8.4 因式分解 核心考点精讲 2025--2026学年沪科版七年级数学下册

8.4 因式分解 知识点详解 一、 章节导入：乘法的逆运算——分解 在前面的学习中，我们掌握了整式乘法，可以把乘积形式（如 (x+2)(x-3)）展开成多项式（x² - x - 6）。现在我们要学习其逆过程：如何将一个多项式重新化为几个整式乘积的形式。这种过程叫做因式分解。 · 类比理解： · 整式乘法：(x+2)(x-3) → x² - x - 6 （像拆开礼物包装） · 因式分解：x² - x - 6 → (x+2)(x-3) （像把礼物按原样包回去） 因式分解是代数的核心工具，它将为后续学习分式的化简与运算、一元二次方程的解法、二次函数等知识奠定坚实基础。 二、 核心概念与基本要求 1. 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 · 关键点： 1. 对象：一个多项式。 2. 结果：几个整式的乘积。 3. 范围：在有理数范围（或指定范围）内分解，直到每个因式都不能再分解为止。 2. 因式分解与整式乘法的关系 它们是互逆的恒等变形过程。 · 整式乘法：因式 × 因式 → 多项式 · 因式分解：多项式 → 因式 × 因式 · 检验方法：将因式分解的结果乘出来，看是否等于原多项式。 3. 因式分解的基本要求 1. 结果必须是乘积形式：如 x²+5x+6=(x+2)(x+3)，不能写成 (x+2)(x+3)-x。 2. 每个因式必须是整式：如 x²-2 = (x+√2)(x-√2) 在有理数范围内不算分解完成，因为 √2 不是有理数。 3. 必须分解到不能再分解为止：如 x⁴ - 16 = (x²+4)(x²-4) 未完成，应继续分解为 (x²+4)(x+2)(x-2)。 三、 因式分解的三大基本方法 方法一：提公因式法（最基础、最先考虑的方法） · 定义：如果多项式的各项都含有公共的因式（称为公因式），可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积形式。 · 关键：准确找出公因式。 · 公因式的构成： 1. 系数：取各项系数的最大公约数。 2. 字母：取各项都含有的相同字母。 3. 指数：取相同字母的最低次幂。 · 步骤口诀： 一找：找系数最大公约数，找相同字母及其最低次幂。 > 二提：将公因式提到括号外。 > 三除：用原多项式除以公因式，将商写在括号内。 · 示例：分解因式 6x³y - 9x²y² + 3x²y 1. 找公因式： · 系数：6, -9, 3 的最大公约数是 3。 · 字母：各项都含有 x 和 y。 · 指数：x 的最低次是2次，y 的最低次是1次。 · 所以，公因式是 3x²y。 2. 提公因式： 原式 = 3x²y * ( ? ) 3. 除法求商： = 3x²y * (6x³y ÷ 3x²y - 9x²y² ÷ 3x²y + 3x²y ÷ 3x²y) = 3x²y * (2x - 3y + 1) 方法二：公式法（利用乘法公式的逆运算） 直接利用之前学过的乘法公式，将其逆过来进行分解。主要使用以下两个公式： 1. 平方差公式： · 公式：a² - b² = (a + b)(a - b) · 识别特征：多项式是两项，且都是平方项，中间是减号。 · 示例：4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x+3)(2x-3) 2. 完全平方公式： · 公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²； a² - 2ab + b² = (a - b)² · 识别特征：多项式是三项。首尾两项是平方项（a²和b²），中间项是首尾两项底数乘积的2倍（+2ab或-2ab）。 · 示例：x² - 6x + 9 = x² - 2*x*3 + 3² = (x-3)² · 运用公式法的步骤： 1. 判项数：两项考虑平方差，三项考虑完全平方。 2. 找平方：确认是否有两个数（或式）的平方。 3. 验结构：检查中间项是否符合 ±2ab（三项时），或符号是否为“-”（两项时）。 4. 套公式：代入公式，写出分解结果。 方法三：分组分解法（针对四项或以上的多项式） · 适用情况：多项式项数较多（通常为四项），无法直接提公因式或用公式。 · 核心思想：分组→局部提公因式→整体再提公因式。 · 关键技巧：分组要有预见性，目的是分组后能出现新的公因式或可用公式的形式。 · 常见分组模型： 1. 二二分组（最常用）：将四项分成两组，每组两项，分别提公因式后，两组间出现公因式。 · 示例：ax + ay + bx + by = (ax+ay) + (bx+by) = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b) 2. 三一分组：适用于“完全平方公式 + 平方差公式”的结构。将三项分一组（配成完全平方），一项分一组（是一个平方项）。 · 示例：x² - 2xy + y² - 9 = (x²-2xy+y²) - 9 = (x-y)² - 3² = [(x-y)+3][(x-y)-3] = (x-y+3)(x-y-3) 四、 因式分解的一般步骤与策略选择 面对一个多项式，应遵循 “一提、二套、三分组” 的总体思路进行分解。 通用步骤流程图 开始分解 | ↓ 首先考虑：提公因式法 （有公因式必须先提净） | ↓ 观察项数 / \ 两项 三项及以上 | | 考虑平方差 考虑完全平方公式 公式 a²-b² a²±2ab+b² 如果不行，则考虑分组分解法 | ↓ 分组后，对每组或整体 再尝试“提、套”方法 | ↓ 检查：每个因式是否还能再分解？ （必须分解到不能再分解为止） 口诀总结 因式分解并不难，首先提取公因式。 两项平方差公式，三项完全平方看。 四项以上想分组，分组合理是关键。 结果必须是连乘，分解彻底才算完。 五、 典型例题与易错警示 例1：综合运用（提公因式+公式法） 分解因式：3x³ - 12xy² 解： 1. 提公因式：= 3x(x² - 4y²) 2. 公式法：括号内符合平方差公式 = 3x[x² - (2y)²] 3. 得结果：= 3x(x + 2y)(x - 2y) 例2：分组分解法 分解因式：x² - y² + 2x + 1 解： 1. 观察分组：前三项 x²+2x+1 是完全平方，后一项是 -y²。采用“三一分组”。 2. 分组分解：= (x² + 2x + 1) - y² = (x+1)² - y² 3. 公式法：符合平方差公式 = [(x+1) + y][(x+1) - y] 4. 整理结果：= (x + y + 1)(x - y + 1) 例3：需要先变形再分解 分解因式：(m+n)² - 4(m+n) + 4 解： 1. 整体看待：把 (m+n) 看作一个整体，比如令 A = m+n。 2. 原式变为：A² - 4A + 4，这符合完全平方公式 (A-2)²。 3. 代回结果：= [(m+n) - 2]² = (m+n-2)² ⚠️ 易错点警示 1. 分解不彻底：这是最常见的错误。例如：x⁴ - 1 = (x²+1)(x²-1) 未完成，应为 (x²+1)(x+1)(x-1)。 2. 提取公因式不完整：只提了系数公约数，漏掉了公共字母。例如：2x²y - 4xy² = 2(x²y - 2xy²)，正确应为 2xy(x - 2y)。 3. 公式识别错误： · 误用平方差：x² + 4y² 不能分解为 (x+2y)(x-2y)，因为它是“和”不是“差”。 · 误用完全平方：x² + 4x + 2 不能分解，因为 2 不是平方数，且 4x ≠ 2*x*√2。 4. 符号错误：提负的公因式时，括号内各项符号未变。例如：-x² + xy = -x(x - y)，不能写成 -x(x+y)。 5. 忘记检查：分解后没有将结果乘开验证是否等于原式。 一、单选题 1．把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用提公因式法进行分解，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 结果为 ， 故选：B． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 3．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 4．已知，，，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题的关键． 由的值，求出的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，，，   ∴， ， ，   故选：D． 5．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】先利用平方差公式对和进行因式分解，再化简等式两边，最后解出的值并与选项比对． 【详解】解：首先，利用平方差公式分解： ． 代入原等式：． 化简左边得：． 两边同时约去，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用和等式的化简，解题关键是利用平方差公式简化计算，避免直接计算大数平方，提高效率． 6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟练运用提公因式法和公式法是解题关键． 对各多项式进行因式分解，检查是否含有因式． 【详解】解：∵ A、 ，不含有，符合题意； B、，含有，不符合题意； C、，含有，不符合题意； D、，含有，不符合题意； ∴结果中不含有因式的是A． 故选：A． 7．多项式因式分解，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法与完全平方公式的综合应用，解题关键是先提取公因式，再对剩余部分套用公式． 先提取公因式，再应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 故选：B． 8．多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解的综合运用，熟练掌握运用公式法进行因式分解的方法是解题的关键． 该多项式为完全平方式，可直接套用公式 进行因式分解. 【详解】解：∵ ， ∴ . 故选：B． 9．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 二、填空题 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解． 直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．若，则的值为 ． 【答案】2035 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 12．多项式中，各项的公因式是 ． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，通过观察表达式符合平方差公式形式，利用平方差公式进行因式分解，然后化简表达式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 16．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提公因式即可得到结果； （2）原式直接提公因式即可得到结果； （3）原式直接提公因式即可得到结果； （4）原式直接提公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 17．对于二次三项式，可以直接用完全平方公式将它因式分解成．但对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式因式分解，因此常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，使整个式子的值不变．过程如下： ． 请你按照上面的方法因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题先化成完全平方形式，然后根据平方差公式即可对题目中的式子进行因式分解； （2）根据例题先化成完全平方形式，然后根据平方差公式即可对题目中的式子进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 . 【点睛】本题主要考查因式分解，完全平方公式，解答本题的关键是读懂材料，利用因式分解的方法解答． 18．（1）已知，分别满足不等式与，请比较，的大小． （2）若能用完全平方公式分解因式，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为0或10 【分析】（1）分别解出两个不等式中的和的取值范围，再去比较大小即可； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：（1）由，得． 由，得，故． （2）可以用完全平方公式来分解因式， ，解得，， 的值为0或10． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的解法和因式分解−运用公式法，熟练掌握不等式的解法和完全平方公式是解题的关键． 19．在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； (2)计算：_____； (3)若，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握立方和与立方差公式是解题的关键． （1）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （2）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （3）利用立方和公式进行因式分解后，整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为： ②； 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故的值为． 20．当a为何值时，多项式可以分解为两个一次因式的乘积． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义的应用，解题的关键是根据题意得出，，，，．设原式可分解为，展开后得出，推出，，，，，求出，即可． 【详解】解：设原式可分解为：， ∵， ∴，， 解得或， 当， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即当时，多项式可以分解为两个一次因式的乘积． 21．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式继续分解； （2）把看作整体，用完全平方公式直接分解； （3）先用平方差公式分解，再对每个因式用完全平方公式继续分解； （4）先把变形为，提取公因式后整理． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。解题关键是：分解要彻底，直到不能再分解为止；注意符号变化；能整体代换时，优先用公式简化过程． 22．计算及因式分解 计算： （1） （2） 因式分解： （1）； （2） 【答案】计算：（1）；（2）；因式分解：（1）；（2） 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，完全平方公式和平方差公式，因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． 计算：（1）根据单项式乘以单项式法则求解即可； （2）首先计算完全平方公式和平方差公式，然后合并即可； 因式分解：（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解． 【详解】计算：（1）解： ； （2）解： ； 因式分解：（1）解： ； （2）解： ． 23．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4， ，． ． ． （2）由（1）得，，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4 因式分解 知识点详解 一、 章节导入：乘法的逆运算——分解 在前面的学习中，我们掌握了整式乘法，可以把乘积形式（如 (x+2)(x-3)）展开成多项式（x² - x - 6）。现在我们要学习其逆过程：如何将一个多项式重新化为几个整式乘积的形式。这种过程叫做因式分解。 · 类比理解： · 整式乘法：(x+2)(x-3) → x² - x - 6 （像拆开礼物包装） · 因式分解：x² - x - 6 → (x+2)(x-3) （像把礼物按原样包回去） 因式分解是代数的核心工具，它将为后续学习分式的化简与运算、一元二次方程的解法、二次函数等知识奠定坚实基础。 二、 核心概念与基本要求 1. 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 · 关键点： 1. 对象：一个多项式。 2. 结果：几个整式的乘积。 3. 范围：在有理数范围（或指定范围）内分解，直到每个因式都不能再分解为止。 2. 因式分解与整式乘法的关系 它们是互逆的恒等变形过程。 · 整式乘法：因式 × 因式 → 多项式 · 因式分解：多项式 → 因式 × 因式 · 检验方法：将因式分解的结果乘出来，看是否等于原多项式。 3. 因式分解的基本要求 1. 结果必须是乘积形式：如 x²+5x+6=(x+2)(x+3)，不能写成 (x+2)(x+3)-x。 2. 每个因式必须是整式：如 x²-2 = (x+√2)(x-√2) 在有理数范围内不算分解完成，因为 √2 不是有理数。 3. 必须分解到不能再分解为止：如 x⁴ - 16 = (x²+4)(x²-4) 未完成，应继续分解为 (x²+4)(x+2)(x-2)。 三、 因式分解的三大基本方法 方法一：提公因式法（最基础、最先考虑的方法） · 定义：如果多项式的各项都含有公共的因式（称为公因式），可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积形式。 · 关键：准确找出公因式。 · 公因式的构成： 1. 系数：取各项系数的最大公约数。 2. 字母：取各项都含有的相同字母。 3. 指数：取相同字母的最低次幂。 · 步骤口诀： 一找：找系数最大公约数，找相同字母及其最低次幂。 > 二提：将公因式提到括号外。 > 三除：用原多项式除以公因式，将商写在括号内。 · 示例：分解因式 6x³y - 9x²y² + 3x²y 1. 找公因式： · 系数：6, -9, 3 的最大公约数是 3。 · 字母：各项都含有 x 和 y。 · 指数：x 的最低次是2次，y 的最低次是1次。 · 所以，公因式是 3x²y。 2. 提公因式： 原式 = 3x²y * ( ? ) 3. 除法求商： = 3x²y * (6x³y ÷ 3x²y - 9x²y² ÷ 3x²y + 3x²y ÷ 3x²y) = 3x²y * (2x - 3y + 1) 方法二：公式法（利用乘法公式的逆运算） 直接利用之前学过的乘法公式，将其逆过来进行分解。主要使用以下两个公式： 1. 平方差公式： · 公式：a² - b² = (a + b)(a - b) · 识别特征：多项式是两项，且都是平方项，中间是减号。 · 示例：4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x+3)(2x-3) 2. 完全平方公式： · 公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²； a² - 2ab + b² = (a - b)² · 识别特征：多项式是三项。首尾两项是平方项（a²和b²），中间项是首尾两项底数乘积的2倍（+2ab或-2ab）。 · 示例：x² - 6x + 9 = x² - 2*x*3 + 3² = (x-3)² · 运用公式法的步骤： 1. 判项数：两项考虑平方差，三项考虑完全平方。 2. 找平方：确认是否有两个数（或式）的平方。 3. 验结构：检查中间项是否符合 ±2ab（三项时），或符号是否为“-”（两项时）。 4. 套公式：代入公式，写出分解结果。 方法三：分组分解法（针对四项或以上的多项式） · 适用情况：多项式项数较多（通常为四项），无法直接提公因式或用公式。 · 核心思想：分组→局部提公因式→整体再提公因式。 · 关键技巧：分组要有预见性，目的是分组后能出现新的公因式或可用公式的形式。 · 常见分组模型： 1. 二二分组（最常用）：将四项分成两组，每组两项，分别提公因式后，两组间出现公因式。 · 示例：ax + ay + bx + by = (ax+ay) + (bx+by) = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b) 2. 三一分组：适用于“完全平方公式 + 平方差公式”的结构。将三项分一组（配成完全平方），一项分一组（是一个平方项）。 · 示例：x² - 2xy + y² - 9 = (x²-2xy+y²) - 9 = (x-y)² - 3² = [(x-y)+3][(x-y)-3] = (x-y+3)(x-y-3) 四、 因式分解的一般步骤与策略选择 面对一个多项式，应遵循 “一提、二套、三分组” 的总体思路进行分解。 通用步骤流程图 开始分解 | ↓ 首先考虑：提公因式法 （有公因式必须先提净） | ↓ 观察项数 / \ 两项 三项及以上 | | 考虑平方差 考虑完全平方公式 公式 a²-b² a²±2ab+b² 如果不行，则考虑分组分解法 | ↓ 分组后，对每组或整体 再尝试“提、套”方法 | ↓ 检查：每个因式是否还能再分解？ （必须分解到不能再分解为止） 口诀总结 因式分解并不难，首先提取公因式。 两项平方差公式，三项完全平方看。 四项以上想分组，分组合理是关键。 结果必须是连乘，分解彻底才算完。 五、 典型例题与易错警示 例1：综合运用（提公因式+公式法） 分解因式：3x³ - 12xy² 解： 1. 提公因式：= 3x(x² - 4y²) 2. 公式法：括号内符合平方差公式 = 3x[x² - (2y)²] 3. 得结果：= 3x(x + 2y)(x - 2y) 例2：分组分解法 分解因式：x² - y² + 2x + 1 解： 1. 观察分组：前三项 x²+2x+1 是完全平方，后一项是 -y²。采用“三一分组”。 2. 分组分解：= (x² + 2x + 1) - y² = (x+1)² - y² 3. 公式法：符合平方差公式 = [(x+1) + y][(x+1) - y] 4. 整理结果：= (x + y + 1)(x - y + 1) 例3：需要先变形再分解 分解因式：(m+n)² - 4(m+n) + 4 解： 1. 整体看待：把 (m+n) 看作一个整体，比如令 A = m+n。 2. 原式变为：A² - 4A + 4，这符合完全平方公式 (A-2)²。 3. 代回结果：= [(m+n) - 2]² = (m+n-2)² ⚠️ 易错点警示 1. 分解不彻底：这是最常见的错误。例如：x⁴ - 1 = (x²+1)(x²-1) 未完成，应为 (x²+1)(x+1)(x-1)。 2. 提取公因式不完整：只提了系数公约数，漏掉了公共字母。例如：2x²y - 4xy² = 2(x²y - 2xy²)，正确应为 2xy(x - 2y)。 3. 公式识别错误： · 误用平方差：x² + 4y² 不能分解为 (x+2y)(x-2y)，因为它是“和”不是“差”。 · 误用完全平方：x² + 4x + 2 不能分解，因为 2 不是平方数，且 4x ≠ 2*x*√2。 4. 符号错误：提负的公因式时，括号内各项符号未变。例如：-x² + xy = -x(x - y)，不能写成 -x(x+y)。 5. 忘记检查：分解后没有将结果乘开验证是否等于原式。 一、单选题 1．把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知，，，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 7．多项式因式分解，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 8．多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 9．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．因式分解： ． 11．若，则的值为 ． 12．多项式中，各项的公因式是 ． 13．分解因式： ． 14．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为 ． 15．因式分解： ． 三、解答题 16．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．对于二次三项式，可以直接用完全平方公式将它因式分解成．但对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式因式分解，因此常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，使整个式子的值不变．过程如下： ． 请你按照上面的方法因式分解： (1)． (2)． 18．（1）已知，分别满足不等式与，请比较，的大小． （2）若能用完全平方公式分解因式，求的值． 19．在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； (2)计算：_____； (3)若，，求的值． 20．当a为何值时，多项式可以分解为两个一次因式的乘积． 21．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 22．计算及因式分解 计算： （1） （2） 因式分解： （1）； （2） 23．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $