解三角形（线段边长、周长、面积）最值问题 专项训练-2026届高三数学二轮复习

解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 考点目录 线段边长最值问题 周长最值问题 面积最值问题 考点一 线段边长最值问题 例1.(2026湖北襄阳一模)在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,M为边BC所在直线上一点. ()若<BAC=2 π，AM平分∠BAC,AM=2'BC=3万，求△ABC的周长： 伦济1C,且仙-子，求南人 例2.(2026·辽宁大连模拟预测)已知锐角△ABC中，D为边BC上一点，AD平分∠BAC,且 cosBcosC-cosB b b-c (I)证明：DA=DB: (2)若a=2,求AD长度的取值范围. 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 例3.(2026~山东威海一模)记△ABC内角4，B,C的对边分别为a,b,G已知 bcosC+2acosA=-c cosB (I)求A: (2)若a=4V ,求BC边上的高的最大值. 变式1.(25-26高三上·安徽六安·期末)已知a、b、C分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且 acosC=b-1。 (1)求角A: ②已知“=5，求6-c的取值范围。 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 变式2，(25-26高二上新霜克拉玛依期末)已知△18C的内角，B,C A,B.C a,b,c 所对的边分别为，向量 a,=(cos4,sinB), (1)求角A: 2若“=，6=3，求△BC的面积： (3)若a=2,求b+c的取值范围. 变式3.(25-26高三上福建厦门期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2A-sin Asin B+sin2B=sin2C. 0)诺=5，a+h=6,求4的大小 3CF-AF (2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF=6,求BF的取值范围. 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 考点二 周长最值问题 筒.Q2江装银预测》已白低C的州区为2，C阳内有不A.C作边分为，且 a,b,c a<ccosB (1)试判断△ABC的形状； (2)若ac0sB+bc0sA=2V5 求△ABC 周长的最大值。 例2.(25-26高三上·湖南邵阳·月考)已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的外接 圆的直径为25,4为锐角，a=3 (I)求△ABC的面积的最大值： (2)若点O为△ABC的内切圆的圆心，求△OBC的周长的最大值. 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 例3.(24-25高二上·云南楚雄月考)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且C=2, a2+b2-ab=4 (1)求C: (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围. 变式1.(25-26高三上江苏苏州月考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (a+csin(B+C)=(b-c·(sinB+sinC)b=√3 B D (①点E为边4C的中点，若BE=}, =2,求△ABC的面积： ②如图所示，点D是△1BC外-点，若∠B1C=∠DMC=g:且∠ADC- 3,记△BCD的周长为f(0),求f0 的取值范围. 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 变式2.(25-26高三上江西吉安·月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 cos2C+cos2B-sinCsinB-cos24=1 (1)求角A的大小： (2)若a=3,求△ABC周长的最大值. 变式3.(25-26高三上河北邪台月考》已知m=V5si,-cos叫，万=cos,or,f(=m-元，设△4BC的内 角么BC所对的边分别为。'6，c:且利 2· (I)若b=1,C=2,AD为角A的平分线，且交BC于点D,求AD的长： ②若△ABC的面积为25，E为BC的中点，求4E长的最小值： )若a=V5,求△4BC周长的取值范围。 6 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 考点三 面积最值问题 例1.（2026：潮北十堰模拟预测)已知a,C分别是锐角△4BC三个内角48，C的对边，且V5 BasinC=c1+cos4) asinB=√5 A,b (1)求的值： (2)求△ABC面积的取值范围. 例2.（25-26商三上四川资阳月考)在△1BC中，内角么、B、C所对的边分别为a,b、G,且0sC-26 2a· (1)求角A的大小： (2)若△ABC的周长为6，求△ABC面积S的最大值. > 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 例3.(25-26高三上·宁夏石嘴山：月考)已知在△4 C中，角4BC ,a,b,cC=120° 对边分别为， (I)若a=2b,求tanA. (2)若C=1,求△ABC面积的最大值. 变式1，(25-26高三上广东中山月考》在△18C中，内角B,C所对的边分别为a6C,设 A,B,C 3sin B+cosB=b+c (1)求角A: 2若BD=DC,且D=2,求△MBC面积的最大值， P 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 变式2.(2025江西：模拟预测)已知64BC中内角A”g'C所对边分别为a’b:c,bsi B+C=asin B。 2 (I)求∠A; ②)若BC边上一点D,满足BD=2CD且D=V5,求△A8C的面积最大值， 变式3.(25-26高三上河北邢合期中)在锐角三角形1BC中，内角 A,B,C a,b,c 的对边分别为，且 cos A cos B23sin C a b 3a. (I)求角B的大小： 2考5=25，求△46C面积的取值范围。 9解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 考点目录 线段边长最值问题 周长最值问题 面积最值问题 考点一 线段边长最值问题 例1.(2026湖北襄阳一模)在ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,M为边BC所在直线上一点. )若∠BAC=2元，4M平分∠B4C,AM=2,BC-3N万，求ABC的周长： 3 ②若W⊥BC,且M=。,求b+e的最大值和最小值 4 bc 【答案】(1)9+3V7 ②最大值正1：最小值4 【详报】0)由题意得c9-×265+5×2 22 2+ 2 所以bc=2b+c① 又63=b2+2+bc② 由①②解得b+c=9,所以ABC的周长为9+3√7； 2》cn40 2 2a→a2=4 besin A, 又c0sA=3+c2-a2 =d+2bccos 4=4bcsin 4+2bccos A 2bc ,(b+c_6+c2+2c_+c2+ -+2 be bc bc 3sin4+2cosA+2=2132 4 3 w小-2-24++2s2,2 3后动4+3c0 3 3 当且仅当sin(4+)=1,即sinA=2 3cosA=3√13时取“=” 13 又b+ce2(2c =4,当且仅当b=c时取“=”， bc bc 所以(b+c的最大值2+2，最小值4. bc 3 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 例2.2026~辽宁大连·模拟预测)已知锐角ABC中，D为边BC上一点，4D平分∠BAC,且osB_cosC-cosB b b-c (I)证明：DA=DB; (2)若a=2,求AD长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 o 【详解】(1)由osB-cosC-osB与正弦定理可得osB cosC-cosB b b-c sinB sinB-sinC 展开得cosBsinB-cos BsinC=sinBcosC-sinBcosB, 所以2 cosBsinB=sin(B+C)=sinA,即得sin2B=sinA, 由于A8C为领角三角形，B和A均在0)内， 则A=2B或A+2B=元， 当A+2B=π时，因A+B+C=π，则B=C,即得b=c,此时题设条件不满足，舍去 故4=28，又4D平分∠B4C,所以∠BD-=BMC=∠B, 故DA=DB, D (2)由(1)知A=2B,则C=π-A-B=元-3B. 因为ABC为锐角三角形， 所以0<B受0<4=2B<0<C=-36<号 2 解符<B<号 6 已知a=BC=2,由正弦定理a=b三 C sin4 sinBsinc’ b=2sinB,c2sinC 2sin3B sin2B' C= sin2B sin2B 因AD平分∠A,则BD-AB=c-sin3B DC AC b sinB 设BD=x,则DC=2-x,且由(1)知DA=DB=x, 则将， (*) sin3B=sin(B+2B)=sinBcos2B+cosBsin2B=3sinB-4sinB, 2 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 则、x=3sinB-4sin'B=3-4sin'B, 2-x sin B 设t=3-4sin2B,由B∈ ππ 1√2 6’4 得sinB∈ 22 则te(1,2). 由，x=1可得x= 2t 2-x 1+t 又函数2 2-1 1+t 在te1,2)上单调递增， 2t 即AD 例3.(2026山东威海一模)记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cosC+2acosA=-c. cos B (1)求A; (2)若a=4√3，求BC边上的高的最大值. 【答案】0)4号 (2)2 【详解】1)由bcosC+2 acosA=-c可得bc0sC+ce0sB:-2ac0s4, cosB 由正弦定理得sin B cosC+sin C cosB=-2 sin A cosA, 所以sin(B+C)=sinA=-2 sin AcosA, 因为sinA+0,所以cosA=-2: 1 因为0<A<元，所以A=2n 3· (2)依题意，a=4W3,设BC边上的高为h, 5c-0-5a,跑号 2 4V38 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A可得48=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc, 即bc≤16，当且仅当b=c=4时等号成立， 因此h=bc≤x16=2, 88 所以BC边上的高的最大值为2. 变式1.(25-26高三上安徽六安·期末)已知a、b、C分别为ABC三个内角A、B、C的对边，且 1 acosC=b-。c 2 (1)求角A; 3 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 (2)已知a=√5，求b-c的取值范围 【答案】04-月 (2-V5,5) 【详解】1)因为ac0sC=h-)c,所以a.a+-c 2ab 即a2+b2-c2=2b2-bc,即b2+c2-a2=bc, 所以cosA=b+c2-a2bc.1 2bc-=2bc2' 又A∈(0，，所以A= 3 (2)由1)知4=骨又0=5， cb。5=2 由正弦定理sinC sin B sin A 所以c=2sinC,b=2sinB, be=2sin B-2sin C=2sinC-2sin C=V3 cos C+sin C-2sinC =3cosC-sin C=2cosC+ 6 又0<C<2 ，所以<C+5 6 66 所以、3 所以b-c的取值范围是(-V5,v5 变式2.(25-26高二上新疆克拉玛依·期末)己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 =(ab=(cosA,sinB),. (1)求角A; (2)若a=V13,b=3,求ABC的面积； (3)若a=2,求b+c的取值范围. 【答案】⑩骨 (2)35 (3)(2,4] 【详解】(1)：m=(a,V3b),n=(cosA,simB)且m/n,asin B-V3 bcos A=0 4 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 si加"sing,得a=sin4 由正弦定理a=b sin B 代入上式得sinA-V3cosA=0, tanA=v5,又Ae(0,,A= 3 (2)在ABC中，由余弦定理：a2=b2+c2-2 be cos A. 又a=E,6=4-胥，代入上式得c2--40,c=4或c=1（合) .5.mbesin sin 2 3 (3)在48C中，a=24骨由正弦定理得 b c 43 sin A sin B sin C 3 b=4 3sinB,c=4v 3-sinc 又4+B+0=,C=-B,Be0,23 3 3sin8+4v b+c=4V3 -sin c 3sin8+455 1 3 3 3°(cosB+7sinB) =23sin B+2cosB=4sin(B+"). 61 ~8e03,a+君e后2,4sm8+名e记 66'64 6 即b+c的取值范围是(2,4]。 变式3.(25-26高三上福建厦门期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2A-sin Asin B+sin2B=sin2C. (1)若c=V5,a+b=√6，求A的大小： ②)若ABC为锐角三角形，点F为ABC的垂心，CF=6,求V5CF-F的取值范围. BF 【答案】04B或4=设 12 a2 【详解】(1)由sin2A-sin Asin B+sin2B=sin2C,则a2-ab+b2=c2, 又cosC=。2+b2-c2_+b-a2-ah+b）1 2ab 2ab 2 又Ce(0,,故C=, 3 由c=√3，a+b=√6，则(a+b)-3ab=c2,即6-3ab=3,故ab=1, J 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 a=b=c-V3 由sin A sin B sinC sin =2,则a=2sin4, 3 b=2sin B=2sin(A-C)=2sin=sin +3cos4. a.b 2sin A.(sin A+3 cos A)=2sin2A+23 sin A cos A =1-cos24+5sm24=2sn24-君}1=1. 则21-名0或24名，解将1=合成4：侣 6 12 (2)由ABC为锐角三角形，则垂心在ABC内部， 如图，A01C于aD,设∠rcD=a0引 由F为18c的垂，C-骨则2CF=∠CF-号骨石 FD-CFsina6sinsin CF- FD ,则BF=2FD=12sina, AF AD-FD =3CD-FD=3CF cosa-FD=6V3 cosa-6sina, CF-AF3-6/3 cosa+6sina-cosa+sina BF 12sina 2sina 3(1-cosa)1 23sin2 2+ 2sina 2 4sin a cosa 22 22 2 2 o引则号引，成m号a) 3 D 6 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 考点二 周长最值问题 例1.(2026浙江模拟预测)已知△ABC的外接圆半径为2，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a<ccosB (1)试判断△ABC的形状； (2)若a cos B+bcos A=2√3，求△ABC周长的最大值， 【答案】(1)钝角三角形 (2)4+2V5 【详解】(1)因为a<ccosB,由余弦定理得a<cx+c2- 2,即a2+b2-c2<0, 2ac 故+2-c<0,所以eosC<0,故C为钝角， 2ab 所以△ABC为钝角三角形， 另解：因为a<ccosB,由正弦定理得sinA<sin C cos B, 因为A+B+C=元，所以sinA=sin[元-(B+C)]=sin(B+C)<sinCcosB, sin B cos C+cos B sin C<sin C cos B,Esin B cosC<0, 因为0<B<π，所以sinB>0, 所以cosC<0,故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形 (2)△ABC的外接圆半径为R 由题ac0sB+bcos4=25,由正弦定理a=b=C 'sin 4 sin B"sinc=2R-4, 4sin AcosB+4sin B cos2sin(B)=sin C 2 由(1)知C为钝角，所以C=2如 3 2 因为0<4<胥，所以4+<2x 3 33， 所以当4+骨子，即4-爱时，sm4+骨取得最大值1,4sm4+写到取得鼓大值4，即a+6的最大值为4 3 又c=2 RsinC=4x5=2W5, 2 所以△ABC的周长a+b+c的最大值为4+2V5 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 例2.(25-26高三上湖南邵阳·月考)已知在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,ABC的外接圆 的直径为2v3,A为锐角，a=3, (I)求ABC的面积的最大值； (2)若点O为ABC的内切圆的圆心，求△OBC的周长的最大值. 【答案】() 4 (2)3+25 【详解】(1)解：在A8C中，由正弦定理得：0=2R,3=25, sinA sin4 所以4=5，又4引所以4-号 2 由余弦定理得：b2+c2-a2=2bcc0s4,即b2+c2-9=bc, 又b2+c2≥2bc,所以bc=b2+c2-9≥2bc-9,bc≤9. 所以S。ABC= s4时x9x55,当且仅当6=c=3时，等号底立， 2 24 故4BC的面积的最大值5， 4 (2)因为点O为ABC的三个内角的角平分线的交点， 所以∠80C=-08C+<0C到=x-48c÷4C到=--到 设0B=m,OC=n, 在△B0C中，由余弦定理得：a2=m2+n2-2 nncos∠B0C, 即9=m2+n2+mn,所以(m+n)2-mn=9, 又mn≤ m+n 2 所以(m+川2-mm≥m+m2_(m+川2_3 4 m+n)2, 所以(m+n)≤12，所以m+n≤25， 所以△OBC的周长的最大值为3+2√5，当且仅当m=n=√5时，等号成立， 故△0BC周长的最大值为3+2√3. 例3.(24-25高二上云南楚雄月考)记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且c=2,a2+b2-ab=4. (1)求C; (2)若ABC为锐角三角形，求ABC周长的取值范围. 【答案】0C-骨 P 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 (2)2+2W5,6 【详解】(1)因为c=2,故原题干等式可转化为a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得a2+b2-c2=2 abcosC. 可符cosc-ce10, 所以C-骨 a=b=c=2=45 (2)在ABC中，由正弦定理得sin A sin B sinc sin π3 3 0s4 -sin B, 3 sin4,b=4 3 则48C周长Cc=a+b+2=2+45 (sin4+sinB)s 3 因为sin4+sin 2 2 2 os4=6sn4+ 则C.c=2+4sinA+ 6 因为ABC为锐角三角形，A+B=2π 3 所以4引4+后 故ABC周长的取值范围为(2+2V5,6] 变式1.(25-26高三上江苏苏州月考)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为α，b,c,且 (a+c).sin(B+C)=(b-c)(sin B+sinC),b=3 B 0点E为边4C的中点，若BE=求ABC的面积， ②如图所不，点D是4BC外一点，若∠84C=∠D1C=0,且∠ADC-子，记△BcD的周长为f0),求O)的 9 解三角形：线段边长最值问题、周长最值问题、面积最值问题专项训练 取值范围 【答案】a) 4 (2f(0)e0,3v5 【详解】(1)由(a+e)-sin(B+C)=(b-e)-(sinB+sinC)可得sinB+9-b-c, sin B+sinC a+c 由正弦定理品流。C得， b sin(B+C)）sin(π-A)_sinA a b-c sin B+sin C sin B+sin C sin B+sin C b+c a+c 所以a2+ac=b2-c2,，即a2+c2-b2=-ac. 由酸花思m少票-分又园为：0小，园t: 31 因为中线BE=2,所以B1+BC=2BE: 两边同时平方得B+BC2+2BA.BC=4BE2,即a2+c2-ac=1, 在ABC中，b=V5,由余弦定理可得a2+c2+ac=3, 1 可得ac=1,所以SABc三)acsinB=3 4 BC AC (2)在ABC中，由正弦定理可得sin0sin∠ABC√5 =2,即BC=2sin0， 2 CD AC 在△MDc中，由止弦定理可得sn0sm乙DC5=2,即cD=2sin0. 2 因为四边形ABCD的内角和为2π，且LABC+LADC=π， 所以元-20=∠BCD, 在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC.CDcos.∠BCD =4sin20+4sin20-2×2sin0×2sin0×cosπ-20) =8sin20(1+cos 20)=8sin20x2cos20=16sin20 cos20 所以BD=4sin0cos0, f(0)=2sin0+2sin0+4sin0 cos0=4(sin0+sin0 cos0), f(0)=4cos0+cos20-sin20)=42cos20+cos0-1=4(cos0+1)(2cos0-1, 因为金4Bc市0<0<登所以c0s0<1, 10