】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A.    【变式6.1】（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【解题思路】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【解答过程】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一下·辽宁·月考）已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)求，的坐标. (2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. 问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由. （注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【答案】(1)的坐标为，的坐标为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，先得到，从而得到点的坐标； （2）根据数量积的正负判断角的类型，得到三角形的形状. 【解答过程】（1）因为，故的坐标为， ，故， 所以，即的坐标为； （2）选①，为钝角三角形， 理由如下：由（1）可知，，， 因为，所以为锐角. 易得，因为，所以为锐角. 因为，所以为钝角. 故为钝角三角形. 选②，为锐角三角形. 理由如下：由（1）可知，，， 因为，所以为锐角. 易得，因为，所以为锐角. 因为，所以为锐角. 故为锐角三角形. 【变式6.3】（24-25高一下·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 【答案】(1)①， ；②，证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）①利用平面向量的线性运算可得出、关于基底的表达式； ②利用平面向量的数量积的运算性质计算的值，即可得出结论； （2）设单位向量，根据结合平面向量数量积的定义和运算性质可证得结论成立. 【解答过程】（1）①因为，，记，， 则，. ②，证明如下： 因为，，则， 所以，， 且、均为非零向量，则，即； （2）在中，， 设单位向量，则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 模块二 向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型7 向量在物理中的应用】 【例7】（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先计算，再利用公式计算即可. 【解答过程】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【解题思路】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【解答过程】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一下·全国·课后作业）两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是与轴、轴同方向的单位向量）．求： (1)分别对该质点做的功； (2)的合力对该质点做的功． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据数量积的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后根据数量积的坐标运算求得正确答案. 【解答过程】（1）依题意，， 所以做的功为. 做的功为. （2）， 所以合力对该质点做的功为： . 【变式7.3】（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，利用向量的运算与分解，利用坐标法计算向量的长度，进而求得； （2）货船要垂直到达正对岸B，需使合速度的东向分量为0，进而计算求解. 【解答过程】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【解答过程】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A. 2．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【解答过程】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， 故选：D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量中点公式，得到，把原式化简为，根据向量的数量积运算确定最小时点的位置，再利用均值不等式求出最小值. 【解答过程】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 5．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解题思路】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【解答过程】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 6．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【解答过程】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D. 7．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解题思路】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【解答过程】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选：A. 8．（24-25高一下·北京·期中）如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（    ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算可判定①，由线性运算及数量积运算可判定②，根据平面相机本定理可判定③，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可判定④. 【解答过程】对于①，由题意，，，， 故，正确； 对于②，，错误； 对于③，， ， ， 因为E，O，F三点共线，所以， 即，解得，，错误； 对于④，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， ，，， 设，， 因为， ， 所以 ，， 所以当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的取值范围是，正确； 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解题思路】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【解答过程】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·四川德阳·月考）如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（   ）    A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【解题思路】根据平面向量的基本定理，用和表示出可判断选项A；根据三点共线的向量表示和平面向量的线性运算，得出，进而得出，再结合平面向量共线的基本定理，即可判断选项B；根据M为线段BC的中点，，可得出、、面积之间的关系，可判断选项C；根据题目条件得出，，再利用平面向量的基本定理得出，进而可求出最大值，可判断选项D. 【解答过程】因为在梯形ABCD中，，， 所以, 则. 对于选项A：因为M为线段BC的中点， 所以，即, 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得. 又因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得， 又因为， 所以，解得，故， 所以, 则向量与不共线，故选项B错误； 对于选项C：因为M为线段BC的中点， 所以. 由选项B可得：， 所以；；， 所以，故选项C正确； 对于选项D：因为P为线段CD上的一个动点, 所以设，. 又因为，， 所以，则最大值，故选项D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最大值为5 D．若，则当三点共线时， 【答案】ACD 【解题思路】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确.    故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 【答案】13 【解题思路】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【解答过程】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13. 13．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【解题思路】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【解答过程】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【解答过程】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 16．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 17．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 18．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【解题思路】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 19．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面向量的应用 【人教A版】 模块一 平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： (). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量证明平面几何中的平行问题】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【变式1.1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式1.2】（25-26高一下·全国·课堂例题）证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形. 【变式1.3】（24-25高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【题型2 用向量证明线段垂直】 【例2】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【变式2.1】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【变式2.3】（24-25高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（24-25高一下·福建三明·期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【变式3.3】（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式4.1】（24-25高一下·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【变式4.3】（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 【题型5 向量与几何最值】 【例5】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式5.2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【变式5.3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 【题型6 向量在几何中的其他应用】 【例6】（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6.1】（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【变式6.2】（24-25高一下·辽宁·月考）已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)求，的坐标. (2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. 问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由. （注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 【变式6.3】（24-25高一下·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 模块二 向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型7 向量在物理中的应用】 【例7】（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式7.2】（24-25高一下·全国·课后作业）两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是与轴、轴同方向的单位向量）．求： (1)分别对该质点做的功； (2)的合力对该质点做的功． 【变式7.3】（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（   ） A．15 B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 6．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 8．（24-25高一下·北京·期中）如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（    ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 二、多选题 9．（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 10．（24-25高一下·四川德阳·月考）如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（   ）    A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 11．（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最大值为5 D．若，则当三点共线时， 三、填空题 12．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 13．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 14．（24-25高一下·安徽·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 16．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 17．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 18．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $