6.1 现实中的变量-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第六章 变量之间的关系情境激趣：呈现两个生活场景，场景一：汽车以60km/h的速度行驶，提问：“汽车行驶的时间越长，行驶的路程会发生什么变化？” 场景二：一杯热水放在房间里，提问：“随着时间的推移，水的温度会如何变化？” 引导学生观察，发现“时间”“路程”“温度”这些量都在发生变化，且相互之间有联系。 2. 引出课题：结合学生的观察结果，明确本节课的学习内容——变量之间的关系，告知学生本节课将重点探究什么是变量、自变量、因变量，以及如何用不同方式表示变量之间的关系，激发学生的探究兴趣，让学生体会变量关系在生活中的广泛存在。 二、探究新知（20分钟） （一）变量、自变量、因变量的概念 1. 实例探究：以“汽车行驶”为例，给出具体数据：行驶1小时，路程60km；行驶2小时，路程120km；行驶3小时，路程180km。引导学生分组讨论：“这里有哪些量在变化？哪些量是固定不变的？” 给学生3分钟时间交流讨论，梳理量的变化特点。 2. 概念讲解：结合学生的探究结果，明确相关概念：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量（如汽车行驶速度60km/h是常量）。在两个变量中，主动变化的量叫做自变量（如行驶时间），随着自变量的变化而变化的量叫做因变量（如行驶路程）。强调：自变量和因变量是相对的，需结合具体变化过程判断，补充实例（如热水降温中，时间是自变量，温度是因变量），纠正“常量与变量混淆”的易错认知。 3. 即时练习：让学生列举生活中变量之间的关系，指出其中的自变量、因变量和常量，同桌之间相互判断，教师巡视指导，强化概念记忆。 （二）用表格表示变量之间的关系 1. 情境引导：展示“某地区某天的气温变化表”，表格中包含时间（时）和气温（℃）两组数据，提问：“表格中记录了哪些变量？如何根据表格中的数据判断气温随时间的变化规律？” 引导学生发现表格能清晰呈现两个变量的对应关系。 2. 方法讲解：明确用表格表示变量关系的特点——直观、清晰，能直接找到自变量与因变量的对应值。结合气温变化表，引导学生分析：当时间（自变量）变化时，气温（因变量）如何变化，学会从表格中提取信息、分析规律，如“上午6时到14时，气温随时间增加而升高”。补充说明：表格表示时，需明确自变量和因变量的对应关系，数据要准确。 （三）用关系式表示变量之间的关系 1. 动手推导：结合“汽车行驶”实例，引导学生思考：“路程、速度、时间之间的关系是什么？” 学生回答后，推导关系式：路程s = 速度v × 时间t，其中v=60km/h（常量），t是自变量，s是因变量，即s=60t。给学生5分钟时间，尝试根据关系式计算不同时间对应的路程，小组交流计算结果。 2. 方法总结：明确用关系式表示变量关系的特点——简洁、严谨，能准确反映两个变量之间的内在联系。强调：关系式中，自变量的取值要符合实际意义（如时间不能为负数），学会根据关系式求因变量的值，或根据因变量的值求自变量的值，重点掌握关系式的书写规范和应用方法。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（7分钟）：给出题目让学生完成：① 判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量：a. 购买单价为5元的笔记本，购买的数量与总价；b. 圆柱的高固定，底面半径与体积。② 已知某商品的单价为8元，填写购买数量（1-5件）与总价的表格。③ 已知关系式y=2x+3，求x=1、2、3时对应的y值。学生独立完成，教师巡视，针对“自变量与因变量判断错误”“关系式应用不当”等易错点进行集中讲解。 2. 提升题（5分钟）：设计综合性题目，如“一个长方形的长为10cm，宽为x cm，面积为y cm²，写出y与x之间的关系式；若宽为5cm，求面积；若面积为80cm²，求宽”，培养学生的分析和计算能力，小组讨论后派代表发言，教师点评并强调关系式的应用技巧。 3. 拓展题（3分钟）：提问：“除了表格和关系式，我们还可以用什么方式表示变量之间的关系？（如折线图）” 引导学生初步思考图形表示法，展示简单的折线图（如气温变化折线图），让学生直观感受不同表示方法的特点，为后续学习铺垫。 四、课堂小结与作业布置（5分钟） 1. 小结：引导学生自主梳理本节课知识点，提问：“本节课我们学习了哪些内容？变量、自变量、因变量的定义是什么？表示变量之间关系的方法有哪些？” 学生回答后，教师总结，强调重点：区分自变量、因变量和常量，掌握表格和关系式两种表示方法，理解变量之间的相互依存关系。 2. 作业布置：布置基础作业，让学生完成教材对应练习题，巩固变量概念和两种表示方法；布置拓展作业，让学生回家观察生活中一个变量变化的场景，记录相关数据，用表格或关系式表示出变量之间的关系，将理论知识与生活实际结合。 整个教学过程注重实例分析和动手练习，结合生活场景降低变量知识的抽象性，逐步培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力，引导学生主动探究、积极思考，确保学生掌握核心知识点，达成教学目标。 6.1　现实中的变量 1．在具体情境或图表中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子． 2．会分析图表，能从图表中初步感知因变量如何随着自变量的变化而变化． 重点：理解什么是变量、自变量、因变量 难点：从图表，具体情境中获取信息，感知因变量如何随着自变量的变化而变化． 一、导入新课 知识链接 我们生活在一个变化的世界中，比如：在座的每一位同学，你的身高与小学时比较，有没有发生变化？发生了怎样的变化？ 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究点：常量和变量的判断 【情境1】汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离。 问题1 这个情境中有哪些量？ 制动初速度，制动距离。 问题2 随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗？ 会。 问题3 下表呈现了一辆汽车在某种路面情况下的部分刹车实验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗? 制动距离随制动初速度的增加而增大。 【情境2】 某海域海水的压强p(单位：Pa)与水深h(单位：m)之间的关系满足：p=9.8ρh(其中ρ为海水的密度，通常为1.03×103kg/m3)。 问题1这个情境中有哪些量？ 海水的压强p，水深h。 问题2随着水深h的变化，其他量会发生变化吗？ 海水的压强随着水深 h 的变化而变化，海水的密度不变. 【情境3】下图反映了一个蔬菜大棚某日18：00到次日18:00棚内温度和棚外温度的变化情况。 问题1 这个情境中有哪些量？ 棚内温度，棚外温度，时间。 问题2 你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗?棚外温度呢? 棚内温度随时间增加先降低，后升高，然后又降低。 棚外温度随时间增加先降低，后升高，然后又降低。 问题3 你还有哪些发现？与同伴进行交流。 由学生自由作答。 师：在一个过程中既有不变的量，也有变化的量，而在变化的量中，由于其中一个量变化，造成另外一个量变化，因此我们把这些量给予适当的名称。 师：以上面的情境为例，我们知道， 【情境1】制动距离随制动初速度的变化而变化。 【情境2】海水的压强随水深的变化而变化。 【情境3】棚内温度、棚外温度随时间的变化而变化。 追问1 变量、自变量和因变量之间有什么关系呢？ 例1 指出下列事件过程中的常量与变量 (1)某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千橘子的总价为 m 元，其中常量是 5 ，变量是 a，m ； (2)周长 C 与圆的半径 r 之间的关系式是 C＝2πr，其中常量是 2，π ， 变量是 C， r ； (3)三角形的一边长 5 cm，它的面积S (cm2)与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 S， h ； 例2 据调查，某地区青春期男、女生平均身高增长速度(厘米/年)呈现如图所示的规律，请你仔细观察函数图象，回答下列问题： (1) 图中反映的是哪两个变量之间的关系? 自变量是什么? (2) 当年龄是多少时，男生的平均身高增长速度大于女生? 解：(1)由图象可得图中反映的是年龄与平均身高增长速度这两个变量之间的关系；自变量是年龄. (2)由图象可得当年龄大于11岁时，男生的平均身高增长速度大于女生． 三、当堂检测 1．一支笔的价格为3元，买x支笔共支付y元，则3和y分别是（ B ） A．常量、常量 B．常量、变量 C．变量、常量 D．变量、变量 2．李红爸爸到加油站加油，他应付的金额随加油量的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是加油量，因变量是应付的金额． (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 自变量和因变量是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明．本节是学好本章的基础，教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知水平，使学生在原有知识的基础上迅速迁移到新知识上来． 学科网（北京）股份有限公司 $