8.1 成对数据的统计相关性 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.1 成对数据的统计相关性 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】相关关系的判断 4 【题型2】由散点图判断相关关系 6 【题型3】正相关、负相关的判断 9 【题型4】样本相关系数的性质 11 【题型5】样本相关系数的计算 14 【题型6】样本相关系数的应用 19 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识点一　相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 知识点二　散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示成对样本数据的变化特征，我们把这样的统计图叫做散点图．例如下图． 知识点三　正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． 知识点四　线性相关与非线性相关 (1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． (2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点五　样本相关系数的概念 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和，我们称r＝为变量x和变量y的样本相关系数． 知识点六　样本相关系数的性质 (1)样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (2)样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． [注意]　当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 知识点七　样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 设“标准化”处理后的成对数据(x′1，y′1)，(x′2，y′2)，…，(x′n，y′n)的第一分量构成n维向量x′＝(x′1，x′2，…，x′n)，第二分量构成n维向量y′＝(y′1，y′2，…，y′n)，|x′|＝|y′|＝，则有r＝x′·y′＝|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中θ为向量x′和向量y′的夹角)． xix   提升方法技能 思 维 进 阶 相关关系与函数关系的区别与联系 类别 区别 联系 函数关系 函数关系中两个变量间是一种确定性关系．例如，圆的半径由1增大为2，其面积必然由π增大到4π 相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况 相关关系 相关关系是一种非确定性关系．例如，吸烟与患肺癌之间的关系，两者之间虽然没有确定的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的风险会大幅增加，即两者之间是一种非确定性的关系 xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】相关关系的判断 （2025春•裕安区校级期末）下面属于相关关系的是（　　）典例 A．气温和冷饮销量之间的关系 B．速度一定时，位移和时间的关系 C．亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系 D．正方体的体积和棱长的关系 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义逐一对四个选项进行判断． 【解答】解：对于A，气温和冷饮销量之间的关系是正相关关系，故A正确； 对于B，速度一定时，位移与时间成正比例关系，是确定关系，不是相关关系，故B错误； 对于C，亩产量为常数时，土地面积与产量成正比例关系，是确定关系，不是相关关系，故C错误； 对于D，因为正方体的体积等于棱长的立方，所以正方体的体积与棱长是确定关系，不是相关关系，故D错误． 故选：A． 方法点拨 (1)函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系． (2)判断两个变量是不是相关关系的关键是看这两个变量之间是否具有不确定性． 【变式1】（2025春•钦州校级月考）下列各关系不属于相关关系的是（　　） A．产品的样本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 【答案】B 【分析】根据相关关系的定义判断． 【解答】解：对于选项A，产品的样本与生产数量是相关关系，故A正确； 对于选项B，球的表面积与体积是一种函数关系，故B错误； 对于选项C，家庭的支出与收入是相关关系，故C正确； 对于选项D，人的年龄与体重是相关关系，故D正确． 故选：B． 【变式2】（2025春•疏附县期末）有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④角的度数与它的正弦值．其中，具有相关关系的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】根据相关关系的概念判断． 【解答】解：根据题意，①③具有相关关系，②④具有确定的关系，即函数关系． 故选：AC． 【变式3】（2025春•喀什市校级期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（　　） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 【答案】D 【分析】根据相关关系的定义判断即可． 【解答】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误； 对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误； 对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误． 对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确． 故选：D． 【题型2】由散点图判断相关关系 （2024春•巴音郭楞州期末）对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量y，z由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　）典例 A．变量x与y正相关，x与z正相关 B．变量x与y正相关，x与z负相关 C．变量x与y负相关，x与z正相关 D．变量x与y负相关，x与z负相关 【答案】D 【分析】直接由散点图可得变量x与y负相关，y与z正相关，得x与z负相关． 【解答】解：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，y与z正相关，则x与z负相关． 故选：D． 方法点拨 利用散点图判断不同变量的相关性时，其关键是正确画出散点图，然后观察分布规律：是在一条直线附近波动还是在一条曲线附近波动，还是没有任何规律，从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论． 【变式1】（2024秋•北辰区期中）在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合线性相关关系的概念逐项分析判断． 【解答】解：对于A，两个变量为函数关系，不是线性相关关系，所以A错误； 对于B，所有点不是在一条直线附近波动，不是线性相关关系，故B错误； 对于C，对于两个变量x，y，y随着x的增加而减少， 且所有点都在一条直线附近波动，所以具有线性相关关系，故C正确； 对于D，两个变量不具有相关性，故D错误． 故选：C． 【变式2】（2025春•科左中旗校级期末）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（　　） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 【答案】D 【分析】根据给定的散点图，利用正负相关的意义、相关系数的意义逐项判断． 【解答】解：对于选项A，图1中y随x增大而减小，y与x呈负相关，故A错误； 对于选项B，图2中各点较分散，y与x的相关性不强，不能肯定不相关，故B错误； 对于选项C，图3中y随x增大而增大，y与x呈正相关，相关系数大于0，故C错误； 对于选项D，图1与图2，y与x都呈负相关，所以相关系数为负， 而图1中y与x的线性相关性较强， 所以图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数，故D正确． 故选：D． 【变式3】（2025•河西区一模）对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图1；对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 【答案】C 【分析】观察图象中两个变量的总体趋势下结论． 【解答】解：由图可知， 在图1中，u变大，v也变大，则u与v正相关； 在图2中，x变大，y变小，则y与x负相关； 故选：C． 【题型3】正相关、负相关的判断 （2025春•洛阳期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，据此可以推断变量x与y之间（　　）典例 A．很可能存在负相关 B．一定存在负相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在正相关 【答案】A 【分析】根据变量间相关关系可解． 【解答】解：根据变量x与y的成对样本数据的散点图， 可以推断变量x与y之间很可能存在负相关． 故选：A． 方法点拨 两个相关变量是正相关还是负相关，主要根据变量的取值判断．若纵坐标代表的变量随着横坐标代表的变量的增大而增大，则两个相关变量呈正相关关系；若纵坐标代表的变量随着横坐标代表的变量的增大而减小，则两个相关变量呈负相关关系． 【变式1】（2024春•丰台区期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（　　） A．某商品的销售价格与销售量 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．气温与冷饮的销售量 D．人的年龄与视力 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解． 【解答】解：对于A，某商品的销售价格与销售量为相关关系，且为负相关关系，故A错误； 对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间为函数关系，故B错误； 对于C，气温与冷饮的销售量为相关关系，且为正相关关系，故C正确； 对于D，人的年龄与视力为相关关系，且为负相关关系，故D错误． 故选：C． 【变式2】（2024•葫芦岛模拟）已知变量x与y的回归直线方程为y＝3x﹣1，变量y与z负相关，则（　　） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 【答案】D 【分析】结合回归直线方程，以及变量间的相关关系，即可求解． 【解答】解：变量x与y的回归直线方程为y＝3x﹣1， 则变量x与y正相关， 变量y与z负相关， 则x与y负相关． 故选：D． 【变式3】（2023秋•北海期末）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（　　） A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量 C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合正相关关系的定义，即可求解． 【解答】解：学生的身高与学生的化学成绩没有必然联系，故A错误； 汽车行驶的里程与它的耗油量，呈正相关关系，故B正确； 人的年龄与年收入没有必然联系，故C错误； 水果的重量与它的总价，呈正相关关系，故D正确． 故选：BD． 【题型4】样本相关系数的性质 （2025春•淮安期中）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为﹣0.92，0.46，0.79，0.85，则（　　）典例 A．甲组数据变量间的线性相关程度最强 B．乙组数据变量间的线性相关程度最强 C．丙组数据变量间的线性相关程度最强 D．丁组数据变量间的线性相关程度最强 【答案】A 【分析】根据相关系数的性质求解． 【解答】解：因为相关系数r的绝对值越大，变量间的线性相关程度越强， 而|﹣0.92|＞|0.85|＞|0.79|＞|0.46|， 所以甲组数据变量间的线性相关程度最强． 故选：A． 方法点拨 当r>0时，称成对样本数据正相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大． 当r<0时，称成对样本数据负相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小． 【变式1】（2025•天津模拟）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量y和气温x之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x轴表示气温，y轴表示热奶茶销售量），由散点图可知y与x的相关关系为（　　） A．正相关，相关系数r的值为0.8 B．负相关，相关系数r的值为0.8 C．正相关，相关系数r的值为﹣0.8 D．负相关，相关系数r的值为﹣0.8 【答案】D 【分析】由散点图可知，y与x负相关，则相关系数r＜0，进而可判断D正确． 【解答】解：由散点图可知，y与x负相关， 所以相关系数r＜0，所以相关系数r＝﹣0.8． 故选：D． 【变式2】（2025春•甘肃期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1＝﹣0.95，r2＝0.88，r3＝﹣0.9，r4＝0.93，则（　　） A．这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B．这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 【答案】BC 【分析】根据相关系数的性质求解． 【解答】解：由相关系数的性质可知，相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关程度越高， 因为|﹣0.95|＞|0.93|＞|﹣0.9|＞|0.88|， 所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高． 故选：BC． 【变式3】（2024春•玉林期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1＝﹣0.96，r2＝0.67，r3＝0.92，r4＝0.89，则这四人中，　甲　 研究的两个随机变量的线性相关程度最高． 【答案】甲． 【分析】根据相关系数的性质求解． 【解答】解：由相关系数的性质可知，r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关程度越高， 因为|r1|＝0.96＞|r3|＞|r4|＞|r2|， 所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高． 故答案为：甲． 【题型5】样本相关系数的计算 （2025秋•郫都区月考）2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛．联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛（每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次）．已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立．典例 （1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用AI模拟了该球队在5种不同观众人数（单位：千人）下的比赛表现（每场均模拟完整的小组赛）．模拟数据如下： 场均观众人数x（千人） 8 12 6 15 9 小组赛积分y 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数x（千人）与小组赛积分y的样本相关系数r（精确到0.01），并说明两者之间的线性相关程度； （2）九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以2：3失利于渝中区队，积0分．根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能．求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率． 附：相关系数， 【答案】（1）r≈0.98，具有很强的正线性相关关系； （2）． 【分析】（1）借助相关系数r的计算公式计算即可得； （2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得． 【解答】解：（1）根据题意可知，，， 则， ，， 则， 因为r≈0.98＞0，且接近于1， 故说明场均观众人数x与小组赛积分y之间具有很强的正线性相关关系； （2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余9场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：9场比赛全胜，概率为：； 二：胜8场，平或负1场，概率为：； 三：胜7场，平2场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： ． 方法点拨 在直接利用样本相关系数公式r＝计算样本相关系数比较困难时，可以利用其变形形式，即r＝ ＝，分别计算出，，x，y，xiyi，然后代入公式计算即可． 【变式1】（2025春•西安校级期中）近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2018﹣2022年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例y（百分比）与年份编号x之间的关系： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 x 1 2 3 4 5 y 21 26 40 49 54 则y与x的样本相关系数r＝　0.976　 （保留3位小数）． 附：3.2，28.5，r． 【答案】0.976． 【分析】根据相关关系的公式计算即可． 【解答】解：由题意可知，3，38，89，10，814， 所以r0.976． 故答案为：0.976． 【变式2】（2025春•淮安月考）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x（单位：元）与销量y（单位：百件）的对应数据，如下表所示： x 12 12.5 13 13.5 14 y 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算x与y的相关系数； 参考数据：． 参考公式：相关系数． 【答案】（1），； （2）﹣0.992． 【分析】（1）利用平均数计算公式得到和； （2）先计算出，利用公式计算出相关系数． 【解答】解：（1）由表格数据可知，， ； （2）因为1+0.25+0+0.25+1＝2.5，9+4+0+4+9＝26， 所以． 【变式3】（2024秋•重庆月考）广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里．自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”．经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升．据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类．为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，5），其中xi和yi分别表示第i个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量． i 1 2 3 4 5 xi 0.171 0.152 0.192 0.189 0.196 yi 12 10 16 14 18 （1）求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本（xi，yi）（i＝1，2，⋯，5）的相关系数（精确到0.01）； （3）根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大．为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数． 【答案】（1）700． （2）≈0.94． （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样．理由见解答过程． 【分析】（1）求出样本平均数，再乘以地块数得出结果； （2）根据题中所给数据，代入，可得结果； （3）由（2）知各样区的这种鸟的数量与植物覆盖面积有很强的正相关，各地块间这种植物数量差异很大，适合采用分层抽样． 【解答】解：（1）由已知得样本平均数（12+10+16+14+18）＝14， ∴广阳岛这种鸟数量的估计值为14×50＝700． （2）0.18，14， 0.009×2+0.028×4+0.012×2+0.016×4＝0.218， ∴样本的相关系数r0.94． （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对50个地块进行分层抽样． 理由如下： 由（2）知各样区的这种鸟数量与植物覆盖面积有很强的正相关， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种鸟数量差异也很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性， 提高了样本的代表性，从而可以获得广阳岛这种鸟数量晴儿准确的估计． 【题型6】样本相关系数的应用 （2021•石嘴山模拟）商务部会同海关总署、国家药监局于3月31日发布关于有序开展医疗物资出口的公告．如医疗物资出口中出现质量问题，将认真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中国制造”的形象，更好地发挥医疗物资对支持全球疫情防控的重要作用．为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸：典例 抽取次数 1 2 3 4 5 6 7 8 医疗物资尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次数 9 10 11 12 13 14 15 16 医疗物资尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，，，其中xi为抽取的第i个医疗物资的尺寸，i＝1，2，3，…，16． （Ⅰ）求（xi，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （Ⅱ）一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ 附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（I）由样本数据计算相关系数，即可得出结论； （Ⅱ）根据有关数据，分析即可． 【解答】解：（I）由样本数据得（x，i）（i＝1，2，3，…，16）的相关系数为 ； 由于|r|＜0.25， 因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小； （Ⅱ）由于， 由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外， 因此需对当天的生产过程进行检查． 方法点拨 判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．然后通过计算样本相关系数来推断这两个变量的相关程度及变化趋势的异同． 【变式1】（2023春•平度市期末）近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为1.2x+40.6． （1）预测当A指标数为52时，B指标数的估计值． （2）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若|r|＞0.75，则线性相关程度较强）． 附：参考数据：15． 相关系数r，，． 【答案】（1）103；（2）r＝0.88，y与x具有较强的线性相关关系． 【分析】（1）将x＝52代入回归方程即可求解； （2）利用相关系数公式求得r，由r＞0.75即可求解． 【解答】解：（1）当x＝52时，， 当A指标数为52时，B指标数的估计值为103； （2）因为， 所以相关系数， 因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系． 【变式2】（2022春•富县校级期中）互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 外卖甲日接单：x/百单 5 2 9 8 11 外卖乙日接单：y/百单 2 3 10 5 15 （1）试根据表格中这五天的日接单量，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况； （2）据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用样本相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断．（若|r|＞0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系） 参考数据：，． 【答案】（1）外卖甲比外卖乙经营状况更好； （2）y与x之间具有较强的线性相关关系． 【分析】（1）由题意，根据平均数公式和方差公式进行求解即可； （2）代入公式求出r的值，进而即可求解． 【解答】解：（1）易得，， 此时甲企业日接单的方差， 而乙企业日接单的方差， 因为， 所以甲企业的日平均接单量与乙企业的日平均接单量相同， 又， 可知甲企业日接单量更集中、稳定， 所以甲企业比乙企业经营状况更好； （2）易知， 则可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 【变式3】（2022•杞县校级开学）“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展．长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖、水库、湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物约占全国的39.7%，淡水鱼类约占全国的33%．长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置．长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加．为调查该地区A种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个小水域，从这些小水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，20），其中xi和yi分别表示第i个样本区域的水草覆盖面积（单位：公顷）和A种水生动物的数量，并计算得． （1）求该地区A种水生动物数量的估计值（A种水生动物数量的估计值等于样本区域A种水生动物数量的平均数乘以小水域数）； （2）求样本（xi，yi）（i＝1，2，⋯，20）的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区A种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数r1.732． 【答案】（1）6000； （2）0.96； （3）采用分层抽样的方法，理由见解析． 【分析】（1）根据该地区这种水生动物数量的估计值的计算方法求解即可； （2）根据相关系数的公式求解即可； （3）根据（2）中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性考虑即可． 【解答】解：（1）样区水生动物平均数为，地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为100×60＝6000． （2）样本（xi，yi）（i＝1，2，…，20）的相关系数为 （3）由（2）知各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 成对数据的统计相关性 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】相关关系的判断 3 【题型2】由散点图判断相关关系 5 【题型3】正相关、负相关的判断 7 【题型4】样本相关系数的性质 9 【题型5】样本相关系数的计算 11 【题型6】样本相关系数的应用 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识点一　相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 知识点二　散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示成对样本数据的变化特征，我们把这样的统计图叫做散点图．例如下图． 知识点三　正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． 知识点四　线性相关与非线性相关 (1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． (2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点五　样本相关系数的概念 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和，我们称r＝为变量x和变量y的样本相关系数． 知识点六　样本相关系数的性质 (1)样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (2)样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． [注意]　当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 知识点七　样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 设“标准化”处理后的成对数据(x′1，y′1)，(x′2，y′2)，…，(x′n，y′n)的第一分量构成n维向量x′＝(x′1，x′2，…，x′n)，第二分量构成n维向量y′＝(y′1，y′2，…，y′n)，|x′|＝|y′|＝，则有r＝x′·y′＝|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中θ为向量x′和向量y′的夹角)． xix   提升方法技能 思 维 进 阶 相关关系与函数关系的区别与联系 类别 区别 联系 函数关系 函数关系中两个变量间是一种确定性关系．例如，圆的半径由1增大为2，其面积必然由π增大到4π 相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况 相关关系 相关关系是一种非确定性关系．例如，吸烟与患肺癌之间的关系，两者之间虽然没有确定的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的风险会大幅增加，即两者之间是一种非确定性的关系 xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】相关关系的判断 （2025春•裕安区校级期末）下面属于相关关系的是（　　）典例 A．气温和冷饮销量之间的关系 B．速度一定时，位移和时间的关系 C．亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系 D．正方体的体积和棱长的关系 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义逐一对四个选项进行判断． 【解答】解：对于A，气温和冷饮销量之间的关系是正相关关系，故A正确； 对于B，速度一定时，位移与时间成正比例关系，是确定关系，不是相关关系，故B错误； 对于C，亩产量为常数时，土地面积与产量成正比例关系，是确定关系，不是相关关系，故C错误； 对于D，因为正方体的体积等于棱长的立方，所以正方体的体积与棱长是确定关系，不是相关关系，故D错误． 故选：A． 方法点拨 (1)函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系． (2)判断两个变量是不是相关关系的关键是看这两个变量之间是否具有不确定性． 【变式1】（2025春•钦州校级月考）下列各关系不属于相关关系的是（　　） A．产品的样本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 【变式2】（2025春•疏附县期末）有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；④角的度数与它的正弦值．其中，具有相关关系的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式3】（2025春•喀什市校级期末）下列两个变量中能够具有相关关系的是（　　） A．人的身高与受教育的程度 B．人的体重与眼睛的近视程度 C．企业员工的工号与工资 D．儿子的身高与父亲的身高 【题型2】由散点图判断相关关系 （2024春•巴音郭楞州期末）对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量y，z由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　）典例 A．变量x与y正相关，x与z正相关 B．变量x与y正相关，x与z负相关 C．变量x与y负相关，x与z正相关 D．变量x与y负相关，x与z负相关 【答案】D 【分析】直接由散点图可得变量x与y负相关，y与z正相关，得x与z负相关． 【解答】解：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，y与z正相关，则x与z负相关． 故选：D． 方法点拨 利用散点图判断不同变量的相关性时，其关键是正确画出散点图，然后观察分布规律：是在一条直线附近波动还是在一条曲线附近波动，还是没有任何规律，从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论． 【变式1】（2024秋•北辰区期中）在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025春•科左中旗校级期末）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（　　） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 【变式3】（2025•河西区一模）对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图1；对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 【题型3】正相关、负相关的判断 （2025春•洛阳期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，据此可以推断变量x与y之间（　　）典例 A．很可能存在负相关 B．一定存在负相关 C．很可能存在正相关 D．一定不存在正相关 【答案】A 【分析】根据变量间相关关系可解． 【解答】解：根据变量x与y的成对样本数据的散点图， 可以推断变量x与y之间很可能存在负相关． 故选：A． 方法点拨 两个相关变量是正相关还是负相关，主要根据变量的取值判断．若纵坐标代表的变量随着横坐标代表的变量的增大而增大，则两个相关变量呈正相关关系；若纵坐标代表的变量随着横坐标代表的变量的增大而减小，则两个相关变量呈负相关关系． 【变式1】（2024春•丰台区期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（　　） A．某商品的销售价格与销售量 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．气温与冷饮的销售量 D．人的年龄与视力 【变式2】（2024•葫芦岛模拟）已知变量x与y的回归直线方程为y＝3x﹣1，变量y与z负相关，则（　　） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 【变式3】（2023秋•北海期末）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（　　） A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量 C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价 【题型4】样本相关系数的性质 （2025春•淮安期中）已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为﹣0.92，0.46，0.79，0.85，则（　　）典例 A．甲组数据变量间的线性相关程度最强 B．乙组数据变量间的线性相关程度最强 C．丙组数据变量间的线性相关程度最强 D．丁组数据变量间的线性相关程度最强 【答案】A 【分析】根据相关系数的性质求解． 【解答】解：因为相关系数r的绝对值越大，变量间的线性相关程度越强， 而|﹣0.92|＞|0.85|＞|0.79|＞|0.46|， 所以甲组数据变量间的线性相关程度最强． 故选：A． 方法点拨 当r>0时，称成对样本数据正相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大． 当r<0时，称成对样本数据负相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小． 【变式1】（2025•天津模拟）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量y和气温x之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x轴表示气温，y轴表示热奶茶销售量），由散点图可知y与x的相关关系为（　　） A．正相关，相关系数r的值为0.8 B．负相关，相关系数r的值为0.8 C．正相关，相关系数r的值为﹣0.8 D．负相关，相关系数r的值为﹣0.8 【变式2】（2025春•甘肃期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1＝﹣0.95，r2＝0.88，r3＝﹣0.9，r4＝0.93，则（　　） A．这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B．这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 【变式3】（2024春•玉林期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1＝﹣0.96，r2＝0.67，r3＝0.92，r4＝0.89，则这四人中，　甲　 研究的两个随机变量的线性相关程度最高． 【题型5】样本相关系数的计算 （2025秋•郫都区月考）2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛．联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛（每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次）．已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立．典例 （1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用AI模拟了该球队在5种不同观众人数（单位：千人）下的比赛表现（每场均模拟完整的小组赛）．模拟数据如下： 场均观众人数x（千人） 8 12 6 15 9 小组赛积分y 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数x（千人）与小组赛积分y的样本相关系数r（精确到0.01），并说明两者之间的线性相关程度； （2）九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以2：3失利于渝中区队，积0分．根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能．求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率． 附：相关系数， 【答案】（1）r≈0.98，具有很强的正线性相关关系； （2）． 【分析】（1）借助相关系数r的计算公式计算即可得； （2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得． 【解答】解：（1）根据题意可知，，， 则， ，， 则， 因为r≈0.98＞0，且接近于1， 故说明场均观众人数x与小组赛积分y之间具有很强的正线性相关关系； （2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余9场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：9场比赛全胜，概率为：； 二：胜8场，平或负1场，概率为：； 三：胜7场，平2场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： ． 方法点拨 在直接利用样本相关系数公式r＝计算样本相关系数比较困难时，可以利用其变形形式，即r＝ ＝，分别计算出，，x，y，xiyi，然后代入公式计算即可． 【变式1】（2025春•西安校级期中）近年来，随着社会对教育越来越重视，家庭的平均教育支出呈现出逐年增长的趋势，下表反映了2018﹣2022年某市家庭平均教育支出占家庭总支出的比例y（百分比）与年份编号x之间的关系： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 x 1 2 3 4 5 y 21 26 40 49 54 则y与x的样本相关系数r＝　0.976　 （保留3位小数）． 附：3.2，28.5，r． 【变式2】（2025春•淮安月考）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x（单位：元）与销量y（单位：百件）的对应数据，如下表所示： x 12 12.5 13 13.5 14 y 14 13 11 9 8 （1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； （2）计算x与y的相关系数； 参考数据：． 参考公式：相关系数． 【变式3】（2024秋•重庆月考）广阳岛，作为长江上游最大的江心岛，其面积在枯水期约为10平方公里．自2017年起，重庆市开始对广阳岛进行系统的生态修复，摒弃了曾经的商业开发计划，转而建设“长江风景眼，重庆生态岛”．经过数年的努力，广阳岛的生态得到了显著的改善，不仅植被丰富，生物多样性也得到了极大的提升．据监测，岛上的鸟类从生态修复前的124种增加到213种，其中包括中华秋沙鸭、游隼、白琵鹭等珍稀鸟类．为调查广阳岛某种鸟的数量，将其分成面积相近的50个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取5个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，5），其中xi和yi分别表示第i个样区的植被覆盖面积（单位：平方公里）和这种鸟的数量． i 1 2 3 4 5 xi 0.171 0.152 0.192 0.189 0.196 yi 12 10 16 14 18 （1）求广阳岛这种鸟数量的估计值（这种鸟数量的估计值等于样区这种鸟数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本（xi，yi）（i＝1，2，⋯，5）的相关系数（精确到0.01）； （3）根据统计资料，各地块间植物覆盖面积差异较大．为提高样本的代表性以获得广阳岛这种鸟数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数． 【题型6】样本相关系数的应用 （2021•石嘴山模拟）商务部会同海关总署、国家药监局于3月31日发布关于有序开展医疗物资出口的公告．如医疗物资出口中出现质量问题，将认真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中国制造”的形象，更好地发挥医疗物资对支持全球疫情防控的重要作用．为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个医疗物资的尺寸：典例 抽取次数 1 2 3 4 5 6 7 8 医疗物资尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次数 9 10 11 12 13 14 15 16 医疗物资尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，，，其中xi为抽取的第i个医疗物资的尺寸，i＝1，2，3，…，16． （Ⅰ）求（xi，i）（i＝1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （Ⅱ）一天内抽检医疗物资中，如果出现了尺寸在之外的医疗物资，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ 附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（I）由样本数据计算相关系数，即可得出结论； （Ⅱ）根据有关数据，分析即可． 【解答】解：（I）由样本数据得（x，i）（i＝1，2，3，…，16）的相关系数为 ； 由于|r|＜0.25， 因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小； （Ⅱ）由于， 由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外， 因此需对当天的生产过程进行检查． 方法点拨 判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．然后通过计算样本相关系数来推断这两个变量的相关程度及变化趋势的异同． 【变式1】（2023春•平度市期末）近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为1.2x+40.6． （1）预测当A指标数为52时，B指标数的估计值． （2）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若|r|＞0.75，则线性相关程度较强）． 附：参考数据：15． 相关系数r，，． 【变式2】（2022春•富县校级期中）互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 外卖甲日接单：x/百单 5 2 9 8 11 外卖乙日接单：y/百单 2 3 10 5 15 （1）试根据表格中这五天的日接单量，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况； （2）据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用样本相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断．（若|r|＞0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系） 参考数据：，． 【变式3】（2022•杞县校级开学）“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展．长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖、水库、湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物约占全国的39.7%，淡水鱼类约占全国的33%．长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置．长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加．为调查该地区A种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个小水域，从这些小水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，20），其中xi和yi分别表示第i个样本区域的水草覆盖面积（单位：公顷）和A种水生动物的数量，并计算得． （1）求该地区A种水生动物数量的估计值（A种水生动物数量的估计值等于样本区域A种水生动物数量的平均数乘以小水域数）； （2）求样本（xi，yi）（i＝1，2，⋯，20）的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区A种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数r1.732． 学科网（北京）股份有限公司 $