1.2 第2课时 多项式的乘法-教案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章　整式的乘除一、复习导入（5分钟） 1. 回顾旧知：教师提问，引导学生回忆相关概念和运算，“什么是整式？单项式和多项式的区别是什么？”“我们之前学过的乘方的意义是什么？比如$$2^3$$表示什么？” 邀请2-3名学生发言，纠正模糊认知，明确整式分为单项式和多项式，乘方是几个相同因数的积，如$$2^3 = 2×2×2$$。 2. 情境激趣：呈现问题“一种电子计算机每秒可进行$$10^8$$次运算，它工作$$10^3$$秒可进行多少次运算？” 引导学生列出算式$$10^8 × 10^3$$，提问“这个算式是两个同底数幂相乘，该如何计算？” 引发学生思考，自然引入本节课主题——整式的乘除（第一课时：同底数幂的乘法及相关幂的运算）。 二、新知讲授（20分钟） （一）同底数幂的乘法 1. 探究法则：教师引导学生结合乘方意义，计算以下算式：①$$2^3 × 2^2$$ ②$$10^8 × 10^3$$ ③$$a^3 × a^2$$。让学生分组讨论，分享计算过程，教师巡视指导。 2. 总结法则：结合学生的计算结果，引导学生发现规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为$$a^m × a^n = a^{m+n}$$（m、n为正整数），强调前提是“同底数幂”，底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。 3. 例题讲解：讲解例1，计算：①$$x^5 × x^2$$ ②$$y × y^3 × y^5$$ ③$$(-2)^3 × (-2)^2$$。每道题先让学生尝试计算，教师再板书规范步骤，强调符号的处理，如负数的乘方，底数带符号时需整体计算，$$(-2)^3 × (-2)^2 = (-2)^{3+2} = (-2)^5 = -32$$。 （二）幂的乘方 1. 概念引入：提问“$$(a^3)^2$$表示什么意思？” 引导学生明确，幂的乘方是指几个相同幂相乘，即$$(a^3)^2 = a^3 × a^3$$，结合同底数幂乘法法则计算出结果为$$a^6$$。 2. 探究法则：让学生自主计算$$(a^2)^3$$、$$(10^4)^2$$，分组讨论规律，教师引导总结：幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示为$$(a^m)^n = a^{mn}$$（m、n为正整数），对比同底数幂乘法法则，强调“指数相加”与“指数相乘”的区别。 3. 即时练习：让学生快速计算$$(x^4)^3$$、$$(y^2)^5$$，指名回答，纠正易错点，如混淆两个法则，避免出现$$(x^4)^3 = x^7$$的错误。 （三）积的乘方 1. 探究法则：呈现算式$$(ab)^2$$，引导学生拆分计算，$$(ab)^2 = ab × ab = (a×a) × (b×b) = a^2b^2$$，再让学生计算$$(ab)^3$$，总结规律：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为$$(ab)^n = a^n b^n$$（n为正整数），可推广到多个因式，如$$(abc)^n = a^n b^n c^n$$。 2. 例题讲解：讲解例2，计算：①$$(2x)^3$$ ②$$(-3y^2)^2$$，强调每一个因式都要乘方，注意符号，如$$(-3y^2)^2 = (-3)^2 × (y^2)^2 = 9y^4$$，避免漏乘因式或符号错误。 三、巩固练习（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：设计5道基础计算题，涵盖三个法则，让学生独立完成，教师巡视，收集易错题型，重点讲解：①$$a^4 × a^5$$ ②$$(x^3)^4$$ ③$$(-2a)^3$$ ④$$y^2 × y^3 × y$$ ⑤$$(3xy)^2$$。完成后，指名学生板书答案，集体订正，强调规范步骤。 2. 提高题（小组讨论）：设计2道综合性题目，培养学生灵活运用法则的能力：①$$(a^2)^3 × a^4$$ ②$$(-2x^2y)^3$$，让学生分组讨论解题思路，每组派代表分享，教师补充讲解，引导学生明确运算顺序，先算乘方，再算同底数幂乘法。 3. 纠错练习：呈现学生易错题，如$$a^3 + a^3 = a^6$$、$$(a^2)^3 = a^5$$、$$(ab)^3 = ab^3$$，让学生找出错误原因，改正错误，加深对法则的理解，避免再犯同类错误。 四、课堂小结（3分钟） 教师引导学生回顾本节课重点内容，提问“本节课我们学习了哪些幂的运算？它们的法则分别是什么？”“同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方有什么区别？” 邀请学生自主总结，教师补充完善，强调三个法则的核心的是“底数不变”，关键是区分指数的运算（相加、相乘），以及积的乘方要“每一个因式都乘方”。 同时，提醒学生在运算中注意符号处理和运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项（本节课暂不涉及同类项合并，为后续学习铺垫）。 五、布置作业（2分钟） 布置分层作业，兼顾不同学生的学习需求：1. 基础作业：教材对应习题，巩固三个法则的基础运算；2. 提高作业：补充2道综合性计算题，如$$(a^m)^n × a^{m+n}$$、$$(-3a^2b)^2 × (-2ab)$$；3. 拓展作业：思考“同底数幂的除法该如何计算？”，为下一节课学习做铺垫。 最后，强调作业书写规范，步骤清晰，及时订正错误，有疑问及时向老师或同学请教。 1.2　整式的乘法 第2课时　多项式的乘法 1．经历探索整式乘法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，以及乘法分配律在整式乘法运算中的作用； 2．能借助图形解释整式乘法的法则，发展几何直观； 3．能进行简单的整式乘法运算，发展运算能力． 重点：理解单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则． 难点：能够熟练运用单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则进行计算并解决实际问题． 一、导入新课 知识链接 1．单项式乘单项式的乘法法则是什么？ 2．计算： (1)－5xy2·xy；　　(2)5x3y·(－3xy)2. (1)原式＝[(－5)×]·x2y3＝－x2y3. (2)原式＝5x3y·9x2y2＝45x5y3. 新知导入 我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算(－12)×(－－)，那么怎样计算2x·(3x2－2x＋1)呢？(2x＋1)(3x2－2x＋1)呢？ 二、合作探究 探究一：单项式乘多项式 (1)如图，在计算操场面积的问题中，如何计算 A 和 B 组成的长方形区域的面积？你是怎样计算的？ 提示：可以直接计算大长方形的面积，也可以先分别计算 A，B 长方形区域的面积，然后相加. A操场面积：， B操场面积：， 两个操场面积之和：。 整个操场面积   长：，宽： 故大操场面积：。 两种方法表示的都是同一个操场的面积，由此可得： 【操作与交流】 (1) 你能计算ab·(abc＋2x)，c2(m＋n－p)，(x2y＋xy2)·(－xy)吗？ ab·(abc＋2x)＝ab·abc＋ab·2x＝a2b2c＋2abx； c2(m＋n－p)＝c2·m＋c2·n＋c2·(－p)＝c2m＋c2n－c2p； (x2y＋xy2)·(－xy)＝x2y·(－xy)＋xy2·(－xy)＝－x3y2－x2y3。 (2) 一般地，如何进行单项式乘多项式的运算 ? 与同伴进行交流。 【知识要点】 单项式乘多项式的法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加. 注意：(1) 依据是乘法分配律； (2) 结果的项数与原多项式的项数相同. 例1　计算： (1)2ab(5ab2＋3a2b)；　　　　　　(2)(ab2 －2ab)·ab； (3)5m2n(2n＋3m－n2); (4)2(x＋y2z＋xy2z3)·xyz。 解：(1)原式＝2ab·5ab2＋2ab·3a2b＝10a2b3＋6a3b2； (2)原式＝ab2·ab＋(－2ab)·ab＝a2b3－a2b2； (3)原式＝5m2n·2n＋5m2n·3m＋5m2n·(－n2) ＝10m2n2＋15m3n－5m2n3； (4)原式＝(2x＋2y2z＋2xy2z3)·xyz ＝2x·xyz＋2y2z·xyz＋2xy2z3·xyz ＝2x2yz＋2xy3z2＋2x2y3z4。 探究二：多项式乘多项式 问题：如图①是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形(图②)的面积怎样用不同形式表示？ 方法一：用不同的形式表示所拼图的面积： ①(m＋a)(n＋b)；②n(m＋a)＋b(m＋a)；③m(n＋b)＋a(n＋b)；④mn＋mb＋an＋ab. 于是得到(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)＝m(n＋b)＋a(n＋b)＝mn＋mb＋an＋ab. 方法二：把(m＋a)和(n＋b)看成一个整体，利用乘法分配律： (m＋a)(n＋b)＝(m＋a)n＋(m＋a)b＝mn＋mb＋na＋ab. 或(m＋a)(n＋b)＝m(n＋b)＋a(n＋b)＝mn＋mb＋na＋ab. 议一议： 你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？小组讨论得出结果． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加． 追问：以(a＋b)(m＋n)为例，能否用字母呈现出多项式与多项式相乘的法则？ 要点归纳： 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．　 例3计算：(1)(1－x)(0.6－x)；(2)(2x＋y)(x－y)；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2). (1)原式＝0.6－x－x(0.6－x) ＝0.6－x－0.6x＋x2 ＝x2－1.6x＋0.6. (2)原式＝2x(x－y)＋y(x－y) ＝2x2－2xy＋xy－y2 ＝2x2－xy－y2. (3)原式＝x(x2－xy＋y2)＋y(x2－xy＋y2) ＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3 ＝x3＋y3. 易错归纳： (1) 漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式(是同类项的要合并). 【观察·思考】 (1) 如图，一幅边长为 a m 的正方形风景画，左右各留有 x m 的长方形空白区域做装饰，中间画面的面积是多少平方米? 解：中间画面的面积为：. (2) 如图，一幅长为 a m、宽为 b m 的长方形风景画，画面的四周留有空白区域做装饰，其中四角均是边长为 x m 的正方形，正中间画面的面积是多少平方米? 解：中间画面的面积为： (a－2x)(b－2x) =ab－2ax－2bx+4x2. 思考：本节课情境导入的问题你会了吗？(再次出示课件，解决问题，首尾呼应) 三、当堂检测 1．计算a(a－b)的结果为（ C ） A．－a2－ab B．－a2＋ab C．a2－ab D．a2＋ab 2．计算(x－5y)(x＋4y)的结果是（C） A．x2－20y2 B．x2－9xy－20y2 C．x2－xy－20y2 D．x2＋xy－20y2 3．计算： (1)(2a－b)·(－2ab)＝－4a2b＋2ab2； (2)－ab(－a2＋5a－3)＝a3b－5a2b＋3ab． 4．如果(2x－3)(5－2x)＝ax2＋bx＋c，那么a＝－4，b＝16，c＝－15． (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 整式的乘除这一板块的知识前后衔接紧密、环环相扣，在新课学习多项式乘法的法则的推导过程中，采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题(转化思想).当他们遇到新问题时，可以效仿之前用到的数学思想方法来解决，从而真正掌握数学学习方法，提高数学学习能力． 学科网（北京）股份有限公司 $