4.1 第3课时 三角形的高、中线和角平分线-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形情境激趣：展示生活中的三角形实例图片，包括屋顶的框架、自行车的车架、三角尺、交通警示牌等，引导学生观察：“这些物体的形状有什么共同特点？” 邀请学生上台用直尺画出自己印象中的三角形，引导学生发现三角形是由三条线段组成的封闭图形。 2. 引出课题：结合学生的观察和画图结果，明确本节课的学习内容——三角形，告知学生本节课将重点探究三角形的定义、构成、分类及内角和规律，激发学生的探究兴趣，让学生体会三角形在生活中的广泛应用。 二、探究新知（20分钟） （一）三角形的定义与构成要素 1. 概念探究：结合学生画出的三角形，引导学生分组讨论：“一个三角形由哪些部分组成？什么样的图形才能叫做三角形？” 给学生3分钟时间交流讨论，梳理三角形的特点。 2. 定义与要素讲解：结合学生讨论结果，明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，记作△ABC（顶点分别为A、B、C）。强调两个关键条件：“不在同一直线上”“首尾顺次相接”，补充反例说明（三条线段在同一直线、首尾不相连均不是三角形）。同时讲解构成要素：三角形有3个顶点、3条边、3个内角，结合图形标注，让学生直观认识顶点、边、内角的概念，明确边与顶点的对应关系（如顶点A对应的边是BC）。 3. 即时练习：让学生在练习本上画一个三角形，标注出它的顶点、边和内角，同桌之间相互检查，教师巡视指导，纠正画图不规范、标注错误等问题，强化概念记忆。 （二）三角形的分类 1. 分类引导：展示不同类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形、等边三角形），提问：“这些三角形的角和边有什么不同？我们可以从哪些角度对三角形进行分类？” 引导学生从“角的大小”和“边的长短”两个角度思考。 2. 具体分类：结合图形讲解两种分类方法。按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角），强调“一个三角形中最多有一个直角或钝角”；按边分类：等腰三角形（两条边相等）、等边三角形（三条边都相等）、不等边三角形（三条边都不相等），补充说明等边三角形是特殊的等腰三角形，结合实例让学生区分不同类型的三角形。 （三）三角形内角和定理 1. 动手验证：让学生拿出准备好的三角形纸片，引导学生通过剪拼、折叠的方法，将三角形的三个内角拼在一起，观察拼成的图形是什么角（平角）。给学生5分钟时间动手操作，小组交流验证结果，教师巡视指导，纠正操作不规范的问题。 2. 定理总结与简单推理：结合学生的操作结果，总结三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。用简单推理辅助说明：将三角形的一个内角平移，与另外两个内角拼成一个平角（180°），让学生初步理解推理过程，不深入推导，重点掌握定理的应用。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（7分钟）：给出题目让学生完成：① 判断下列图形是否为三角形，并说明理由；② 给三角形分类（按角和按边）；③ 已知三角形两个内角分别为50°和60°，求第三个内角的度数。学生独立完成，教师巡视，针对“分类混淆”“内角和计算错误”等易错点进行集中讲解。 2. 提升题（5分钟）：设计综合性题目，如“一个等腰三角形，其中一个底角为40°，求顶角的度数；若一个等腰三角形的顶角为70°，求底角的度数”，培养学生的分类思考和计算能力，小组讨论后派代表发言，教师点评并强调“等腰三角形两底角相等”的性质。 3. 拓展题（3分钟）：提问：“一个三角形中，最大的角是89°，这个三角形是什么三角形？如果最大的角是90°或91°呢？” 引导学生结合分类方法和内角和定理思考，强化知识的综合运用，为后续学习铺垫。 四、课堂小结与作业布置（5分钟） 1. 小结：引导学生自主梳理本节课知识点，提问：“本节课我们学习了三角形的哪些内容？三角形的定义和构成要素是什么？有哪些分类方法？三角形内角和定理是什么？” 学生回答后，教师总结，强调重点：三角形的定义关键、分类标准，以及内角和定理的应用。 2. 作业布置：布置基础作业，让学生完成教材对应练习题，巩固三角形的分类和内角和计算；布置拓展作业，让学生回家观察生活中的三角形物体，记录其类型，测量出每个内角的度数，验证三角形内角和定理，将理论知识与生活实际结合。 整个教学过程注重动手操作和小组互动，结合生活实例降低三角形知识的抽象性，逐步培养学生的观察能力、动手能力和推理能力，引导学生主动探究、积极思考，确保学生掌握核心知识点，达成教学目标。 4.1　认识三角形 第3课时　三角形的高、中线和角平分线 1．认识三角形的高、中线、角平分线，会画任意三角形的高、中线、角平分线． 2．了解三角形的高、中线和角平分线都分别交于一点的性质． 3．通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展他们的空间观念． 重点：三角形的高、中线和角平分线的定义与性质． 难点：钝角三角形的高的画法． 一、导入新课 知识链接 体育课上同学们进行了跳远训练，你知道如何测出他们的跳远成绩吗？过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？ 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：三角形的高 活动1：每人准备一个锐角三角形纸片． (1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？ (2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流． 要点归纳： 1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高． 2．一个三角形有三个顶点，所以有三条高． 3．锐角三角形的三条高交于同一点，并且这个点在三角形内部．　 议一议：在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形． (1)画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？ (2)你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？ (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流． 要点归纳：三角形的三条高所在的直线交于一点．　 探究二：三角形的中线 复习线段的中点定义和确定线段中点的方法，类比得出三角形中线的定义和三角形中线的作法． 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线． 如图，AE是△ABC的BC边上的中线． 活动2： (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线．你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系？ 三角形有三条中线，并且它们相交于一点． (2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流． (3)如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ 要点归纳：1.三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 2．三角形的中线能将三角形的面积平分． 探究三：三角形的角平分线 活动3：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个． (1)你能用折纸的办法折出三角形的三条角平分线吗？ (2)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？ 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线． 要点归纳：三角形角平分线的特征： 三角形的三条角平分线交于同一点．　 如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则AB＝7cm. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°. 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°. 三、当堂检测 1．如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AB＝7，BC＝8，AD＝6.则CE的长为 . 第1题图 第2题图 2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，AC＝10 cm，则AE＝5cm.若∠ABD＝30°，则∠ABC＝60°. (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 本节课由实际问题“测量跳远成绩”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固. 学科网（北京）股份有限公司 $