专题2.5三元一次方程组及其解法重难点题型专训（2个知识点+2大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦三元一次方程组的核心知识点，先系统梳理三元一次方程及方程组的定义、解的概念，再深入讲解消元转化为二元一次方程组的解法步骤，形成从概念理解到解法应用的递进式学习支架。 资料通过即时训练、经典例题、拓展训练及自我检测的分层设计，结合电影票购买、商品价格计算等实际问题，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

专题2.5 三元一次方程组及其解法重难点题型专训 （2个知识点+2大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 三元一次方程组的定义及解 题型二 三元一次方程组的应用 拓展题型一 结合三元一次方程组解的特征解决实际问题 知识点一：三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 【详解】　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 知识点二：三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由，得， 解得：． 把代入，得， 解得：． 把，代入，得， 解得：． 故原方程组的解为． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组的解是_________． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减消元法，把三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键． 根据加减消元法解决问题即可． 【详解】解：， ①+②得：④， ③+④得：，解得：， 代入③得：，代入①得：， 故答案为：． 【经典例题一 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（25-26七年级下·广东梅州·月考）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 1．（2023七年级下·甘肃平凉·竞赛）有一个5分钱币，4个二分钱币，8个一分钱币，要取9分钱，有(　 )取法． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程的知识．此题难度适中，解题的关键是根据题意列方程∶，并得到，且是非负整数，注意分类讨论思想的应用．首先设可取x个5分钱币，y个二分钱币，z个一分钱币，根据题意可得，，且x，y，z是非负整数，然后求得，利用分类讨论的方法即可求得答案． 【详解】解∶设可取x个5分钱币，y个二分钱币，z个一分钱币．根据题意得∶，，且x，y，z是非负整数， ∴， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴要取9分钱，有7取法． 故选C． 2．（24-25七年级下·福建莆田·课后作业）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 【答案】A 【分析】本题主要考查代数方程的建立和求解，以及逻辑推理能力．通过设立方程组求解各卡片上的数值，再比较各数大小即可确定正确选项． 【详解】解：设五张卡片上的数分别， 根据题意列出方程：， 由方程①得，代入方程⑤得， 由方程②得，代入方程③得， 将和代入方程④：，解得：， 则， 比较各数大小：为最小值，故选项A正确． 其他选项中，非最小，，，均不成立． 故选：A． 3．（25-26七年级下·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则______． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次、三元一次方程组的简便解法，掌握整体代入、换元法、设比例系数法和加减消元法等技巧，是快速解方程组的关键． （1）观察到第一个方程可整理为，第二个方程含，用整体代入法简化计算； （2）方程组中重复出现和，用换元法设，转化为关于的方程组，简化运算； （3）连比形式的方程组，用设比例系数法，设，将用表示，代入第二个方程求解； （4）两个方程的系数差相等，用加减消元法先相减得到，再整体代入原方程快速求解． 【详解】（1）解： 将①代入②： 将代入①： 解得：​ （2）解：设 ， 方程组变为：​ ①+②： 代入②： 即 ， 解得 （3）解：设 ， 则, 代入： 代入得 ： （4）解： 由①-②得： 由①：， 代入③： ， ， 将代入③：， 解得： 【经典例题二 三元一次方程组的应用】 【例1】（25-26七年级下·重庆綦江·开学考试）电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键． 设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可． 【详解】解：分别设三种票买了张． 则根据题意，得， 由②得③ 将③代入①，得：． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三数的和为25，甲、乙两数之和比丙大5，乙比丙小3．若设甲为x，乙为y，丙为z，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查了列三元一次方程组解应用题，通过“甲、乙、丙三数的和为25”.“甲、乙两数之和比丙大5”，“乙比丙小3”三个等量关系列方程组即可． 【详解】解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意，得： 故答案为： 1．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【详解】 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需21元；若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本，共需35元．购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需（   ） A．8元 B．7元 C．6元 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需要21元，若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需35元列出方程组． 【详解】解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元 由题意得： 得：． 故选：B． 3．（25-26七年级下·山西运城·月考）小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 【拓展训练一 结合三元一次方程组解的特征解决实际问题】 【例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程组，通过加减消元法即可求解． 【详解】解：， 得，． 故选A． 【例2】（2023七年级下·江苏·专题练习）小铃观察三元一次方程组各个未知数的系数特点，先用，得，记为，消掉未知数z，那么下一步应完成的是_____，得到_____，记为，由可解得x，y的值，通过代入x，y的值求出未知数z的值，完成这个三元一次方程组的求解． 【答案】 【分析】利用解三元一次方程组的基本思想—消元的思想，判断即可得到结果． 【详解】解：， ，得， ，得， 由得到二元一次方程组， 解得， 把代入①得，， ∴原方程组的解为， 故答案为，． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 1．（22-23七年级下·福建福州·课后作业）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 【答案】C 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的关键思想是消元，常用的消元方法有代入消元法、加减消元法，本题中首先消去未知数求出的值，再消去未知数求出，再把和代入求出的值即可． 【详解】解：由题意可得：， 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把和代入得：， ，，， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②得：④， ②③得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入②得：， 解得， ∴方程组的解为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确计算是解题的关键． 求出方程组的解得到的值，代入已知等式计算即可求出的值． 【详解】解：解方程组 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为： ，解得． 1．（23-24七年级下·广西桂林·课后作业）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 3．（2024七年级下·全国·竞赛）方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 4．（23-24七年级下·山东日照·期中）解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 第一个方程中不含，而第二个方程和第三个方程通过加减消元法可消去，再联立第一个方程可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的． 【详解】由题知，， 得，， 整理得， ④与①即可组成二元一次方程组， 要使解法较为简单，应先消去， 故选：A． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】本题可通过设苹果、香蕉和砝码的质量为未知数，根据天平平衡的条件列出方程组，然后通过消元法求解出苹果质量与香蕉质量的关系． 【详解】设一个苹果的质量为，一根香蕉的质量为，一个砝码的质量为 由第一个天平平衡，可得，化简为 由第二个天平平衡，可得 把代入中，得到，则 所以 即个苹果的质量是1根香蕉质量的倍． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握根据天平平衡建立三元一次方程组，通过消元法求解出苹果与香蕉的质量关系是解题的关键． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲件，乙件，丙件共需元，购买甲件，乙件，丙件共需元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 【答案】A 【分析】本题考查了方程的实际应用，根据题意设甲、乙和丙三种商品每件钱数为、和元，得到方程组，两式相加即可得出结论． 【详解】解：设甲、乙和丙三种商品每件的单价为、和元， 根据题意可列方程为 将可得， 即， 答：购买甲、乙、丙三种商品各一件共需元． 故选：． 7．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使任意三个相邻的小格子中所填整数之和都相等．若前个格子中所填整数之和为2030，则的值为（    ） A．203 B．303 C．606 D．609 【答案】D 【分析】本题考查了列三元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是列出相邻三个数的和都相等的三个方程． 解题时根据相邻三个数的和都相等列方程组即可求解． 【详解】解：设第，，个格子的数是 根据题意，得 解得 ∵相邻三个格子的数是，和，三个数的和是，前个格子的和是，． ∴说明有个相邻三个格子， ∴． 故选：D ． 9．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键．根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴，解得：； 故选：B． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 【详解】解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 11．（24-25七年级下·上海·自主招生）已知，则_____________． 【答案】 【分析】取每个方程的倒数，将原分式方程组转化为关于、、的方程组，然后求解该方程组得到的值，进而求出． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握取倒数转化方程组是解题的关键． 【详解】解：由，得； 由，得； 由，得； 设，，， 则方程组变形为： 将三个方程相加： 故 减去第一个方程： 减去第二个方程： 因此， 所以， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·周测）若方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．把代入方程组通过整体思想即可求解 【详解】解：把代入方程组得： 得： 由①得 将④代入得： 将③代入 故： 故答案为： ． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）方程组消去字母后得到的二元一次方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 化简得，代入，即可求解． 【详解】， 化简②得， 代入③得，即， 所以方程组消去字母后得到的二元一次方程组为， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·广东东莞·课后作业）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 【答案】23 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为，根据总天数和行程距离相等建立方程，根据，均为正整数，可求出和，再代入总天数方程求即可． 【详解】解：设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为， 由题意，向上游距离等于返回距离，且返回最后一天行进了， 因此有， 化简得， ∴， ∴是25的倍数， 取，则，此时，符合题意， ∴的通解为，（k为整数）， 当或时，x、y不满足为正整数且， ∴， ∴，， 又总天数满足， ∴ 故答案为：23． 15．（24-25七年级下·福建莆田·月考）一个三位数，各个数位上的数字互不相同．若百位数字与个位数字的差与十位数字的积等于，且百位数字的3倍与十位数字的和能被整除，则满足条件的三位数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是数的整除，三元方程的应用，理解题意，设出未知数，确定相等关系建立方程是解本题的关键.设百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据条件且能被整除，结合数字互不相同，枚举可能情况并验证． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 由条件，且，，为整数，，，，，，，互不相同 ∵， ∴可能为，，， 当，时，对应，但，需数字互异，可能数字为，（无效因），，，计算均不能被整除； 当，时，对应，数字互异可能为，，，，，，计算均不能被整除； 当，时，对应，数字互异可能为，，，，，，计算，仅满足可被整除； 当，时，对应，数字互异可能为，，，，，，，计算均不能被整除； 综上，满足条件的三位数为． 16．（25-26七年级下·湖北武汉·开学考试）江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水，分钟可以抽完池塘里的蓄水；如果用4台抽水机抽水，分钟可以抽完；如果要在分钟内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台？ 【答案】至少需要6台抽水机才能在分钟之内将水抽完 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是设出未知数，在不能具体解出所有未知数值得时候我们可以假设其中的一个未知数为常量，然后再代入计算． 设开始抽水前管道已经涌出a立方米的水，管道每分钟涌出b立方米的水，每台抽水机每分钟可以抽走c立方米的水，根据等量关系可建立方程组，解出a、b关于c的表达式，从而代入求解即可． 【详解】解：设开始抽水前管道已经涌出a立方米的水，管道每分钟涌出b立方米的水，每台抽水机每分钟可以抽走c立方米的水，则依题意得： ， 解得：， 如果要在分钟内将水抽完，则至少需要的抽水机台数为：． 答：至少需要6台抽水机才能在分钟之内将水抽完． 17．（24-25七年级下·贵州贵阳·自主招生）在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中200分才能获奖，要想获奖至少需要投中几次飞镖？ 【答案】14次 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，设投中17分x次，11分y次，4分z次，根据题意得出，根据要使最小，应该让x尽量大，z尽量小，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设投中17分x次，11分y次，4分z次，则，要使最小，应该让x尽量大，z尽量小， 解得：， ∴， 答：要想获奖至少需要投中14次飞镖． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 19．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． （2）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可 【详解】（1）解： ①得，， ②得，， 得， 解得 将代入①中，解得 ∴原方程组的解为． （2）解： 得，，解得 将③代入①得 将代入④得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题关键是利用消元法把方程组转化成一元一次方程． 20．（25-26七年级下·全国·假期作业）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？ 【答案】再过15分钟，货车追上了客车 【分析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．要注意本题中的时间和路程之间的关系较复杂，要理清思路，找到它们之间的路程倍数关系和时间之间的关系，用路程之间的关系作为等量关系求解．设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②，可得到，求得与，之间的关系式，代入货车追客车所得到的路程之间的相等关系中，即可求得时间． 【详解】解：设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②， 由①②可得， 化简得， 即， 所以， 假设再过分钟，货车追上客车， 则 将代入， 得， 解得：． 答：再过15分钟，货车追上了客车． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 三元一次方程组及其解法重难点题型专训 （2个知识点+2大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 三元一次方程组的定义及解 题型二 三元一次方程组的应用 拓展题型一 结合三元一次方程组解的特征解决实际问题 知识点一：三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 知识点二：三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2.解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组的解是_________． 【经典例题一 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（25-26七年级下·广东梅州·月考）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 1．（2023七年级下·甘肃平凉·竞赛）有一个5分钱币，4个二分钱币，8个一分钱币，要取9分钱，有(　 )取法． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级下·福建莆田·课后作业）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 3．（25-26七年级下·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则______． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【经典例题二 三元一次方程组的应用】 【例1】（25-26七年级下·重庆綦江·开学考试）电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三数的和为25，甲、乙两数之和比丙大5，乙比丙小3．若设甲为x，乙为y，丙为z，则可列方程组为________． 1．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需21元；若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本，共需35元．购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需（   ） A．8元 B．7元 C．6元 D．不能确定 3．（25-26七年级下·山西运城·月考）小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为_____． 4.（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【拓展训练一 结合三元一次方程组解的特征解决实际问题】 【例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 【例2】（2023七年级下·江苏·专题练习）小铃观察三元一次方程组各个未知数的系数特点，先用，得，记为，消掉未知数z，那么下一步应完成的是_____，得到_____，记为，由可解得x，y的值，通过代入x，y的值求出未知数z的值，完成这个三元一次方程组的求解． 1．（22-23七年级下·福建福州·课后作业）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组的解为________． 4．（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 1．（23-24七年级下·广西桂林·课后作业）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·全国·竞赛）方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 4．（23-24七年级下·山东日照·期中）解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 6．（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲件，乙件，丙件共需元，购买甲件，乙件，丙件共需元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 7．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使任意三个相邻的小格子中所填整数之和都相等．若前个格子中所填整数之和为2030，则的值为（    ） A．203 B．303 C．606 D．609 9．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·上海·自主招生）已知，则_____________． 12．（25-26七年级下·全国·周测）若方程组的解是，则的值为________． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）方程组消去字母后得到的二元一次方程组为___________． 14．（25-26七年级下·广东东莞·课后作业）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 15．（24-25七年级下·福建莆田·月考）一个三位数，各个数位上的数字互不相同．若百位数字与个位数字的差与十位数字的积等于，且百位数字的3倍与十位数字的和能被整除，则满足条件的三位数是________． 16．（25-26七年级下·湖北武汉·开学考试）江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水，分钟可以抽完池塘里的蓄水；如果用4台抽水机抽水，分钟可以抽完；如果要在分钟内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台？ 17．（24-25七年级下·贵州贵阳·自主招生）在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中200分才能获奖，要想获奖至少需要投中几次飞镖？ 18． （24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 19．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 20．（25-26七年级下·全国·假期作业）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？ 学科网（北京）股份有限公司 $