精品解析：安徽天一2025-2026学年高一下学期3月开学考试数学试题

安徽天一大联考2026年3月开学考试高一数学卷 高一3月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，解得，再由子集个数的计算即可求解． 【详解】，解得或， ，集合A有两个元素， 所以其有4个子集． 故选：D． 2. ＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式，求出结果即可. 【详解】可知. 故选：B. 3. 若幂函数的图象过点，则（ ） A. 在上单调递减，且图象过点 B. 在上单调递增，且图象过点 C. 在上单调递减，且图象过点 D. 在上单调递增，且图象过点 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入点解得，即可得，进而分析单调性和函数值即可. 【详解】设， 由题意可得：，可得， 则在上单调递减， 且，即图象过点. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，可得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象变换可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知等价于，根据包含关系结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式整理可得，结合余弦函数单调性分析判断即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 7. 已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 8. 若正实数x满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的性质，指数函数、对数函数单调性求出范围. 【详解】依题意，， 同理， 令，则， 因此， 令函数， 而函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 又， 则，即， 因此，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系，求出的三角函数值，进而根据角的范围，以及三角恒等变换，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由诱导公式可知，即，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； ，所以C正确； 由可得， 则，所以D正确； 10. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上具有单调性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据奇函数的性质举反例说明即可；对于C：根据单调性的定义举反例说明即可；对于BD：根据奇偶性的定义以及单调性的性质分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且，可知函数不为奇函数，故A错误； 对于选项B：因为定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为， 且在定义域内单调递增，则在定义域内单调递增， 综上所述：既是奇函数又在定义域上具有单调性，故B正确； 对于选项C：令，解得且， 可知函数的定义域为， 因为，则， 可得，，可知函数在定义域内不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 可知函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数， 又因为， 因为，在内单调递增，则在内单调递增， 且在定义域内单调递增，则在内单调递减， 可知在内单调递减，所以在定义域内单调递减， 综上所述：既是奇函数又在定义域上具有单调性，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当n为偶数时，的图象关于直线对称 B. 当n为奇数时，的最小值为 C. 当时，图象上相邻两个最低点间的距离为 D. 当时，在上存在两个不同的使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据对称性定义结合诱导公式分析判断；对于B：根据正、余弦函数的有界性结合不等式性质分析判断；对于C：分析可知函数的一个周期为，结合周期性分析判断；对于D：分类讨论的符号，代入运算求解即可. 【详解】对于选项A：当n为偶数时，则， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：当n为奇数时，则， 若求的最小值，则，可得， 此时， 则，当且仅当或，即或时，等号成立； 可得，即， 所以的最小值为，故B正确； 对于选项C：当时，则， 因为， 可知函数的一个周期为， 由周期性可知图象上相邻两个最低点间的距离不大于，故C错误； 对于选项D：当时，则，且， 当时，则，， 可得，不合题意； 当时，则，， 可得，解得； 当时，则，， 可得，不合题意； 当时，则，， 可得，解得； 综上所述：在上存在两个不同的使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是第二象限角，且终边在直线上，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据角的余弦值的定义，设出点的坐标，直接求出结果即可. 【详解】终边在直线上且在第二象限，设点坐标为， 则 13. 某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率（单位：）随光照时间t（单位：h）变化的关系式为．若时降解效率为，则时降解效率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，解得，代入求即可得结果. 【详解】因为， 由题意可知：，整理可得，解得， 则，可得， 所以时降解效率为. 14. 已知非常值函数的定义域为R，且，均有，若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用赋值法令结合题意可得，令，可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得或， 若，令，，则， 可得，即，为常值函数，不合题意，所以， 又因为，令，，则， 可得，即，则， 可知函数的一个周期为4， 在中令，则，可得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足：当时． （1）若是偶函数，求时的解析式； （2）用定义证明在上单调递增． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质，求出函数解析式即可. （2）根据单调性的定义法，直接证明函数单调性即可. 【小问1详解】 当是偶函数，可得， 所以当时，，则，即， 所以时，. 【小问2详解】 设，则， 由，可得， 所以，即， 所以在上单调递增. 16. 已知，且． （1）求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据同角三角关系解方程可得，结合符号性取舍即可； （2）根据两角和差的余弦公式可得，进而可求，结合两角和差的正切公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为，即， 联立方程，解得或， 又因为，则，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 即，且， 可得，， 所以. 17. （1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意利用作差法结合不等式性质分析判断即可； （2）整理可得，结合基本不等式运算求解即可； 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 18. 已知函数． （1）求的值； （2）解不等式； （3）已知表示不超过x的最大整数，如：，，．函数，区间，若，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，结合对数运算分析求解即可； （2）分析可知函数在内单调递减，结合函数单调性解不等式即可； （3）设在区间内的值域分别为，等价于，根据对数函数性质可得，分类讨论的符号，结合题意运算求解即可. 【小问1详解】 令，等价于，解得， 可知函数的定义域为，则，故， 所以. 【小问2详解】 由已知，， 故，， 解得， 因为， 又因为在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知函数在内单调递减，，， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于2时，趋近于； 则不等式即为， 等价于，即，可得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 设在区间内的值域分别为， 若，，使得，等价于， 因为，则， 可得，即，则， 若，则，可得，不合题意； 若，则， 因为，则，可得，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间． （2）若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 【答案】（1） （2）（i）（ii），最多8个元素. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行化简，再根据余弦函数的性质，求出函数单调递增区间. （2）（i）根据不等式，求出自变量的范围，进而写出函数的解析式，根据解析式求出给定区间里的值域即可； （ii）根据函数周期性求出方程的解，进而判断集合交集为空集时参数的范围，并判断此时集合中元素的个数. 【小问1详解】 ， 令，解得， 即函数单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，即，化简得，解得. 同理时，解得. 所以， （i）当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 综上，在上的值域为. （ii）由题意，且是周期为的函数， 结合（2）可知，在上的根依次为， 因为，且，所以，且集合A中最多有8个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽天一大联考2026年3月开学考试高一数学卷 高一3月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. ＝（ ） A B. C. D. 3. 若幂函数的图象过点，则（ ） A. 在上单调递减，且图象过点 B. 在上单调递增，且图象过点 C. 在上单调递减，且图象过点 D. 在上单调递增，且图象过点 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，可得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数x满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上具有单调性的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当n为偶数时，的图象关于直线对称 B. 当n为奇数时，的最小值为 C. 当时，图象上相邻两个最低点间的距离为 D. 当时，在上存在两个不同使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是第二象限角，且终边在直线上，则_______． 13. 某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率（单位：）随光照时间t（单位：h）变化关系式为．若时降解效率为，则时降解效率为_______． 14. 已知非常值函数的定义域为R，且，均有，若，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数满足：当时． （1）若是偶函数，求时的解析式； （2）用定义证明在上单调递增． 16 已知，且． （1）求； （2）若，且，求． 17. （1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 18. 已知函数． （1）求的值； （2）解不等式； （3）已知表示不超过x的最大整数，如：，，．函数，区间，若，，使得，求实数a的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间． （2）若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $