1.3 第4课时 完全平方公式的运用-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册.docx

第一章　整式的乘除一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知：教师提问，引导学生回忆相关概念和运算，“什么是整式？单项式和多项式的区别是什么？”“我们之前学过的乘方的意义是什么？比如$$2^3$$表示什么？” 邀请2-3名学生发言，纠正模糊认知，明确整式分为单项式和多项式，乘方是几个相同因数的积，如$$2^3 = 2×2×2$$。 2. 情境激趣：呈现问题“一种电子计算机每秒可进行$$10^8$$次运算，它工作$$10^3$$秒可进行多少次运算？” 引导学生列出算式$$10^8 × 10^3$$，提问“这个算式是两个同底数幂相乘，该如何计算？” 引发学生思考，自然引入本节课主题——整式的乘除（第一课时：同底数幂的乘法及相关幂的运算）。 二、新知讲授（20分钟） （一）同底数幂的乘法 1. 探究法则：教师引导学生结合乘方意义，计算以下算式：①$$2^3 × 2^2$$ ②$$10^8 × 10^3$$ ③$$a^3 × a^2$$。让学生分组讨论，分享计算过程，教师巡视指导。 2. 总结法则：结合学生的计算结果，引导学生发现规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为$$a^m × a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数），强调前提是“同底数幂”，底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。 3. 例题讲解：讲解例1，计算：①$$x^5 × x^2$$ ②$$y × y^3 × y^5$$ ③$$(-2)^3 × (-2)^2$$。每道题先让学生尝试计算，教师再板书规范步骤，强调符号的处理，如负数的乘方，底数带符号时需整体计算，$$(-2)^3 × (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32$$。 （二）幂的乘方 1. 概念引入：提问“$$(a^3)^2$$表示什么意思？” 引导学生明确，幂的乘方是指几个相同幂相乘，即$$(a^3)^2 = a^3 × a^3$$，结合同底数幂乘法法则计算出结果为$$a^6$$。 2. 探究法则：让学生自主计算$$(a^2)^3$$、$$(10^4)^2$$，分组讨论规律，教师引导总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数），对比同底数幂乘法法则，强调“指数相加”与“指数相乘”的区别。 3. 即时练习：让学生快速计算$$(x^4)^3$$、$$(y^2)^5$$，指名回答，纠正易错点，如混淆两个法则，避免出现$$(x^4)^3 = x^7$$的错误。 （三）积的乘方 1. 探究法则：呈现算式$$(ab)^2$$，引导学生拆分计算，$$(ab)^2 = ab × ab = (a×a) × (b×b) = a^2b^2$$，再让学生计算$$(ab)^3$$，总结规律：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数），可推广到多个因式，如$$(abc)^n = a^n b^n c^n$$。 2. 例题讲解：讲解例2，计算：①$$(2x)^3$$ ②$$(-3y^2)^2$$，强调每一个因式都要乘方，注意符号，如$$(-3y^2)^2 = (-3)^2 × (y^2)^2 = 9y^4$$，避免漏乘因式或符号错误。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：设计5道基础计算题，涵盖三个法则，让学生独立完成，教师巡视，收集易错题型，重点讲解：①$$a^4 × a^5$$ ②$$(x^3)^4$$ ③$$(-2a)^3$$ ④$$y^2 × y^3 × y$$ ⑤$$(3xy)^2$$。完成后，指名学生板书答案，集体订正，强调规范步骤。 2. 提高题（小组讨论）：设计2道综合性题目，培养学生灵活运用法则的能力：①$$(a^2)^3 × a^4$$ ②$$(-2x^2y)^3$$，让学生分组讨论解题思路，每组派代表分享，教师补充讲解，引导学生明确运算顺序，先算乘方，再算同底数幂乘法。 3. 纠错练习：呈现学生易错题，如$$a^3 + a^3 = a^6$$、$$(a^2)^3 = a^5$$、$$(ab)^3 = ab^3$$，让学生找出错误原因，改正错误，加深对法则的理解，避免再犯同类错误。 四、课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课重点内容，提问“本节课我们学习了哪些幂的运算？它们的法则分别是什么？”“同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方有什么区别？” 邀请学生自主总结，教师补充完善，强调三个法则的核心的是“底数不变”，关键是区分指数的运算（相加、相乘），以及积的乘方要“每一个因式都乘方”。 同时，提醒学生在运算中注意符号处理和运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项（本节课暂不涉及同类项合并，为后续学习铺垫）。 五、布置作业（2分钟） 布置分层作业，兼顾不同学生的学习需求：1. 基础作业：教材对应习题，巩固三个法则的基础运算；2. 提高作业：补充2道综合性计算题，如$$(a^m)^n × a^{m+n}$$、$$(-3a^2b)^2 × (-2ab)$$；3. 拓展作业：思考“同底数幂的除法该如何计算？”，为下一节课学习做铺垫。 最后，强调作业书写规范，步骤清晰，及时订正错误，有疑问及时向老师或同学请教。 1.3　乘法公式 第4课时　完全平方公式的运用 　　 1.进一步掌握完全平方公式； 2.灵活运用完全平方公式进行计算．(重点，难点) 一、导入新课 知识链接 1.完全平方公式： 2. 想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗? 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：完全平方公式的几何验证 思考：怎样计算1022，1972更简便呢？ 分组讨论，试试哪一组算的又快又好． 提示：把1022，1972改写成（a+b）2或（a-b）2的形式，能否达到目的呢？试试看。 解：(1) 原式 = (100 + 2)2= 1002－2×100×2 + 22= 10 000 + 400 + 4= 10 404. (2) 原式 = (200－3)2= 2002－2×200×3 + 32= 40 000－1200 + 9= 38 809. 教师总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式。 例1 运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)； (2)(a＋b＋c)2. (1) 原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9. 学生独立完成例题(2)的计算． 原式＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝(a＋b)2＋2(a＋b)·c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 方法总结： 1.用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2.要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 例2 计算： (1) (x + 3)2 – x2； 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2= 6x + 9； 追问：还有其他的方法吗？ 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)= (2x + 3)×3 = 6x + 9； (2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )； 解：(2) 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]= (a + b)2 - 32= a2 + 2ab + b2 - 9； (3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3). 解：(3) 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6)= x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6 = 15x + 19. 【练一练】已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值． 因为a＋b＝7， 所以(a＋b)2＝49. 所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29， (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 【观察·思考】 观察下图，你认为 ( m＋n)×(m＋n) 点阵中的点数与 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。 (m + n)2－m2－n2＝ m2＋2mn＋n2 所以 (m+n)×(m+n) 点阵中的点数比 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和多 2mn 。 三、当堂检测 1.已知α2＋β2＝1，(α＋β)2＝2，则αβ的值为(　A　) A. B.2 C.1 D. 2.已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为(　A　) A.13 B.7 C.5 D.11 3.计算10162－2032×1018＋10182等于[提示：完全平方公式的逆用](　B　) A.2 B.4 C.6 D.8 4.运用完全平方公式计算： (1)10.12＝(　10　＋　0.1　)2＝　102.01　； (2)1982＝(　200　－　2　)2＝　39204　. (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 在上节课已经推导出了完全平方公式，并了解了公式的几何背景，本节课主要是进一步理解完全平方公式，能够运用公式进行简便计算和综合运算。乘法公式的推导是初中数学运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，也具有培养学生逐渐养成严密逻辑推理能力的作用，课上主要采用引导探索法教学，倡导学生自主学习、探究学习、合作交流学习，鼓励学生用所学的知识解决问题，体现学以致用的观念。 学科网（北京）股份有限公司 $