精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年高三下学期开学测试数学试题

树德中学高2023级高三下期开学测试数学试题 命题人：刘大华 审题人：韦莉 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】由题意知， 令， 所以复数的共轭复数为， 故选：C 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 3. 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得：，即，解得：或 所以不等式的解集为：. 4. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 5. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由奇函数排除B选项，再由时，，可排除A选项，结合导数研究可得在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析即可求解. 【详解】由题意，关于原点对称，又为奇函数，可排除B选项； 又时，可得，可排除A选项， 当时，, 当时，，所以当时，，当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确. 6. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】令x=1得a=1.故原式=． 的通项， 由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40， 故所求的常数项为40 ， 故选D 7. 在平面直角坐标系中，已知点，分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点H，则点H的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交延长线于点,根据椭圆的定义以及外角平分线的性质可得，利用中位线定理可得，得到点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆. 【详解】根据题意可得 延长交延长线于点，因是的外角平分线且，故为等腰三角形，即，为中点， 由椭圆定义：，则， 在中，为中点，为中点，根据三角形中位线定理：， 所以点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆，则轨迹长度（圆周长）：. 8. 袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ） A. M与Q相互独立 B. N与R相互独立 C. N与Q相互独立 D. Q与R相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概率求出各事件的概率，再结合相互独立事件的意义逐项分析即可. 【详解】有放回摸出两张卡片的样本空间： ，共25个结果， 事件，共10个结果，， 事件，共5个结果，， 事件，共3个结果，， 事件，共5个结果，， 对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误； 对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确； 对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误； ，，，事件Q与R不相互独立，D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分，有三个正确选项的，每个选项2分，有选错的得0分． 9. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（ ）（参考数据：，） A. 该校学生成绩的均值为70 B. 该校学生成绩的标准差为2 C. 该校学生成绩的标准差为16 D. 该校学生成绩及格率超过95% 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意得，再结合正态分布的性质逐个分析判断即可. 【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布， 所以， 所以该校学生成绩的均值为70，标准差为4， 所以A正确，BC错误， 对于D，因为，及格线，所以及格率， 因为， 所以，所以D正确. 10. 在三棱锥中，，是边长为2的正三角形，若二面角的大小为，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取中点，利用线面垂直的判定性质推理判断A；确定二面角的平面角，结合等腰三角形性质求出判断B；求出三棱锥的体积判断C；确定球心并结合球的截面性质求出球半径判断D. 【详解】在三棱锥中，，取中点，连接， 对于A，，而平面， 则平面，又平面，因此，A正确； 对于B，是二面角的平面角，即，而， 因此，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，令正的外心分别为，则分别在线段上， 且，令三棱锥外接球球心为，连接， 由与全等，得，则平分，即， ，， 因此三棱锥外接球的表面积为，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上一点P的纵坐标为4，则点P到该抛物线焦点的距离为________． 【答案】5 【解析】 【详解】由题可得，抛物线的准线方程为：, 所以点P到该抛物线焦点的距离为 13. 牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______． 【答案】牛得亨先生的女儿 【解析】 【详解】由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞． 因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿． 故答案为牛得亨先生的女儿 14. 在锐角中，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，得到,利用化简可得，令，化简得即可求解 【详解】由，得， 因此： 根据,结合已知条件， 可得：, 因为锐角三角形，,两边同除以, 得：， 由，得：​ 将代入上式： ， 令，因为锐角，故，则，， 由基本不等式，，得， 两边平方（），， 当且仅当 （即）时取等号， ，该函数在上单调递减， 故当时， 取得最大值. 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着北京2022冬奥会的举行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取了该市120名市民进行统计，得到如下列联表： 男 女 合计 了解冰雪运动 m p 70 不了解冰雪运动 n q 50 合计 60 60 120 已知从参与调查的男性市民中随机选取1名，抽到了解冰雪运动的概率为． （1）直接写出m，n，p，q的值； （2）能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为该市居民了解冰雪运动与性别有关？请说明理由． 附：． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，， （2）该市居民了解冰雪运动与性别有关，理由见如下： 由题意知，， 所以根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为该市居民了解冰雪运动与性别有关． 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出参与调查的男性中“了解冰雪运动”的人数m,再根据表中的数据可求出； （2）根据公式计算，再根据临界值表进行判断即可． 【小问1详解】 由题知，，所以，，． 所以. 【小问2详解】 略 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，，为棱上的点，平面平面. （1）证明：； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的值后可求解； （2）首先证得，，由此可得向量与的夹角等于二面角的平面角，然后利用用空间向量夹角余弦公式可求得结果． 【详解】（1）分别以为轴建立空间直角坐标系， 则． ∵，∴，得． 设平面SBC的法向量为，， 由，令，则． 设平面EDC的一个法向量为，， 由，令，则． 由得：，即，故，即. （2）由（1）知：，，且， 设平面的一个法向量为，则，取，得， 故，二面角的平面角为钝角，故其大小为. 17. 已知和是各项均为整数的数列，若为等差数列，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，结合各项为整数，以及函数在上单调递增，求得，即可求解的通项公式； （2）由（1）可得，讨论和两种情况下所对应和，将代入即可求出为偶数时对应求出，将代入即可求出为奇数时对应的. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为d， 由，得， 化简得， 又， 因为为等差数列，故，代入得， 即① 结合各项为整数，则为满足题意的一个解， 又函数在上单调递增，所以，当且仅当，即② 联立和，解得， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得， 情形1：当， 设前项和分为奇数项和与偶数项和， 奇数项和（共项）：首项，末项，公差为4的等差数列，其和为， 偶数项和（共项）：首项，公比为16的等比数列，其和为， 将代入，化简得； 情形2：当时，设前项和，其中． 由情形1得，代入得， 将代入，化简得， 即， 综上所述（或） 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为． （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、． ①证明：直线过定点； ②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）① 证明见解析；②21或 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义可知动点轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹方程； （2）①先证明过双曲线上一点的切线方程为,设点的坐标为，切点，由切线方程结论及特征法求得直线的方程即可证明结论； ②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，将四边形的面积拆分为与的面积和即可； 情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，由，结合向量化简可得，从而得到，求出点和点到直线的距离，由四边形的面积为与的面积和：，即可求解. 【小问1详解】 根据双曲线的定义，动点满足， 因此轨迹为双曲线的右支， 由得；由焦点得， 根据双曲线的基本关系，可得， 因此，曲线的方程为； 【小问2详解】 ①先证明引理：过双曲线上一点的切线方程为． 当切线斜率存在时，设过双曲线上一点的切线方程为， 联立双曲线方程消去，得． 因为直线与双曲线相切，故，化简得切线斜率， 将代入点斜式并整理，得， 将代入得． 当切线斜率不存在时，切线为，代入上述方程得，等式成立； 综上所述，过双曲线上一点的切线方程为． 设点的坐标为，切点， 由引理，知双曲线在切点处的切线方程为， 由于点在切线、上，因此满足：， 上述两式表明，点、均在直线上，整理得直线的方程， 令，解得（与无关），故直线恒过定点． ②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，的方程为（过定点）， 将其代入双曲线方程得， 即、，中点， 由直线的方程，令得，即， 将四边形的面积拆分为与的面积和，因此，总面积为； 情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，联立双曲线方程，消去并整理，得， 设，中点， 由韦达定理得， 因此，中点的坐标为，， 由，向量，向量的方向向量为， 故，代入，并化简， 即，即， 又，代入，得，，因此，． 当时，由直线的方程与等价， 得，即，点到直线的距离为， 则，同理，点到直线的距离为，则， 四边形的面积为与的面积和：， 代入数值化简； 当时，由对称性，知面积仍为． 综上所述，四边形的面积为21或． 19. 已知函数，其中，记的导数为，且． （1）求； （2）设的最大值为； ①求； ②证明：． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的四则运算法则求解即可； （2）当，利用即可求出最大值；当时，，令，则，结合二次函数性质求解；（ⅱ）由（ⅰ）得，分，和三种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题知，，． 【小问2详解】 （ⅰ）当时， ， 因此． 当时，将变形为，令． 则，则是在上的最大值， 又，且当时，取得极小值， 极小值为． 令，解得（舍去），． 当时，在内无极值点， ，，，所以； 当时，由，知； 又，所以， 综上，． （ⅱ）由（ⅰ）得． 因为,, 所以, 当时，； 当时，，所以； 当时，，；综上所述． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2023级高三下期开学测试数学试题 命题人：刘大华 审题人：韦莉 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 5. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 7. 在平面直角坐标系中，已知点，分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点H，则点H的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ） A. M与Q相互独立 B. N与R相互独立 C. N与Q相互独立 D. Q与R相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分，有三个正确选项的，每个选项2分，有选错的得0分． 9. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（ ）（参考数据：，） A. 该校学生成绩的均值为70 B. 该校学生成绩的标准差为2 C. 该校学生成绩的标准差为16 D. 该校学生成绩及格率超过95% 10. 在三棱锥中，，是边长为2的正三角形，若二面角的大小为，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上一点P的纵坐标为4，则点P到该抛物线焦点的距离为________． 13. 牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______． 14. 在锐角中，，则的最大值为________． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着北京2022冬奥会的举行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况，随机抽取了该市120名市民进行统计，得到如下列联表： 男 女 合计 了解冰雪运动 m p 70 不了解冰雪运动 n q 50 合计 60 60 120 已知从参与调查的男性市民中随机选取1名，抽到了解冰雪运动的概率为． （1）直接写出m，n，p，q的值； （2）能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为该市居民了解冰雪运动与性别有关？请说明理由． 附：． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，，为棱上的点，平面平面. （1）证明：； （2）求二面角的大小. 17. 已知和是各项均为整数的数列，若为等差数列，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为． （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、． ①证明：直线过定点； ②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 19. 已知函数，其中，记的导数为，且． （1）求； （2）设的最大值为； ①求； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $