第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心知识点，先阐述基本定理中基底的概念、向量分解的唯一性，再延伸至坐标表示的正交分解、线性运算、数量积及位置关系，构建从抽象理论到具体应用的学习支架。 资料通过8类题型（含例题及变式）系统训练，如基底辨析培养抽象能力（数学眼光），参数求解提升推理能力（数学思维），坐标运算题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1.1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                     ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1.3】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3.1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【变式3.3】（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【变式4.1】（24-25高一下·浙江金华·月考）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 【变式4.2】（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【变式4.3】（24-25高一下·山东潍坊·月考）如图，在平行四边形中，、分别为线段、的中点，    (1)若，求的值； (2)若，，，求与夹角的余弦值. 模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式5.2】（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量，为坐标原点，点满足，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·山东青岛·期末）已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【变式6.3】（24-25高一下·福建三明·期末）已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式7.1】（24-25高一下·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 【变式7.2】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求实数k的值. 【变式7.3】（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 【题型8 向量坐标运算与平面几何的交汇】 【例8】（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式8.1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则 ）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【变式8.3】（24-25高一下·北京平谷·期末）已知等腰梯形ABCD，，，，且，动点Q满足． (1)设，求的值； (2)求的值； (3)求的最大值． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，那么，的夹角（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一下·全国·课堂例题），是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为___________. 13．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为___________. 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为___________. 四、解答题 15．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 16．（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 17．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，，，，，P为线段BC上一点，且． (1)求n的值； (2)当时，求； (3)求的取值范围． 19．（24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【解答过程】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ， ，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【解答过程】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                     ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【解答过程】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量基本定理得到答案. 【解答过程】点是的中点，， ． 故选：D． 【变式2.1】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【解答过程】由图知， . 故选：D. 【变式2.2】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【解答过程】如图，由题，， ， 所以. 故选：A.    【变式2.3】（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用平面向量基本定理逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【解答过程】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 因为、不共线，且，所以，， 故. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一下·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出图形，利用平面向量的线性运算可得出，设，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【解答过程】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一下·浙江金华·月考）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，易得，设，可得，利用平面向量基本定理求出的值，即可求得答案. 【解答过程】 如图，点是的中点，则， 因点在线段上，则存在，使得，又， 则得，即， 因三点共线，故，解得， 则，即，可得，即. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【变式4.3】（24-25高一下·山东潍坊·月考）如图，在平行四边形中，、分别为线段、的中点，    (1)若，求的值； (2)若，，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)，. (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求，. （2）用表示结合数量积的运算律及向量夹角余弦的计算公式可得相应的值； 【解答过程】（1）因为、分别为、的中点，    所以； . 于是 . 又，不共线，由平面向量基本定理得 解得，. （2）由（1）可知，， 所以； 同理； .    所以. 模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【解答过程】因为，所以， 解得. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解. 【解答过程】由线段的一个三等分点为，得或， 若，则，所以； 若，则，所以． 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量的坐标运算建立方程，求解，进而得到即可. 【解答过程】因为， 所以， 因为，所以，， 解得，，则，故B正确. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量，为坐标原点，点满足，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先得到，设，表示出的坐标，从而得到方程组，即可求解. 【解答过程】因为向量，为坐标原点，所以， 设，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【解答过程】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一下·山东青岛·期末）已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求出m，即可求得，即可求解答案； （2）根据向量平行的坐标表示求出m，再利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由于向量，，故，， 由，得， 即，解得，则， 故， （2）由于向量，，，则， 则，故， 故与夹角的余弦值为. 【变式6.3】（24-25高一下·福建三明·期末）已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据投影向量的定义即可求解； （2）利用向量垂直的坐标运算即可求解； （3）根据题意由向量的数量积和共线向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以，， 所以在方向的投影向量为. （2）由题意知：，， 因为，所以 即，解得. （3）， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得， 当与共线时，由，解得， 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一下·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解题思路】由向量坐标运算及垂直的坐标表示可求. 【解答过程】由题意，向量，则， 因为，可得，解得． 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量平行坐标表示求出向量即可由模长公式求解； （2）由向量垂直的坐标表示直接计算求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以，所以. （2）因为，， 所以. 【变式7.3】（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积坐标运算； （2）根据共线向量的坐标公式计算. 【解答过程】（1）由题可知，， ， 解得 （2）由，得 ， ， . 【题型8 向量坐标运算与平面几何的交汇】 【例8】（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【解答过程】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故选：D． 【变式8.1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则 ）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 【变式8.3】（24-25高一下·北京平谷·期末）已知等腰梯形ABCD，，，，且，动点Q满足． (1)设，求的值； (2)求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，建立方程求出，即可得解. （2）利用数量积的坐标运算求解即可. （3）设，结合辅助角公式利用向量的坐标运算求得，根据正弦函数的性质求解最大值即可. 【解答过程】（1）如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以， 所以，则， 因为，所以，解得，故； （2）因为，所以； （3）因为，所以点Q在单位圆上，设， 则， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，那么，的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出，，，利用数量积的定义即可求出. 【解答过程】因为，， 所以，，， 所以， 又因为，所以． 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用向量运算的坐标表示列式求解. 【解答过程】依题意，与的方向相反，又，则， 设，因，则，因此，解得， 故点的坐标为. 故选：A. 3．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【解答过程】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题），是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C. 5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【解答过程】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【解答过程】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 7．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】设，得，则，再由向量的模公式求解即可． 【解答过程】设， 因为，所以，得， 得， 则， 当时，取得最小值，为3. 故选：D. 8．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【解答过程】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【解题思路】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10．（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【解题思路】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【解答过程】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【解题思路】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，设 ，可得，由，结合题中条件可判断A，B；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D． 【解答过程】如图，作 ，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系， 则 ， 设 ，则， 由可得 ，且 ， 若，则， 解得 ，（负值舍去），故，A正确； 若，则，，故B正确； ， 由于，故，故，故C错误； 由于， 故 ，而， 故（取等号），故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为___________. 【答案】 【解题思路】由垂直向量数量积以及数量积的运算律，建立方程，可得答案. 【解答过程】由，则，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为___________. 【答案】 【解题思路】利用重心向量公式，结合线性运算和平面向量基本定理，可得系数关系，即可求解参数，从而把面积之比转化为底边之比乘上高之比即可求解.. 【解答过程】因为点是的重心，所以， 因为，所以，即， 设，则， 又因为，所以， 又因为，所以，即， 则， 所以与的面积之比， 故答案为：. 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （3）两个向量的数量积大于零且两向量不共线，求出范围即可. 【解答过程】（1）因为且， 所以，解得. （2）因为，所以，又且， 所以，解得. （3）由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，得取值范围为. 16．（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量的基本定理得出关于、的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）在中，为边上的点，且，则， 所以，解得. （2）因为为的中点，所以， 所以 . 17．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合图形，由向量的线性运算可得，结合，列方程组求解即得； （2）由题意可得为等边三角形，以为坐标原点建系，设，表示出相关向量，利用向量数量积的坐标公式代入，计算即得. 【解答过程】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 18．（24-25高一下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，，，，，P为线段BC上一点，且． (1)求n的值； (2)当时，求； (3)求的取值范围． 【答案】(1)8 (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量的坐标表示，再结合向量垂直的坐标表示，列出方程求解即得； （2）由（1）求出的坐标，利用向量夹角公式计算即得； （3）用表示的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域即得． 【解答过程】（1）依题意，， 由，得． （2）由（1）知，，由，，得， ，， 所以． （3）由（2）知，，， 则， 由为线段上一点，且，得， 当时，，当时，， 所以的取值范围． 19．（24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【解答过程】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $