2.2 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章　相交线与平行线 2.2　探索直线平行的条件相交线与平行线教案（教学过程） 本节课时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生掌握相交线的邻补角、对顶角性质，理解平行线的定义及判定方法，能初步运用性质和判定解决简单几何问题，培养学生的观察、探究和推理能力。教学过程如下： 一、导入新课（5分钟） 1. 情境引入：展示生活中的实例图片，包括教室的墙角、课桌的边缘、公路的交叉路口、铁轨等，引导学生观察图片中的直线位置关系，提问：“这些直线有的交叉在一起，有的始终保持一定距离，它们分别是什么位置关系？” 引导学生说出“相交”和“平行”两种情况。 2. 引出课题：结合学生的回答，明确本节课的学习内容——相交线与平行线，告知学生本节课将重点探究相交线的相关性质和平行线的判定方法，激发学生的探究兴趣。 二、探究新知（20分钟） （一）相交线的性质探究 1. 动手操作：让学生在练习本上画两条相交的直线AB和CD，交点为O，引导学生观察形成的四个角，提问：“这四个角之间有什么关系？可以分成几类？” 给学生2分钟时间自主观察、小组讨论。 2. 概念讲解：结合学生的讨论结果，明确邻补角和对顶角的定义。邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角（如∠AOC和∠BOC）；对顶角：两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角（如∠AOC和∠BOD）。强调邻补角不仅有公共边，还需互补，对顶角必须满足两边互为反向延长线。 3. 性质验证：引导学生用量角器测量四个角的度数，记录数据后提问：“对顶角的度数有什么关系？邻补角的度数和是多少？” 学生通过测量发现，对顶角相等，邻补角之和为180°。教师再通过几何推理简单验证：因为∠AOC + ∠BOC = 180°，∠BOD + ∠BOC = 180°，所以∠AOC = ∠BOD，即对顶角相等，强化学生的推理意识。 （二）平行线的定义与判定探究 1. 定义讲解：展示铁轨、黑板上下边缘的图片，引导学生观察：“这些直线没有交点，它们的位置关系有什么特点？” 结合学生回答，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，强调“同一平面内”是前提（可举例说明异面直线，如教室天花板的直线和地面的直线，虽不相交但不平行）。 2. 判定方法探究：教师在黑板上画一条直线l，再用直尺和三角板画一条直线a，使a与l平行，演示画图过程（一落、二靠、三推、四画），引导学生观察：“画平行线时，三角板的角起到了什么作用？” 引出同位角的概念，即两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的角叫做同位角。 3. 核心判定：通过演示，告知学生：同位角相等，两直线平行。结合画图过程，让学生理解“同位角相等”是判定两直线平行的关键，再让学生尝试用三角板画一条与a平行的直线b，巩固画图方法和判定思路。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（7分钟）：给出相交线图形，让学生识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数（如已知∠AOC = 60°，求∠BOD、∠BOC的度数），巩固邻补角和对顶角的性质；给出两条直线被第三条直线所截的图形，让学生识别同位角，判断两直线是否平行，落实平行线的判定方法。学生独立完成，教师巡视指导，针对易错点（如混淆邻补角和对顶角、忽略“同一平面内”）进行讲解。 2. 提升题（5分钟）：设计综合性题目，如“已知直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD = 70°，求∠BOE的度数”“已知∠1和∠2是同位角，∠1 = 55°，∠2 = 55°，判断直线a和b是否平行，并说明理由”，培养学生的推理和计算能力，小组讨论后派代表发言，教师点评。 3. 拓展题（3分钟）：提问：“除了同位角，两条直线被第三条直线所截，还会形成内错角、同旁内角，它们与两直线平行有什么关系？” 引导学生初步思考，为后续学习铺垫，激发学生的后续探究欲望。 四、课堂小结与作业布置（5分钟） 1. 小结：引导学生自主梳理本节课的知识点，提问：“本节课我们学习了哪些内容？邻补角、对顶角有什么性质？平行线的定义和判定方法是什么？” 学生回答后，教师总结，强调重点：对顶角相等、邻补角互补，同位角相等可判定两直线平行，牢记平行线定义中的“同一平面内”。 2. 作业布置：布置基础作业，让学生完成教材对应练习题，巩固本节课知识点；布置拓展作业，让学生观察生活中更多相交线和平行线的实例，记录下来并简要说明它们的特点，将数学知识与生活实际结合起来。 整个教学过程注重学生的自主探究和动手操作，结合生活实例，降低几何知识的抽象性，逐步培养学生的观察能力、推理能力和应用意识，确保学生掌握核心知识点，达成教学目标。 第2课时　利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 1．掌握内错角、同旁内角的位置关系． 2．掌握利用内错角、同旁内角判定两条直线平行的判定方法． 3．能够灵活运用两直线平行的判定方法判定平行，逐步养成用数学语言表达交流的习惯，欣赏数学语言的简洁明了． 重点：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行． 难点：正确辨别内错角，同旁内角． 一、导入新课 知识链接 1. 两直线平行的判定是什么? 同位角相等，两直线平行. 2.平行线有哪些性质? 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 推论：平行于同一条直线的两条直线平行(即平行线具有传递性) 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究 如下图，直线 AB、CD 被直线 l 所截得到 ∠1，∠2 和 ∠3 三个角. [知识要点] 具有∠1与∠3 这样位置关系的角称为内错角； 具有∠1与∠2 这样位置关系的角称为同旁内角. 问题1 观察上图，你能试着归纳一下内错角的特征吗? 位置特征：① 在两条被截直线之间； ② 在截线的两侧，位置是交错的两个角. 图形形状：内错角是“Z”形状 问题2 同理，你能得出同旁内角有哪些特征? 位置特征：① 在两条被截直线之间； ② 在截线的同侧. 图形形状：同旁内角是“U”形状. [知识要点] 直线 AB、CD 被第三条直线 l 所截得到的图形，一般被简称为“三线八角”. 问题：你能在图中找出几组内错角和同旁内角? 内错角：∠3 和 ∠5；∠4 和 ∠6 . 同旁内角：∠4 和 ∠5；∠3 和 ∠6 . [归纳总结] [动手实践] 自己动手画一画几组内错角和同旁内角. 图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角. 图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角.　 [典例精析] 例1 如图，直线DE截AB，AC，构成8个角，指出其中所有的同位角、内错角、同旁内角． 解：同位角：∠1和∠8，∠2和∠5，∠3和∠6，∠4和7； 内错角：∠1和∠6，∠4和∠5； 同旁内角：∠1和∠5，∠4和∠6. 探究二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 【思考·交流】 (1) 内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 解：因为∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）， 所以∠3=∠2（等量代换）。 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。 (2) 同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 已知：∠1＋∠2＝180°，求证：a∥b 解：因为∠1+∠2=180°（已知）， ∠1+∠3=180°（平角的定义）， 所以∠2=∠3（同角的补角相等）。 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。 要点归纳： 判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简述为：内错角相等，两直线平行． 判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简述为：同旁内角互补，两直线平行．　 [典例精析] 例2 如图，BE是AB的延长线． (1)由∠CBE＝∠A可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ (2)添加一个条件使AE∥CD. (3)由∠D＋∠A＝180°可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ 解：(1) AD∥BC.根据同位角相等，两直线平行． (2) ∠CBE＝∠C(答案不唯一). (3) AE∥CD. 根据同旁内角互补，两直线平行． [归纳总结] 判定两条直线平行的方法 探究三：画一条直线与已知直线平行 【观察·交流】 (1) 如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由． (2) 以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？ (3) 再找到另一组平行线，说说你的理由. BA 与 CE 是平行的，因为∠ACE 与 ∠BAC 是内错角，而且又相等. (内错角相等，两直线平行) 【思考·交流】 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢?与同伴进行交流. 这条截线的作用是构造出同位角、内错角、同旁内角，从而将两直线的位置关系转化为角之间的数量关系. [尝试·思考] 如图，某公园现有两条直道 AB 和 CD 交于点 O，为方便游客观赏，公园管理部门决定经过小路 CD 上的点 P，再修建一条直道 MN，并且使 MN 与 AB 平行.你能在图中画出直道 MN 吗? (1) 过点 P 的直线有多少条? (2) 满足什么条件的直线才能与 AB 平行? 答：(1)无数条 (2)∠DPN = ∠DOB（答案不唯一） [画一画] 如图，已知点 P 在直线 AB 外，用尺规作直线 MN，使 MN 经过点 P，且 MN//AB. 画一画，并且尝试总结画法！ 作法： (1) 在直线 AB 上任取一点O，过点 O， P 作直线 CD. (2) 以点 P 为顶点，以 PD 为一边， 在直线 CD 的右侧作∠DPN =∠DOB. 即 PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线. 提问: 你能说说这样作的道理吗？ 因为∠DPN与∠DOB是同位角，而且相等，所以MN与AB平行。 三、当堂检测 1．如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的内错角是( A ) A.∠3 B．∠4 C．∠5 D．∠6 2．在下列图形中，∠1与∠2不是同旁内角的是( D ) (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平行线的性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础，在整个初中几何中占有非常重要的位置，是本章的重难点之一，更在整个初中教学中占有举足轻重的地位．学生已经学了平行线的定义、平行线的基本事实，具备了探究直线平行的条件的基础，但学生在文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡． 学科网（北京）股份有限公司 $