精品解析：湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题

颐华学校2025级高一下学期入学监测考试试卷 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） （P2T4） 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集. 【详解】由函数定义域可得：， 由值域可得，故. 故选：D （P5T3） 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式，得或，依题意可得集合是集合或的真子集，即可求出参数的取值范围. 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得或，即不等式的解集为或. 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合或的真子集，所以. 故选：C. （P11T3） 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知表达式，采用换元法用替换，构造方程 ， 与联立消即可求解． 【详解】因为①， 所以用替换，得 ② 由得 故选B 【点睛】本题考查方程组法求函数解析式，属于基础题． （P16T2） 4. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域可排除C、D；根据复合函数的单调性判断当时函数的单调性可排除B. 【详解】因为，所以，， 即函数的定义域为，故C、D错误； 当时，单调递减，且在单调递增， 根据复合函数的单调性知在单调递减，故B错误. 故选：A. （P22T4） 5. 已知是定义在上奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得得到是上的增函数，再将转化为求解. 【详解】因为是上的奇函数，且在上为增函数， 所以是上的增函数， 由，得， 得，即． 故选：B． （P27T4） 6. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求得P点坐标，根据三角函数定义，即可求得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C （P34T3） 7. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. （P19T5） 8. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用得出，再利用偶函数的定义检验即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即，解得， 所以， 又， 且的定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，满足题意，所以. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （P17T8） 9. 已知函数，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意得关系后对选项逐一判断 【详解】由题意得，且，则， 故，故A错误， 对于B，，而，故，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D正确， 故选：CD （P30T8） 10. 已知函数，则（ ） A. 若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3 B. 若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为 C. 若将的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1 D. 若函数在上单调递增，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的对称轴代入得出判断A，由根的个数可确定，据此判断B，平移后由函数为奇函数可得，可判断C，特殊值检验可判断D. 【详解】对于A，因为函数图像关于直线对称， 所以，则， 因为，则的值不可能为3，故A错误； 对于B，当时，， 若在上恰有四个实根， 则，解得，故B正确； 对于C，由已知得， 因为函数关于原点对称，则为奇函数， 所以，即， 因为，所以的最小值是1，故C正确； 对于D，当时，，因为， 所以，所以函数在区间上不单调，故D错误． 故选：BC． （P27T8） 11. 已知且，下列说法不正确有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、的值，进而分析判断. 【详解】因为，解得或， 又，则，可得. 所以，，，， 故AD正确，BC错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） （P35T9） 12. 已知为奇函数，其中，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，又即可求解. 【详解】易知函数为奇函数，所以，， 当时，， 故答案为：. （P30T9） 13. 如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意得到,所以周期,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN的高为2， ∵△MPN为直角三角形，∴根据对称性知△MPN为等腰直角三角形，即MN＝4， 即三角函数的周期T＝8，由T8，得ω， 故答案为:. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到,是答题的关键,属于基础题. （P23T13） 14. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据有两正根，把问题转化为在上只有1个零点问题，然后分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】当时，令，得， 因为函数与函数的图象在上有2个公共点， 所以在上有2个零点，所以在上只有1个零点. 当时，在上有唯一零点，符合题意； 当时，的图象的对称轴为， 在轴右侧，开口向下，且0， 则在上有唯一零点，符合题意； 当时，的图象的对称轴为， 在轴左侧，开口向上，，则，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） （P17T11） 15. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解. （2）根据对数的运算法则及性质，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【小问1详解】 解：由指数幂的运算性质，可得： . 【小问2详解】 解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得： ． （P6T11） 16. 已知函数 （Ⅰ）解关于的不等式； （Ⅱ）关于x的不等式对于恒成立，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）答案不唯一，见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由，按正、负、零、以及有两个零点时零点的大小，分类讨论，即可求出结论； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的讨论，即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）由, 当时，不等式化为， 当时，不等式化为， 当时，不等式为， 不等式的解为， 当时，不等式为， 若，不等式的解为或， 若，不等式解为 若，不等式的解为或， 综上，当时不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，要使对于恒成立，则， 所以a的取值范围. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题. （P33T12） 17 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角的正弦和余弦公式化简，结合辅助角公式可得，即可求解； （2）由（1）得，结合正弦函数的性质可得，则在上恒成立，即可求解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由（1）知， 由，得， 又函数在上单调递增，所以，即. 因为，恒成立，所以在上恒成立，则， 即实数m的取值范围为. （P18T12） 18. 设函数且是定义域为的奇函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，，求在区间上的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的定义以及单调性解决不等式；（2）利用换元法构造一元二次函数，结合定义域和单调性研究函数的最值. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数，所以，即，解得. 因为，所以.又且，解得，， 所以在上为增函数. 由不等式得到， 因为是定义域为的奇函数，所以，即不等式转化为, 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 因为，所以，即，解得或（舍去）， 所以. 设，因为在区间上为增函数（由（1）可知），即， 所以原函数变为，当时，，此时. 即在区间上，当时取得最小值为. （P21T13） 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【小问1详解】 ， 在上单调递增， 故，解得； 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或， 解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颐华学校2025级高一下学期入学监测考试试卷 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） （P2T4） 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C D. （P5T3） 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （P11T3） 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. （P16T2） 4. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. （P22T4） 5. 已知是定义在上奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. （P27T4） 6. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. （P34T3） 7. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 （P19T5） 8. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （P17T8） 9. 已知函数，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （P30T8） 10 已知函数，则（ ） A. 若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3 B. 若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为 C. 若将的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1 D. 若函数在上单调递增，则 （P27T8） 11. 已知且，下列说法不正确有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） （P35T9） 12. 已知为奇函数，其中，则__________. （P30T9） 13. 如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝_____． （P23T13） 14. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） （P17T11） 15. 计算 （1） （2） （P6T11） 16. 已知函数 （Ⅰ）解关于的不等式； （Ⅱ）关于x的不等式对于恒成立，求a的取值范围． （P33T12） 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若任意，恒成立，求实数的取值范围. （P18T12） 18. 设函数且是定义域为的奇函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，，求在区间上的最小值. （P21T13） 19. 已知函数区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $