专题6.7 平面向量在几何及物理中的应用的应用重难点题型专训（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.7 平面向量在几何及物理中的应用的应用重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用向量解决夹角问题 题型二 用向量解决线段的长度问题 题型三 向量与几何最值 题型四 向量在几何中的其他应用 题型五 解析法在向量中的应用 题型六 力的合成 题型七 速度、位移的合成 题型八 功、动量的计算 拓展训练一 平面几何中的向量方法 拓展训练二 向量在物理中的应用 知识点一： 平面几何中证明问题的具体转化方法 1、证明线段，可转化为证明； 2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； 3、证明两线段，只需证明数量积； 4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 【即时训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 【答案】垂 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 知识点二： 向量在物理中的应用 1、向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 （1）速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （2）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （3）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 四、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 【即时训练】 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（    ）（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】结合物理知识，求解力在水平方向及竖直方向的分量，进而得出摩擦力，利用做功公式即可求解. 【详解】解：由题可知，以木块运动的方向为正方向， 则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：， 则摩擦力为：， 则力做功为,摩擦力做功. 故选：A. 2．（2024高一下·全国·专题练习）某人从点向正东方向走30 m到达点，再向正北方向走 m到达点，则此人的位移的大小是________ m，方向是北偏东________． 【答案】 60 【分析】通过向量的加法运算，然后计算模长可得. 【详解】如图所示， 此人的位移是，且， 所以(m)， 又，0°180°，所以， 所以的方向为北偏东． 【经典例题一 用向量解决夹角问题】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知点，，，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B． C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点 【答案】D 【解析】由题意，求得，得到是钝角，即可得到答案. 【详解】由题意，点，，， 可得，则，所以是钝角. 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围. 【答案】. 【分析】根据求出D点坐标，根据∥表示出P点坐标，根据即可求P横坐标的范围. 【详解】设，则， 四边形是平行四边形，，，解得， . 设，， ，，，， ∵∥，∴， 为锐角，则 ， 解得或(舍)， ∴P的横坐标范围是：. 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 2．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________. 【答案】 【分析】依次算出、、，然后可得答案. 【详解】由已知，，，，得， 又由得， 因为， 所以 所以 故答案为： 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值； （2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可. 【详解】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 【经典例题二 用向量解决线段的长度问题】 【例1】（24-25高三·全国·月考）如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案. 【详解】因为，，，所以. 因为， 所以 故选：B 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）在中，AB＝2，AC＝3，，求BC边的长度． 【答案】 【分析】根据和计算，再计算即可得出答案． 【详解】 ， ， ， . 1．（24-25高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 2．（24-25高一下·江西九江·期中）在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得. 【详解】取中点O，连接， ，即，M为BC边上靠近C的三等分点， ， ，，， 又，，. 故选：C. 3．（2026高三·全国·专题练习）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则__________． 【答案】 【分析】如图建立直角坐标系，可得，又设，后结合可得t，即可得答案. 【详解】如图建立直角坐标系，因正方形的面积为16， 则，又，则M为AB中点， 则，因点在线段上，则设，则，. 则，故. 故答案为：. 4．（2025·广西河池·三模）已知的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再根据余弦定理进行计算即可； （2）先得，再两边平方求值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理知， 又，所以. （2）因为，， 则, 所以 , 所以 【经典例题三 向量与几何最值】 【例1】（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C 【例2】（24-25高一·全国·课前预习）梯形中，，，，，点在线段上运动. (1)当点是线段的中点时，求； (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意求得，将目标向量表达为，结合向量的数量积运算即可求得结果； （2）选定，为基底，表达目标向量，再根据平面向量共线定理，设，将数量积表达为的函数，再求函数最大值即可. 【详解】（1）根据题意，作图如下： 由题意，， . （2）设， ， 所以时，的最大值是． 1．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【详解】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D．    2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，则，结合两点间线段最短进行即可求解． 【详解】如图设， 点在以为圆心，半径为的圆上， 点在以为圆心，半径为1的圆上，， 所以在射线上， 所以， 作点关于射线的对称点，则，且， 所以，（当且仅当共线时取等号）， 的最小值为． 故答案为：． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的值域. 【答案】 【分析】设，，，则进行求解即可． 【详解】解：由题意，. 设，，， 则，. ∴. 显然，P、A、B三点能构成一个三角形，由三角形三边的关系（任意两边之差小于第三边）知. 又∵， ∴，即， 故函数的值域为. 【经典例题四 向量在几何中的其他应用】 【例1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，，，试证明三角形的面积. 【答案】证明见解析. 【分析】根据数量积定义和同角三角函数的平方关系化简可得. 【详解】证明：因为， 所以 . 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 【答案】C 【分析】作的边上的中线，过点作于点，过点作于点，根据数量积的几何意义可得，结合重心性质可得点重合，从而得解. 【详解】作的边上的中线， 因为为的外心，所以． 因为为的重心，所以． 过点作于点，过点作于点． 由及，由于为在方向上的投影向量， 由数量积的几何意义，得．    由及，得．而， 所以点重合，故． 故选：C． 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（    ） A．单调递减 B．恒为定值 C．单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】建系，，，由过点分别作，，的垂线，交点为,得到，再结合两点间距离公式，得到，由平面向量数量积的坐标表示逐个判断即可； 【详解】 如图建立平面直角坐标系，则，，，设，， 其中，．过点分别作，，的垂线，交点为, 易知， 所以， 所以，即．而，， 且，， 当增大时，也增大，所以ABD正确，C错误； 故答案为：ABD． 3．（24-25高一下·四川德阳·月考）设P为内一点，且，则________． 【答案】/ 【分析】设的中点是，连接，根据平面向量线性运算法则，得到，即可求得. 【详解】设的中点是，连接，由，可得， 因为，所以，所以， 所以为的三等分点（靠近点的分点），即， 所以． 故答案为：. 4．（25-26高一·上海·课堂例题）证明：三角形的三条中线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】设的中线与交于点M，根据M在，上，利用共线向量定理得到，，再结合求解即可. 【详解】如图， 设的中线与交于点M. 则由M在，上，可知必存在实数p，q， 使得，， 因为， 所以，又， 所以， 所以，解得，即，， 设边上的中线与交于点N， 根据对称性，可知中线与的交点N也必满足上述性质， 同理可证，故M，N重合，故三角形的三条中线相交于一点. 【经典例题五 解析法在向量中的应用】 【例1】（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形. 【详解】不妨设中，，边长，边长， 以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系 则、、,    ,设，则 故 可得，故 的面积为， 的面积为 则与的面积之比为 故选：C 【例2】（24-25高一下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 【答案】(1)， (2)四边形为等腰梯形，周长为8 【分析】（1）根据点的坐标及可求的坐标，根据可求的坐标； （2）根据向量坐标关系及长度关系，得出四边形为等腰梯形，根据各边长可求周长. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，由，知， 又，， 设，则，， 点． 又， ， 点． （2）由（1）可得，，，． ，． 又，， 四边形为等腰梯形． ，，，， 四边形的周长为8． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，做轴于点，可求出、、坐标，及、、，再由向量的坐标运算可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以， 由已知可得，，， 所以，，， 所以. 故选：B.    2．（2025高二下·浙江温州·学业考试）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，分类讨论在边上运动时的取值范围，从而得解. 【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，    则， 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 当在边上运动时，记， 则，所以，则； 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 综上：. 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江·期末）如图，在矩形中，，，，是上的两动点，在的左边，且，则的最小值为________．      【答案】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系：设，则，利用平面向量的数量积的坐标表示求出，再根据二次函数知识可求得结果. 【详解】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：    则，，设，则，其中， 所以，， 所以， 所以时，的最小值为. 故答案为： 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为. (1)求的值; (2)求的最小值. 【答案】(1);(2) 【解析】（1）建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由，，三点共线，即，列方程即可求出的值； （2）由(1)得，由面积可得，利用基本不等式可得最小值. 【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，设，， 则，， 由得， 故， 由得， 所以， 因为，，三点共线，所以， 所以， 解得. (2)由(1)得， 因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当，时取得等号. 【经典例题六 力的合成】 【例1】（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为F，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为G，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力F与重力G的关系．      【答案】 【分析】利用向量的平行四边形法则，结合菱形的性质即可得解. 【详解】设两人的拉力分别为，作， 以为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力， 根据力的平衡可知互为相反向量； 如图，因为，所以四边形为菱形. 连接交于，则为的中点，且，    又，由菱形性质可知，其中； 所以，所以， 即. 1．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据,先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 3．（25-26高一·全国·课后作业）用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为，则每根绳子的拉力大小是________． 【答案】10N 【详解】由题意知以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD. 其中||=10N，由∠ABC=120°，得∠ABD=60°. 所以△ABD为等边三角形，所以||=||=||=10N. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【答案】(1)约1.41N (2)不能 【分析】（1）根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果； （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，由题意知，代入数据即可求得结果. 【详解】（1）如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以，所以， 所以． （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，当时，， 解得：． 因为超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 【经典例题七 速度、位移的合成】 【例1】（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】    设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）. 故选：A 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，一艘船从A点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5千米/时的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2千米/时，求该船的速度大小及航向．（方向用与江水速度间的夹角表示，精确到0.1度） 【答案】该船的速度为千米/时，航向约为北偏东 【分析】利用勾股定理求出，再求即可. 【详解】如图，在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴该船的速度为千米/时，航向约为北偏东． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一只鹰正以与水平方向成角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为，则鹰的飞行速率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原问题转化为向量的问题，然后结合几何关系求得鹰的飞行速度即可. 【详解】如图，表示鹰在地面上的影子的速度，表示鹰的飞行速度， 由题意知，，且， 所以. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·山西吕梁·期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（    ） A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h 【答案】BC 【分析】设该船实际航行的速度为，由向量模的关系可得，由此求解可得到答案． 【详解】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度， 所以， 因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h， 所以， 则， 所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]． 故选：BC． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则___________，传令兵所走的路程为___________． 【答案】 2 /2.25 【分析】根据追及问题与相遇问题，结合路程与速度和时间的关系求解及传令兵所走的路程即可. 【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 则，传令兵所走的路程为. 故答案为：；. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向. 【答案】西北方向吹来；千米/小时. 【分析】由题意，确定分运动和合运动的关系，根据运动的合成与分解法则，由人的运动即可确定风的实际运动. 【详解】解：设表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为，设实际风速为，那么此时人感到风速为， 设， 因为， 所以，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为，所以， 于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是， 由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO， 从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a， 即， 所以实际风速为千米每小时，方向为西北方向吹来. 【经典例题八 功、动量的计算】 【例1】（2025·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果. 【详解】因为，，所以，又，，所以，故. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 【答案】答案见详解 【分析】将重力沿斜面和垂直于斜面分解，分别求出分力，然后可得各力所做功. 【详解】物体受到重力，支持力和摩擦力， 重力，沿斜面向下的分力， 垂直斜面的分力，所以摩擦力大小为， 斜面长为， 所以重力所做功为（焦耳）， 摩擦力所做功为（焦耳）， 支持力所做功为0（焦耳）. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的定义即可求解. 【详解】由题意可知：，即， 解得：， 故选：D. 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（    ） A．1000J B． C．2000J D．500J 【答案】A 【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可． 【详解】解：因为且与小车的位移方向的夹角为， 又力作用于小车，使小车发生了40米的位移， 则力做的功为． 故选：A． 3．（25-26高二·全国·课后作业）一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________． 【答案】10 J 【详解】由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小 |F|＝×20 N＝10 N， ∴W＝|F|·|s|＝10 J. 或由斜面高为m，W＝|G|·h＝20×J＝10 J. 答案为10 J 4．（25-26高二·全国·课后作业）一个物体在平面内受到三个力、、的作用，它们的大小依次为、和，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）. 【答案】焦耳 【分析】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为轴建立平面直角坐标系.通过计算可得三个向量,,的坐标,从而可得合力的坐标,根据合力与位移向量的夹角为,且,利用向量的物理意义可得. 【详解】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为轴建立平面直角坐标系. 如图所示: 计算可得， ， , 所以合力, 因为合力与位移的夹角为, 所以合力做的功 , 保留四位有效数字可得焦耳. 所以合力做的功约为199.6焦耳. 【拓展训练一 平面几何中的向量方法】 【例1】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，点是的外心．设，，试将向量用，表示． 【答案】 【分析】设，通过两边分别点乘，，通过数量积运算得到， ，求解即可； 【详解】由题目可知，，，． 设，即，两边点乘， 设,的中点为, 由圆的性质易知，， 所以 可得  ①， 同理两边点乘，可得  ②， 联立①②解得，，所以． 1．（24-25高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到，同理可得，解得，根据向量乘法可求得，代入到可求得. 【详解】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到 ， 同理可得， 又因，可得， 可解得， ，所以， 则. 故选：A 2．（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据点，，，，得到的坐标，然后逐项判断. 【详解】因为点，，，， 所以， 因为 ，所以，故正确； 因为 ，所以，故正确； 因为，所以，故错误； 因为，所以不成立，故错误. 故选：AB 3．（24-25高一下·四川绵阳·期中）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围. 【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.    则.不妨设. 因为，所以，解得：， 所以. 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减. 所以当时最大；当时最小. 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【详解】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 【拓展训练二 向量在物理中的应用】 【例1】（24-25高一下·云南昭通·期末）河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法法则结合勾股定理计算即可. 【详解】由题意，，作出示意图如图所示，， 故选：B. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求，的大小. 【答案】重力为，沿着斜面向上的摩擦力为. 【分析】沿水平方向和垂直方向建立直角坐标系，利用坐标法进行计算即可. 【详解】建立如图的坐标系， 由，可得：. 设，，则， . 因为 所以，解得：. 所以重力为，沿着斜面向上的摩擦力为. 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·浙江·期末）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（    ） A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为 C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 【答案】BD 【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角. 【详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为， 根据向量的平行四边形法则可知： ， 设船的航行方向和水流方向的夹角为， 所以，所以， 故选：BD. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三个力，，的合力，则的坐标为____________． 【答案】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由，则， 因为，，所以，即． 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功 【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为. 【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 1．（24-25高三上·山东德州·月考）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽·月考）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【详解】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故选：A 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的点到射线距离最小值求解. 【详解】由是单位向量，，得，即， 作向量，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，作向量，， 过作射线的垂线，垂足为， 所以. 故选：D 4．（24-25高三上·全国·期中）已知，为的中点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，求出点的坐标，设出点，求得，即可求出的最大值． 【详解】因为，所以在以为圆心半径为1的圆上． 以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，因为，为的中点，所以． 则，设， 则，所以，因为，当与重合，即时，． 故选：C． 5．（24-25高一下·福建·期中）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（    ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重. 【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反 两只胳膊的拉力的合力大小为 则该学生的体重约为（kg） 故选：B 6．（多选）（24-25高三下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，定义变换：将点变为点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】设点的坐标，根据定义变换得出坐标，再根据两向量平行、垂直、夹角公式等坐标计算进行判断各选项. 【详解】设，则，，，， 而， 设，则 对于A，因为，所以，所以. 而， ， 所以.所以.A正确. 对于B，因为，所以.即. 而，所以B正确. 对于C，因为，所以. 而，故C错误. 对于D，因为，所以. 而 ，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 8．（多选）（24-25高一下·四川南充·月考）已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABD 【分析】易得，再由表示在上的投影即可得的取值范围，即可得解. 【详解】由正六边形的性质得：， 则，， ， 而表示在上的投影， 当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0， 所以的取值范围为，故A、B、D正确，C错误. 故选：ABD. 9．（多选）（24-25高一下·海南海口·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为 B．已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心 C．在中，若，则为锐角三角形 D．为内部一点，，则，，的面积比为 【答案】ABD 【分析】对于A，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求出的最小值可判断A正确；对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为，将化为，可得B正确；对于C，推出为锐角，根据锐角三角形的定义可判断C不正确；对于D，取的中点为，的中点为，由，推出为的中点，可判断D正确. 【详解】对于A，取的中点，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图：    则，，，设， 则，，，则， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为，故A正确； 对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为，    则，， 因为， 所以， 所以， 所以与共线，因为，所以动点的轨迹为射线（不含点），一定经过三角形的重心，故B正确； 对于C，在中，若，则，则， 则为锐角，一个锐角不能推出三角形为锐角三角形，故C不正确； 对于D，取的中点为，的中点为，连接，如图：    因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，即， 所以为的中点， 所以，，， 所以，故D正确. 故选：ABD 10．（多选）（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为___________ 【答案】/ 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 12．（2025·河南郑州·一模）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是_______． 【答案】/ 【分析】由平方得：，再由可得，进而利用基本不等式可得最小值． 【详解】由平方得：． 又，所以． 所以． 当且仅当时，取最小值． 故答案为：． 13．（24-25高一下·江苏南京·月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算与锐角三角形外接圆的相关性质即可求解. 【详解】依题意，设中点，的中点为，则垂直平分，垂直平分， 则. 以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图， 为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形， 根据临界位置及图形可知，而， 所以，则范围是． 故答案为：. 14．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）一质点在平面上的三个力的作用下处于平衡状态，已知成角，且，的大小分别为和，则的大小为______． 【答案】 【分析】根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可得解. 【详解】设三个力，，分别对于的向量为： ， 则由题知，所以， 而，，则， 所以， 所以的大小为. 故答案为：. 15．（25-26高一·江苏·课后作业）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min. 【答案】3 【分析】由题得v实际＝v1＋v2，求出|v实际|=16,即得解. 【详解】∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h， ∴|v实际|＝＝＝16(km/h). ∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min). ∴该船到达B处所需的时间为3 min. 故答案为：3 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于求出|v实际|. 16．（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 18．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 19．（24-25高一上·湖北武汉·期末）在中， （1）|，于D，，，求，. （2）如果（1）的条件下，中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角 【答案】（1），（2）答案见解析 【分析】（1）建立直角坐标，利用点的坐标表示向量，然后求数量积的值； （2）利用向量的转化为已知向量的关系，通过向量的数量积推出数量积的表达式，然后求解最值． 【详解】（1）以BC，DA分别为轴建立直角坐标系如图， ，于D，，， 可得，， 可得，，，，， ，，， ， . （2）设与轴正方向成角，即向量与的夹角为， 因为， ， 所以 ， 当与方向相同时，即，时，取得最大值0，此时与的方向相同； 当与方向相反时，即，时，取得最小值，此时与的方向相反. 20．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【分析】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【详解】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 平面向量在几何及物理中的应用的应用重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用向量解决夹角问题 题型二 用向量解决线段的长度问题 题型三 向量与几何最值 题型四 向量在几何中的其他应用 题型五 解析法在向量中的应用 题型六 力的合成 题型七 速度、位移的合成 题型八 功、动量的计算 拓展训练一 平面几何中的向量方法 拓展训练二 向量在物理中的应用 知识点一： 平面几何中证明问题的具体转化方法 1、证明线段，可转化为证明； 2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； 3、证明两线段，只需证明数量积； 4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 【即时训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 2．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 知识点二： 向量在物理中的应用 1、向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 （1）速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （2）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （3）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 四、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 【即时训练】 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（    ）（） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高一下·全国·专题练习）某人从点向正东方向走30 m到达点，再向正北方向走 m到达点，则此人的位移的大小是________ m，方向是北偏东________． 【经典例题一 用向量解决夹角问题】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知点，，，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B． C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围. 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________. 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【经典例题二 用向量解决线段的长度问题】 【例1】（24-25高三·全国·月考）如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（    ）    A． B． C．或 D．或 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）在中，AB＝2，AC＝3，，求BC边的长度． 1．（24-25高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西九江·期中）在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则__________． 4．（2025·广西河池·三模）已知的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的长. 【经典例题三 向量与几何最值】 【例1】（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【例2】（24-25高一·全国·课前预习）梯形中，，，，，点在线段上运动. (1)当点是线段的中点时，求； (2)求的最大值. 1．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的值域. 【经典例题四 向量在几何中的其他应用】 【例1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知在中，，，试证明三角形的面积. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（    ） A．单调递减 B．恒为定值 C．单调递减 D． 3．（24-25高一下·四川德阳·月考）设P为内一点，且，则________． 4．（25-26高一·上海·课堂例题）证明：三角形的三条中线相交于一点． 【经典例题五 解析法在向量中的应用】 【例1】（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25高一下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025高二下·浙江温州·学业考试）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江·期末）如图，在矩形中，，，，是上的两动点，在的左边，且，则的最小值为________．      4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为. (1)求的值; (2)求的最小值. 【经典例题六 力的合成】 【例1】（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为F，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为G，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力F与重力G的关系．      1．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 3．（25-26高一·全国·课后作业）用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为，则每根绳子的拉力大小是________． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【经典例题七 速度、位移的合成】 【例1】（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，一艘船从A点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5千米/时的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2千米/时，求该船的速度大小及航向．（方向用与江水速度间的夹角表示，精确到0.1度） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一只鹰正以与水平方向成角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为，则鹰的飞行速率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·山西吕梁·期中）一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（    ） A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则___________，传令兵所走的路程为___________． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向. 【经典例题八 功、动量的计算】 【例1】（2025·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（    ） A．1000J B． C．2000J D．500J 3．（25-26高二·全国·课后作业）一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）一个物体在平面内受到三个力、、的作用，它们的大小依次为、和，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）. 【拓展训练一 平面几何中的向量方法】 【例1】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，，，，点是的外心．设，，试将向量用，表示． 1．（24-25高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知点，，，，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川绵阳·期中）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________． 4．（24-25高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【拓展训练二 向量在物理中的应用】 【例1】（24-25高一下·云南昭通·期末）河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求，的大小. 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 2．（多选）（24-25高一下·浙江·期末）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（    ） A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为 C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三个力，，的合力，则的坐标为____________． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 1．（24-25高三上·山东德州·月考）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 2．（24-25高一下·安徽·月考）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 4．（24-25高三上·全国·期中）已知，为的中点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建·期中）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（    ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，) A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高三下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，定义变换：将点变为点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 8．（多选）（24-25高一下·四川南充·月考）已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 9．（多选）（24-25高一下·海南海口·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为 B．已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心 C．在中，若，则为锐角三角形 D．为内部一点，，则，，的面积比为 10．（多选）（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 11．（24-25高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为___________ 12．（2025·河南郑州·一模）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是_______． 13．（24-25高一下·江苏南京·月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是______． 14．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）一质点在平面上的三个力的作用下处于平衡状态，已知成角，且，的大小分别为和，则的大小为______． 15．（25-26高一·江苏·课后作业）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min. 16．（24-25高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 18．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 19．（24-25高一上·湖北武汉·期末）在中， （1）|，于D，，，求，. （2）如果（1）的条件下，中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角 20．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 学科网（北京）股份有限公司 $