专题2.1～2.2二元一次方程与二元一次方程组和它的解重难点题型专训（5个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本初中数学讲义聚焦二元一次方程与方程组及其解的核心知识点，系统梳理二元一次方程的定义与解、方程组的定义与解及实际问题列方程组等内容，形成从概念理解到解的判断再到实际应用的递进式学习支架。 资料通过即时训练、经典例题及拓展题型，结合购物、裁剪绳子等现实情境，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理参数求解的能力，以数学语言表达实际问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固基础、查漏补缺，提升应用意识与创新思维。

专题2.1~2.2二元一次方程与二元一次方程组和它的解题型专训 （5个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 拓展题型一 结合二元一次方程组的定义与解的特征求参数 知识点一：二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·课后作业）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东河源·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 知识点二：二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某文具店有橡皮、尺子、铅笔三种文具，铅笔的数量是尺子的数量的3倍还多8只，之后文具店又购进同样数量的尺子，此时铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只，则之前橡皮和尺子的数量之差为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·课后作业）把一根长米的绳子裁剪成厘米或厘米的小段，且没有剩余，则其分法共有 ______种． 知识点三：二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 知识点四：二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西晋中·课后作业）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 知识点五：根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【即时训练】 1．（2022·七年级下 浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某网店开展促销，则买3个鼠标和2个键盘，需支付260元．设鼠标单价为元/个，键盘单价为元/个，可列方程为________． 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·月考）方框内，给出了两个判断，其中（    ） （1）方程是二元一次方程；（2）是二元一次方程． A．（1）对 B．（2）对 C．（1）、（2）均对 D．（1）、（2）均不对 【例2】（25-26七年级下·全国·课前预习）一元一次方程的一般形式为：______（a，b为常数，a≠0）；一元一次不等式的一般形式为：______或______（a，b为常数，a≠0）；二元一次方程的一般形式为：______（a，b，c为常数，a≠0，b≠0） 1．（2024·七年级下 贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知方程是二元一次方程，则_______． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（2025·七年级下 四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25七年级下·山西大同·课后作业）学习完二元一次方程后，同学们知道在没有条件限定时，二元一次方程有无数个解，但有条件限定时，求出的解必须符合实际．已知一个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，且满足，则这个两位数是_____． 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）关于二元一次方程，下列说法正确的是（　　） A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应 B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数 C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解 D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组 3．（23-24七年级下·重庆永川·期中）班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有___________种； 4．（25-26七年级下·福建福州·课后作业）已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 1．（23-24七年级下·上海闵行·课后作业）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·上海松江·课后作业）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东青岛·课后作业）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解______． 4．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·辽宁营口·课后作业）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽铜陵·课后作业）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【例2】（25-26七年级下·广东河源·月考）若是方程组的解，则 ______． 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程组，下列说法正确的有___________ ①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解； ②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解； ③若是方程组的解，且，则； ④若是方程组的解，且，则． 4．（2025·七年级下 安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【拓展训练一 结合二元一次方程组的定义与解的特征求参数】 【例1】（22-23七年级下·江西·期中）已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【例2】（24-25七年级下·江苏南通·月考）解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，试求的值为_____． 1．（24-25七年级下·新疆阿克苏·课后作业）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（22-23七年级下·河北沧州·期中）若方程组的解是则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·课后作业）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 4．（25-26七年级下·全国·周测）在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·课后作业）已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西渭南·课后作业）已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 3．（24-25七年级下·西藏昌都·课后作业）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级下·山东菏泽·课后作业）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 5．（25-26七年级下·上海·课后作业）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（22-23七年级下·浙江嘉兴·月考）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·甘肃平凉·课后作业）如果是方程组的解，则a2008+2b2008的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是关于的二元一次方程，则的值为______． 12．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）若关于x，y的二元一次方程有一个解是，则______． 13．（23-24七年级下·浙江绍兴·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 14．（24-25七年级下·湖北孝感·课后作业）写出一个解为的二元一次方程组为________． 15．（2025七年级下·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 16．（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 17．（25-26七年级下·安徽马鞍山·课后作业）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 18．（23-24七年级下·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 19． （24-25七年级下·上海·月考）已知是方程组的解，则的值是多少？ 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1~2.2二元一次方程与二元一次方程组和它的解题型专训 （5个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 拓展题型一 结合二元一次方程组的定义与解的特征求参数 知识点一：二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·课后作业）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，逐项分析即可得出结果，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键 【详解】．解：A、中，在分母，不是整式，故不是二元一次方程，不符合题意； B、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； C、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； D、，和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·广东河源·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 知识点二：二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某文具店有橡皮、尺子、铅笔三种文具，铅笔的数量是尺子的数量的3倍还多8只，之后文具店又购进同样数量的尺子，此时铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只，则之前橡皮和尺子的数量之差为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程．设之前尺子的数量为只，橡皮的数量为只，根据题意，铅笔的数量为只，之后购进只尺子，此时尺子总数为只，铅笔数量仍为．根据条件“铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只”，建立方程求解． 【详解】解：设之前尺子的数量为只，橡皮的数量为只， ∵铅笔的数量是尺子的数量的3倍还多8只， ∴铅笔的数量为只， ∵之后文具店又购进同样数量的尺子， ∴此时尺子总数为只， ∵此时铅笔的数量比橡皮和尺子的数量之和少4只， ∴， 解得， 即之前橡皮和尺子的数量之差为12， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·课后作业）把一根长米的绳子裁剪成厘米或厘米的小段，且没有剩余，则其分法共有 ______种． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意，列方程求解即可． 【详解】解：米厘米， 设厘米的有段，厘米的有段，为大于等于的整数， ∴，整理得，， 解得，， 共6种， 故答案为：6 ． 知识点三：二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 知识点四：二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西晋中·课后作业）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 知识点五：根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【即时训练】 1．（2022·七年级下 浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题； 【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知， 或， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某网店开展促销，则买3个鼠标和2个键盘，需支付260元．设鼠标单价为元/个，键盘单价为元/个，可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．理解题意，找准等量关系即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·月考）方框内，给出了两个判断，其中（    ） （1）方程是二元一次方程；（2）是二元一次方程． A．（1）对 B．（2）对 C．（1）、（2）均对 D．（1）、（2）均不对 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，注意掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.据此进行判断即可． 【详解】解：（1）方程不是二元一次方程； （2）不是二元一次方程． ∴（1）、（2）均不对 故选：D 【例2】（25-26七年级下·全国·课前预习）一元一次方程的一般形式为：______（a，b为常数，a≠0）；一元一次不等式的一般形式为：______或______（a，b为常数，a≠0）；二元一次方程的一般形式为：______（a，b，c为常数，a≠0，b≠0） 【答案】 ax+b=0 ax+b≥0 ax+b≤0 ax+by+c=0 【解析】略 1．（2024·七年级下 贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 整理得：， 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）已知方程是二元一次方程，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数均为1，且y的系数不为0作答即可． 【详解】解；由二元一次方程的定义，得且， 解得：或且， 即． 故答案为：2． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（2025·七年级下 四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·山西大同·课后作业）学习完二元一次方程后，同学们知道在没有条件限定时，二元一次方程有无数个解，但有条件限定时，求出的解必须符合实际．已知一个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，且满足，则这个两位数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 求出，的范围，再列出所有符合要求的情况即可． 【详解】解：∵已知一个两位数十位上的数字为，个位上的数字为， ∴，，且，均为整数． ∵， ∴，， ∴，， 综上所述，，， 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求； ∴这个两位数是， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，根据题意不管，，为原位大三和弦还是，，为原位小三和弦都可以推出，据此结合求出方程的正整数解个数即可得到答案． 【详解】解：当，，为原位大三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位大三和弦的个数为5个； 当，，为原位小三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位小三和弦的个数为5个； ∴用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为， 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）关于二元一次方程，下列说法正确的是（　　） A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应 B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数 C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解 D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组 【答案】A 【分析】 本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的定义，根据与的关系式判断A；根据二元一次方程的解的定义判断B；求出方程的正整数解即可判断C；根据二元一次方程组的定义判断D，牢记定义是解题的关键． 【详解】 解：A、， ，即：对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应，故本选项说法正确； B、只要任意给出一个的值，就能确定的值，所以此方程的解有无穷多个，故本选项说法错误； C、二元一次方程正整数解为，只有1个，故本选项说法错误； D、它可与二元一次方程组成一个三元一次方程，故本选项说法错误． 故选：A． 3．（23-24七年级下·重庆永川·期中）班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍（均购买），已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有___________种； 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 设羽毛球拍x副，乒乓球拍y副，根据总价列出方程，化简得，求正整数解，需为整数且，得，3，5，对应，4，1，故有3种方案． 【详解】解：设购买羽毛球拍x副，乒乓球拍y副， 则， 两边除以10得， ∵x，y为正整数， ∴需为正整数且， 即为2的倍数且， ∴，3，5， 当时，；当时，；当时，． 因此购买方案有3种． 故答案为：3． 4．（25-26七年级下·福建福州·课后作业）已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三位数的表示方法以及整除的性质： （1）根据题意可得该三位数为，从而得到，即可解答； （2）根据题意可得，从而得到，即可解答； （3）根据题意可得为奇数，从而得到n为奇数，可设，可得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴该三位数为， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴可以被3整除； （3）解：根据题意得：， ∵为奇数， ∴为奇数， ∴n为奇数， ∴可设，其中m为正整数， ∴， ∴， ∴k除以3的余数为1． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组即可． 【详解】解：二元一次方程组需满足：①有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为. A、方程组含两个未知数和，且方程和均为一次方程，符合题意． B、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 1．（23-24七年级下·上海闵行·课后作业）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 2．（25-26七年级下·上海松江·课后作业）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 3．（23-24七年级下·山东青岛·课后作业）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴满足二元一次方程组，使该方程组无解． 故答案为：（答案不唯一） 4．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 2．（22-23七年级下·辽宁营口·课后作业）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解． 【详解】 A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意． B. 将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意． C. 将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意． D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键． 3．（25-26七年级下·安徽铜陵·课后作业）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·广东河源·月考）若是方程组的解，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【答案】A 【分析】根据两个方程组的解相同，所以先求出只含、的方程组的解，再将解代入含、的方程，求出、，最后计算即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解法及同解问题，熟练掌握解方程组的步骤和利用同解求参数是解题的关键． 【详解】解：， 得： ， 把代入①得： ， 把代入中得， 得： ， 把代入③得： ， 则，所以； 故选：A ． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将代入，然后解关于a的方程即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：A． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程组，下列说法正确的有___________ ①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解； ②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解； ③若是方程组的解，且，则； ④若是方程组的解，且，则． 【答案】②③ 【分析】根据二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义分析判断说法①②；根据是方程组的解，可得，再结合求出的值，即可判断说法③④． 【详解】解：若是第一个方程的解，则不一定是第二个方程的解，故说法①错误； 若是方程组的解，则一定是第二个方程的解，说法②正确； 若是方程组的解，则有， 将两个方程相加，可得，整理可得， 又因为，即有，解得， 故说法③正确，说法④错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程（组）的解的知识，理解并掌握二元一次方程（组）的解的定义是解题关键． 4．（2025·七年级下 安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． （1）观察表格，找到规律，即可填空； （2）根据规律求解即可； （3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 【拓展训练一 结合二元一次方程组的定义与解的特征求参数】 【例1】（22-23七年级下·江西·期中）已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·江苏南通·月考）解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，试求的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意可得到，解二元一次方程组即可得到的值，从而即可得到答案． 【详解】解：由题可得： 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， 得：， ∵此时可以消去未知数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·新疆阿克苏·课后作业）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程解的概念及代入法的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将已知解代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将，代入方程，得：， 化简得：， 解得：， 故选D． 2．（22-23七年级下·河北沧州·期中）若方程组的解是则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察两方程组的特点,由于两方程组的形式相同，故可用换元法把它们化为同一方程组，再令其解相同即可． 【详解】观察两个方程组可设，， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是运用整体代入思想及换元法求解． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·课后作业）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案． 【详解】解：把新方程组变形为：， 关于x，y的方程组的解是， ， 解得： 故答案为： 4．（25-26七年级下·全国·周测）在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 1．（25-26七年级下·河南驻马店·课后作业）已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的变形，需通过移项、系数化为1的步骤，将方程转化为用含y的代数式表示x的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 2．（25-26七年级下·陕西渭南·课后作业）已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 3．（24-25七年级下·西藏昌都·课后作业）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 4．（25-26七年级下·山东菏泽·课后作业）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键；设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据总花费列出方程，结合x、y为正整数且每种奖品至少1件的条件，找出符合条件的整数解即可确定购买方案的种数． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案. 故选：A 5．（25-26七年级下·上海·课后作业）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 6．（22-23七年级下·浙江嘉兴·月考）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 8．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的条件：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、符合二元一次方程组条件，是二元一次方程组，符合题意； D、最高次次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义；数量掌握二元一次方程组的概念是解题的关键． 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 10．（25-26七年级下·甘肃平凉·课后作业）如果是方程组的解，则a2008+2b2008的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将方程组的解代入方程组可得关于a、b的二元一次方程组，再求解方程组即可求解． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ①＋②得，a＝1， 将a＝1代入①得，b＝1， ∴a2008＋2b2008＝1＋2＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】3或1/1或3 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数均为1，且y的系数不能为0列式计算即可． 【详解】解：由二元一次方程的定义，x的指数必须等于1，即， 解得或； 当时，； 当时，； 因此，k的值为3或1． 故答案为：3或1． 12．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）若关于x，y的二元一次方程有一个解是，则______． 【答案】5 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，灵活运用方程的解的定义是解题的关键． 将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：把，代入方程，得 ，即， 移项得，即， 两边同时乘以得． 故答案为：5． 13．（23-24七年级下·浙江绍兴·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 14．（24-25七年级下·湖北孝感·课后作业）写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 15．（2025七年级下·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 16．（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 17．（25-26七年级下·安徽马鞍山·课后作业）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 18．（23-24七年级下·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 19．（24-25七年级下·上海·月考）已知是方程组的解，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 学科网（北京）股份有限公司 $