7.2 离散型随机变量及其分布列(1)课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？ 【探究1】有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系. (3)某射击运动员在射击训练中，其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些？ 【探究2】有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. (1)随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即定义 那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系. 类似地, 这两个随机试验的样本空间各是什么? 各个样本点与变量的值是如何对应的? (1)取值依赖于样本点； (2)所有可能取值是明确的. 7.2 离散型随机变量 及其分布列(1) 随机变量的特点: (1)可以用数字表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不可能确定取何值. 3.随机变量与函数的关系 4.连续性随机变量 连续型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量. 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量. 2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)抛掷2枚骰子，所得点数之和； (2)某足球队在5次点球中射进的球数； (3)任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差． 解:(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. 2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11； 3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21； 4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31； 5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41； 6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33； 7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43； 8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44； 9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54； 10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55； 11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65； 12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66. (2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，5 0表示5次点球中射进0球；1表示5次点球中射进1球； 2表示5次点球中射进2球；3表示5次点球中射进3球； 4表示5次点球中射进4球；5表示5次点球中射进5球. (3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示. 根据分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为 类似地，事件“掷出偶数点”的概率为 (1)掷一枚骰子,用实数表示“掷出的点数为”； (2)掷两枚骰子,样本空间为,用表示“两枚骰子的点数之和”样本点就与实数对应. 实数表示 “击中环数”,共11种结果. (2)掷一枚硬币,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示； (3)随机调查学生的体育综合测试成绩,可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值；等等. 对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量的取值也具有随机性。 【探究3】考察下列随机试验及其引入的变量： 试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量表示三个元件中次品数； 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量表示需要的抛掷次数. 对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”.用用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间.各样本点与变量的值的对应关系如图所示. 对于试验2，如果用表示“正面朝上”，表示“反面朝上”，例如用表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间，包含无穷多个样本点.各样本点与变量的值的对应关系如图所示. 变量有哪些共同的特征? 上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，变量有如下的共同点： 1.随机变量 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. 试验1中随机变量的可能取值为0,1,2,3，共有4个值；试验2中随机变量的可能取值为1,2,3，…，有无限个取值但都可以一一列举出来. 2.离散型随机变量 像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如. 【练习】下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)上海国际机场候机室中2020年10月1日的旅客数量； (2)2021年某天济南至北京的次列车到北京站的时间； (3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)体积为的球的半径长． 解：(1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量． (2)次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量． (3)在2019年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数是随机变化的，也可能多，也可能少，因此是随机变量． (4)体积为的球的半径长为定值，故不是随机变量． 不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集.随机变量的取值随着试验结果的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机变量. 现实生活中，离散型随机变量的例子有很多.例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数，它的可能取值为0,1,2，…，10；某网页在24h内被浏览的次数，它的可能取值为0,1,2，…；等等. 现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如，种子含水量的测量误差；某品牌电视机的使用寿命；测量某一个零件的长度产生的测量误差.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量. 【练习】1.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 某景点一天的游客数 某寻呼台一小时内收到的呼叫数 水文站观测到的江水水位数 某收费站一天内通过的汽车数量 【例1】一个袋中装有大小相同的5个球，编号为～，从袋中任取3个球，若以表示所取球中的最大号码，写出的取值情况. 解：取3,4,5 ，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； ，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5. 根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随变量的概率问题. 例如，抛掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，则事件“掷出点”可以表示为 ，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为，事件“掷出偶数点”可以表示为等等.又掷出点数的等可能性，可得 1 2 3 4 5 6 此表称为随机变量的概率分布列.简称为的分布列. 5.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量可能取值为，……，，我们称取每一个值的概率 …， 为的概率分布列，简称分布列. 与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示. … … 如图，直观表示抛骰子试验中掷出的点数的分布列，称为的概率分布图 表示分布列的方法：解析法；表格法；图象法. 6.分布列的性质 根据概率的性质可知，离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： (1), …； (2)…. 【例2】一个袋子中装有编号为的大小相同的6个球，现从袋中任取3个球，若以表示所取球中的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率. 解：(1)依题意 ， ，， 分布列略. (2). $