精品解析：北京市第五中学分校 2025-2026学年度第二学期第一次阶段性练习 : 九年级数学

北京五中分校2025~2026学年度第二学期第一次阶段性练习 初三数学 考生须知： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：A、球的俯视图是圆，不符合题意； B、四棱柱的俯视图是矩形，符合题意； C、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意； D、圆柱的俯视图是圆，不符合题意； 故选：B． 2. 2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数字1330000用科学记数法表示应为． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，勾股定理，设点D的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点D的坐标为， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为， 故选：C． 4. 若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ，， ， 选项A不符合题意； ，， ， ， 选项B符合题意； ，， ，， ， 选项C不符合题意； ， ， ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 5. 已知A（-1，），B（2，）两点在双曲线上，且，则m的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵A（，），B（2，）两点在双曲线上， ∴． ∵， ∴，解得． 故选D． 6. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：是的直径，， ，，，， 故A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 7. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是， 故选：B． 8. 如图1，点A，B是上的两个定点，动点P从点A出发，在上按逆时针方向匀速运动到点B停止．设点P的运动时间为x（单位：s），线段的长为y（单位：），表示y与x的函数关系的图象如图2所示，点M是图象的最高点．给出下面四个结论： ①的半径为； ②点P的运动速度为； ③当点P不与点A，B重合时，连接，则的度数为或； ④以点A，B，P为顶点的三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，圆周角定理等知识点，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①，然后通过弧长公式即可判断②；根据可知点运动到点时，为等边三角形，进而可对③进行判断，先判断出三点在一条直线上时，最大此时的面积最大，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题图②得，当时，达到最大值，此时，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故②错误； 当点运动到点时，，即，如图： 是等边三角形， ， ∴，故③错误； 过点作，垂足为， ∵可以看成为底为高的三角形， ∴的面积最大时要求长度最长， ∵， ∴三点在一条直线上时，最大，如下图： ∵为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时， 故④正确； 故正确的有：①④； 故选：B． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 10. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解：， 去分母，方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 13. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度__________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出Rt△ACB∽Rt△ECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论. 【详解】已知CD= 12m，AB= 1.5m，BC=2m， 根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD,又∠ABC=∠EDC ∴Rt△ACB∽Rt△ECD ∴, 即, 解得DE=9 故答案为:9 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键. 14. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，如果AD=1，那么tan∠BCD=_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】证明△BCD为直角三角形，运用三角函数定义求解． 【详解】解：∠A＝45°，AD＝1， ∴sin45°＝＝， ∴DE＝． ∵∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点， ∴AE＝DE＝CE＝，∠ADC＝90°． ∴BD＝AC﹣AD＝﹣1， ∴tan∠BCD＝＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，同时考生需要注意三角函数的运用． 15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 16. 某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人___________（填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为___________小时． 【答案】 ①. 不能 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查工程问题中的任务规划与时间计算，涉及到对任务轮次、耗时、所需人力的综合分析．解题关键在于合理规划任务安排，准确计算任务执行时间和任务切换准备时间，通过比较不同任务的耗时情况来确定整体最短耗时或判断能否在规定时间内完成任务． （1）本题围绕生态农场的三项任务展开，根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． （2）根据各项任务每轮耗时、需完成轮数和每轮所需工人数，同时考虑不同任务切换的准备时间，以及工人数量，通过计算任务总耗时与给定时间比较或规划任务安排来求解． 【详解】解：（1）A任务每轮耗时小时，需完成轮，且名工人刚好满足每轮需求， ∴A任务总耗时为小时． 完成A任务后切换到其他任务，有两次任务切换，每次准备时间小时， ∴准备时间共小时． B任务每轮耗时小时，需轮，名工人即可；C任务每轮耗时小时，需轮，每轮名工人． ∴名工人可同时进行B和C任务（人做B，人做C ），C任务轮共小时，B任务小时，以耗时较长的C任务为准，B和C任务同时进行最短耗时小时． 三项任务总耗时为小时，， ∴名工人不能在小时内完成全部三项任务． 故答案为：不能； （2）增加2名工人后共5名工人， ∵更换工作会有额外时间， ∴尽量减少工作任务更换， 先安排三人作A任务两轮，共3小时，同时安排1人做任务B，两小时后更换工作至C，一轮，共需3小时，此时，A任务和B任务已经完成，C任务还有两轮，安排4人两轮任务同时进行，共需1小时， ∴总时间为：（小时）． 故答案为：4． 三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和化简二次根式，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据题意得到，再把原分式的分子和分母都分解因式，然后约分化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，中位线的性质． （1）由，得，再结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）先根据直角三角形的性质得，再解直角三角形得，由勾股定理得，证明是的中位线，由，即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ， ． 21. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式解决问题． （1）根据一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，可得，即可解得一次函数的解析式为；从而求出的坐标为； （2）当时，，，根据当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，可得，可解得答案． 【小问1详解】 一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ， 解得， 一次函数的解析式为； 在中，令得， 解得， 的坐标为； 【小问2详解】 当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ， 解得， 的取值范围是． 23. 某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】（1）①90,3② （2）甲，89 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是解题的关键． （1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可； （2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：①评委打分出出现次数最多的数据是90， （分）； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90,3； ②，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（分） （分） ∴， 所以甲排在乙的前面， 由于丙中间，， 所以， 解得， ， ①当时， ， ， 此时，，， 所以丙排在乙的后面，不符合题意； ②当时，， 此时，，， 所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，． 故答案为：甲，． 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接，则有 ， ∵是半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明结论成立； （2）先求出，连接，证明，则，得到，勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为中点且 如图，连接 为直径 25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 【答案】（1） 补全的函数图象如图： （2） （3）①4，② 【解析】 【分析】该题考查了正比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象可得与是正比例函数，设与的关系式为，根据待定系数法求解即可； （3）①将代入求解即可； ②根据图象可得当，与是正比例函数，求出；设需要挪动的物体质量约为，则，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可得与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①将时，， 即这些重物的质量为； ②根据图象可得当，与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 设需要挪动的物体质量约为， 则， 解得：． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 （1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； （2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 【答案】（1）（0，2）；2 （2）的取值范围为，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴当x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）； ∵， ∴点关于对称轴对称， ∴； 【小问2详解】 解：当x=0时，y=c， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c）， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c）， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ， ∵1＜3， ∴2t＞3，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵1＜3， ∴2t＞3，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27. 已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点． （1）如图，点与点重合，点与点重合，求证：； （2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质与全等三角形的判定及性质，通过构造全等三角形、利用角度和边的关系推导是解题关键． （1）利用等腰三角形边相等的性质，结合直角三角形全等判定（），证明对应边相等； （2）先通过“”证明三角形全等得到边与角的关系，再借助角平分线垂线的条件，用“”证明另一组三角形全等，进而推导边的数量关系． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ，证明如下： 如图，连接， 由题意知，，， 在中，，， ， ， ，即， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． （1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； （2）如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； （3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点P作于点M，过点Q作于点N，得到，，根据两点间距离公式即可求解， （2）设点，，得到，将代入，得到，结合，得，，由两点间距离公式得到，由，即可求解， （3）延长、交于点，作中点，由，，得到 ，，，进而得到等边三角形，根据线段垂直平分线的判定，及等腰三角形三线合一，得到，，，进而得到直线的解析式：，当点在点右侧时，，四点共圆，当点在点左侧时，四点共圆，根据直角所对弦是直径及圆周角定理，得到为的直径，是顶角为的等腰三角形，，设点，则，，根据直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），得到，进而得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设点，， ∵点P，Q在直线上，轴，轴， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，， ∵直线的解析式为：， ∴，， ∵直线的解析式为：， ∴当时，，当时，，即：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在点右侧时，， ∴， ∴四点共圆， 当点在点左侧时， ∴， ∴四点共圆， ∵，点为中点，， ∴为的直径，，， ∴是顶角为的等腰三角形， ∴， 设点，则， ∴， ∵直线与交于P，Q两点， ∴，即， ∵点P的横坐标大于点Q的横坐标， ∴点P在直线下方， 当时，，，解得：， ∴， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，两点间距离公式，圆周角定理，四点共圆，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线找到与相关线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京五中分校2025~2026学年度第二学期第一次阶段性练习 初三数学 考生须知： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知A（-1，），B（2，）两点在双曲线上，且，则m的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，点A，B是上的两个定点，动点P从点A出发，在上按逆时针方向匀速运动到点B停止．设点P的运动时间为x（单位：s），线段的长为y（单位：），表示y与x的函数关系的图象如图2所示，点M是图象的最高点．给出下面四个结论： ①的半径为； ②点P的运动速度为； ③当点P不与点A，B重合时，连接，则的度数为或； ④以点A，B，P为顶点的三角形的面积的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 10. 因式分解：_____． 11. 方程的解为________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 13. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度__________． 14. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，如果AD=1，那么tan∠BCD=_____． 15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 16. 某生态农场有三项任务需要完成，如下表： 任务 每轮任务耗时（小时） 需完成轮数 每轮需要工人数 A．有机肥料运输 2 3 B．智能系统调试 2 1 1 C．温室环境监测 3 2 不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题： （1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人___________（填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务； （2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为___________小时． 三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的半径． 25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 5 10 15 20 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与的关系式为____________ （3）重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 （1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； （2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 27. 已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点． （1）如图，点与点重合，点与点重合，求证：； （2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． （1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； （2）如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； （3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $