精品解析：河南商丘市高级中学等校2026届高三上学期数学期末检测试卷

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 2 3. 数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 112 B. 56 C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，，则的前25项和为（ ） A. 1150 B. 575 C. 550 D. 275 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，记数列的前项之积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 曲线关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上有4个零点 11. 已知抛物线：的焦点为，点在圆：上，则（ ） A. 的焦点为 B. 圆M与的准线相交 C. 圆M上到x轴距离为3的点有4个 D. 存在与圆M和抛物线都相切的直线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则的值为__________. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 14. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求实数的值； （3）已知数列的前项和为，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合，，在数轴上合并两个集合的范围可得： 所有元素覆盖的区间是从（包含）到（不包含），即. 2. 若复数，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，， 于是. 3. 数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位的定义求解即可． 【详解】因为， 所以这组数据的75%分位数为． 故选：B． 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 112 B. 56 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二项式，得， 令，得， 于是展开式中的常数项为. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系及正切二倍角公式计算即可求解. 【详解】由，，得，， 所以. 故选：B. 6. 在等差数列中，，则的前25项和为（ ） A. 1150 B. 575 C. 550 D. 275 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由， 所以的前25项和为， 故选：B 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，并通过导数分析函数的单调性，再将转化为，进而得到求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， ，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，故在上单调递增， 又， 所以时，，即，所以在上单调递增； 所以不等式， 所以，或. 解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，记数列的前项之积为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先判断数列是周期为的数列，从而可判断AB的正误，再求得，，，可判断C选项错误，D选项正确. 【详解】，所以，， 所以数列是周期为的数列. 由题意，，，所以， ，故A选项错误； 而，故，故B选项正确； 所以，又为数列的前项之积， 所以， 所以，故C选项错误； 因为数列是周期为的数列，为数列的前项之积， 所以，故D选项正确. 故选：BD 10. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 曲线关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上有4个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据辅助角公式化简函数，根据振幅判断最值，利用代入法，结合正弦函数的图象和性质判断BCD. 【详解】， A.的最大值为，故A正确； B.，所以曲线关于对称，故B错误； C.，，正弦函数在区间单调递增，所以在上单调递增，故C正确； D.，，当时，都能使， 此时，共4个零点，故D正确. 11. 已知抛物线：的焦点为，点在圆：上，则（ ） A. 的焦点为 B. 圆M与的准线相交 C. 圆M上到x轴距离为3的点有4个 D. 存在与圆M和抛物线都相切的直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求得，求得焦点坐标判断A；求得圆心到准线的距离可判断B；求得圆心到轴的距离为，根据与的范围可判断C；假设存在直线：是圆与的公切线，可得，将代入可判断D. 【详解】由点在圆：上，得， 又，所以，的焦点为，即，故A正确； 圆的方程化为，圆的半径，圆心， 圆心到的准线的距离，圆与的准线不相交，故B错误； 圆心到轴的距离为，则，， 所以圆上到轴距离为3的点有4个，故C正确； 假设存在直线：是圆与的公切线， 由，消去得， 由直线与相切得，所以， 由圆与直线相切得，所以， 当，满足上式，直线与圆和都相切，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，，结合双曲线的定义，推出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】因，且， 可得， 在直角中，因为， 所以，， 因，由双曲线的定义，可得，即， 即，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 【答案】12 【解析】 【分析】由得到的图像的对称轴，由的图像得到此函数的对称轴，由函数与的图像有6个交点，得到3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，从而得到所求． 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点， 分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以． 故答案为：12. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理即可证明得出结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据法向量与面面角的余弦值的关系计算即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以； 又因为，平面， 所以平面， 又平面，因此, 又因为底面是平行四边形，所以可得为矩形； 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知三条线两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由，，可得， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得； 因此可得； 又， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得； 因此可得； 设平面与平面的夹角为， 所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2） 的分布列为 0 1 2 1 【解析】 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 【小问2详解】 根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为． （1）求C的方程； （2）过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点． （i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求； （ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值． 【答案】（1） （2）（i）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出椭圆标准方程即可； （2）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，设出点的坐标，写出斜率的代数式和中点坐标，求出斜率的积，再根据直线的性质，求出直线方程，证明其交点的横坐标为定值即可. 【小问1详解】 因为，所以，因为离心率为，所以，则， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 （i） 如图所示，由（1）可知，，则过不与坐标轴垂直的直线设为， 联立方程组得，消去得， 化简得，易知， 设，根据韦达定理可知， 则， 可知中点，则， 所以. （ⅱ） 如图所示，设，则直线方程为， 直线方程为， 联立方程得，消去得， 解得，因为， 代入得， 由韦达定理得，代入得， 所以直线AQ与BP的交点的横坐标为定值4. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求实数的值； （3）已知数列的前项和为，且，证明：. 【答案】（1）  （2）    （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义和点斜式方程进行求解. （2）根据已知条件确定函数的最大值点，再利用导数的性质求出的值，最后验证的值是否满足条件. （3）由已知不等式推出，将证转化为证，再用对数放缩和裂项相消法证明. 【小问1详解】 当  时，， 当时，，切点为 ， ，， 切线方程为 . 【小问2详解】 函数定义域为 ，易知 ， 因为  恒成立，故  是  的最大值点，故 ， 求导得 ，代入  得 ，即 ，  当  时，， 由常用不等式 （，等号仅在  成立）， 且 （等号仅在  成立）， 故： 满足  恒成立。 若 ，则 ， 两侧必存在区间使 ，不满足条件。 故 . 【小问3详解】 由第(2)问可知，当恒成立时， 此时对任意，恒有不等式：   当且仅当时等号成立， 对于数列通项， 令，显然， 代入上述不等式得：   又对任意，有， 因此，即：  要证，移项等价于证明：  结合，只需证明， 利用经典对数放缩：对任意，， 令得，累加得：   对右侧裂项相消求和：  因此不等式链成立：   即，整理得：，原不等式得证. 【点睛】本题利用导数的几何意义、最值、对数放缩法和裂项相消法进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $