8.1 幂的运算 2025-2026学年沪科版七年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

8.1幂的运算 知识点详解 知识回顾： ·乘方：求n个相同因数a的积的运算，记作aP。 ·幂：乘方运算的结果a称为幂。其中，a是底数，n是指数。 ·示例：在23中，2是底数，3是指数，结果是8。 二、幂的运算四大法则 法则一：同底数幂的乘法 ·符号语言：am.an=a+n(m,n都是正整数) ·文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ·核心理解：本质是“乘方的乘法”转化为“指数的加法”。 ·示例： ·x5.x3=x5+3=x8 (-3)2×(-3)=(-3)2*5=(-3)7 法则二：幂的乘方 ·符号语言：(a四”=amn(m,n都是正整数) ·文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ·核心理解：本质是“乘方的乘方”转化为“指数的乘法”。 ·△易混淆点：与同底数幂乘法区分！ ·同底数幂乘法：am,an=a+n(底数相同的幂相乘) ·幂的乘方：(am”=amn(一个幂的乘方) ·示例： ·(y42=yk2=y8 [(a+b)=(a+b)5=(a+b25 法则三：积的乘方 ·符号语言：(ab)”=ab2(n是正整数) ·文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ·核心理解：乘方的运算可以“分配”到积的每一个因式上。 ·推广：(abc”=a%cn ·示例： ·(2x)=23.x3=8x3 ·(-2xy2=(-2·x3.(y2=-8xy6(注意符号和幂的乘方) 法则四：同底数幂的除法 ·符号语言：am÷an=am-n(a≠0，且m>n,m,n都是正整数) ·文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 ·核心理解：本质是“乘方的除法”转化为“指数的减法”。 ·示例： ·a8÷a3=a8-3=a5 (-x÷(-x1=(-x=(-x3=-x3 三、四大法则的对比与总结 运算法则符号表示运算本质口诀记忆 同底数幂乘法am.an=a+n乘法→加法同底相乘，指数相加 幂的乘方(amP=amn乘方一乘法幂的乘方，指数相乘 积的乘方(ab)”=a6分配各因式积的乘方，分别乘方 同底数幂除法am÷an=a-除法→减法同底相除，指数相减 核心思想：所有幂的运算法则，最终都是为了简化运算，将复杂的幂运算转化为更简单的指 数间的运算（加、减、乘）。 四、法则的推广与规定 1.指数为零： ·根据同底数幂除法：am÷am=a-m=a。 ·另一方面，任何非零数除以它本身等于1。 ·规定：a0=1(a≠0)。即：任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ·例：(-5)°=1，（100元)°=1，但0°无意义。 2.指数为负整数（初步了解）： ·根据同底数幂除法：a2÷a5=a25=a-3。 ·另一方面，a2÷a5=京。 ·规定：an=急(a≠0，n是正整数)。 ·例：23=京=言。 五、综合运算的优先级与步骤 当多个法则混合运算时，遵循以下顺序： 1.先确定运算类型：识别题目是“积的乘方”、“幂的乘方”还是“同底数幂乘除”。 2.遵循运算顺序： ·先算积的乘方或幂的乘方。 ·再算同底数幂的乘法或除法。 ·有括号先算括号内。 3.化简要彻底：最终结果通常应化为最简形式： ·系数是数字。 ·字母按指数从高到低排列。 ·通常不含括号（单项式）。 通用解题步骤口诀： 一看底数，二看指数； 先乘方，后乘除； 系数计算，指数运算。 六、典型例题与易错警示 例1：基础法则应用 计算：（-2a26)3÷(4a46 解： 1先算积的乘方：(-2a2b)=(-2·(a2.b3=-8a63 2进行除法：-8a63÷(4a46习=(-8÷4)a6-4.b32=-2a26 例2：公式的逆用（重要思维） 已知am=3,a”=5,求a+n和a2m的值。 解： ·a+n=am.a”=3×5=15(逆用同底数幂乘法) ·a2m=(a四=32=9（逆用幂的乘方） 例3：易错题辨析 1.混淆法则： 错：x3.x2=x6(应x5,这是指数相加，不是相乘) 错：(x)=x5(应x6,这是指数相乘，不是相加) 2.忽略符号： ·计算：(-x2。错解：-x5或x6。 ·正解：底数是-x2,3次方：(-x2=（-1·(x23=-1x6=-x5 3.忽略系数： ·计算：(2x。错解：2x3。 ·正解：系数2也需要乘方：(2x=8x3。 一、单选题 1.下列运算不正确的是() A.x2.x'=x B.(x2)3=x C.x3+x3=2x6 D.(-2x)3=-8x 2.设2"=3,2”=4,2P=12下列m,n,P三者之间的关系式正确的是() A.m+n=p B.m+p=2n C.n2-mp=2 D.p+n=2n 3.计算a0÷a的结果为() A.as B.a C.d D.a 4.已知3x+5y-4=0,则8.32的值为() A.8 B.16 C.32 D.64 则() A.b<a<d<c B.a<b<d<c C.a<c<b<d D.a<b<c<d 6.若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深约0.0000052cm的小洞.数 据0.0000052用科学记数法表示为() A.5.2×10 B.5.2×106 C.5.2×10-7 D.52×10-7 7.若a>0,且a"=2,d=3,则am"的值为() A.-1 B.1 3-2 8.若(-ab3=-ab5,则m,的值分别为() A.9,5 B.3,5 C.5,3 D.3,12 二、填空题 9.若2x-y+2=0,则23.2÷22y= 10.计算：x2y2(x3y)3=_ 11.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战"的号召，某科研团队最近攻克了 12nm的光刻机难题，其中12nm=0.000000012m,则12nm用科学记数法表示为m 12.已知am=2,a”=3,则a2m-= 三、解答题 13.(1)已知5x-2y-2=0,求10x÷102y的值， （2)若a·a”=a,a"÷a”=a,求wm的值. 14.计算： (1x2°x 2x2)°-2x2y月 3-x2(-x2)月 4ab2）+(-3a2b4)2 15.(1)己知2x-5y+4=0,求41.32-y的值， (2)己知(x-)*2=1,求所有满足条件的整数x的值. 16.(1)计算：420×(-0.25)21. (2)若3=m,2”=n,用m,的代数式表示24. 17.计算： 1x2y°+(xy22. 2-4ab}2-8a2b+2(ab}2. 18.计算： (1)(-y2)5.(-y3)2.(-y)8 (2[(m-n)3].[(n-m)-(m-n)23. 3)x2G4+(-3x3)2+(-2x2)3. 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键.(1) 先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； 19.在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知α=4， am+"=20,求a的值."这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 am+"=am.a”,所以20=4×a”,所以a”=5. 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若am=12,am-"=6,求a的值： 2026 20.(1)已知a=3,a'a'=12,则求a'+a'的值； (2)若8=2,80=3，求83a+2b的值 21.先化简，再求值：[5a.a2-(3a)2÷(a2)3]÷(2a2)2,其中a=-5. 22.已知：5m=4,5”=6,25P=9. (1)求5m+"的值， (2)写出m,n,p之间的数量关系，并说明理由， 23.己知m°=4，m=16,m=8. (1)求n的值. (2)求ma+b-c的值 24.己知2"=3,2”=9,22=81· (1)求4"的值； (2)求4*-p的值 25.按要求解答下列各小题 (1)已知10”=6,10”=2，求10"-"的值； (2)已知8×2m÷16m=25,求m的值. 8.1 幂的运算 知识点详解 知识回顾： · 乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算，记作 。 · 幂：乘方运算的结果称为幂。其中，a 是底数，n 是指数。 · 示例：在中，2 是底数，3 是指数，结果是 8。 二、 幂的运算四大法则 法则一：同底数幂的乘法 · 符号语言：（m, n 都是正整数） · 文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 · 核心理解：本质是“乘方的乘法”转化为“指数的加法”。 · 示例： 法则二：幂的乘方 · 符号语言： （m, n 都是正整数） · 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 · 核心理解：本质是“乘方的乘方”转化为“指数的乘法”。 · ⚠️ 易混淆点：与同底数幂乘法区分！ · 同底数幂乘法：（底数相同的幂相乘） · 幂的乘方：（一个幂的乘方） · 示例： · · 法则三：积的乘方 · 符号语言：（n 是正整数） · 文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 · 核心理解：乘方的运算可以“分配”到积的每一个因式上。 · 推广： · 示例： · · （注意符号和幂的乘方） 法则四：同底数幂的除法 · 符号语言：且 m > n，m, n 都是正整数） · 文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 · 核心理解：本质是“乘方的除法”转化为“指数的减法”。 · 示例： · · 三、 四大法则的对比与总结 运算法则 符号表示 运算本质 口诀记忆 同底数幂乘法乘法 → 加法 同底相乘，指数相加 幂的乘方 乘方 → 乘法 幂的乘方，指数相乘 积的乘方分配各因式 积的乘方，分别乘方 同底数幂除法 除法 → 减法 同底相除，指数相减 核心思想：所有幂的运算法则，最终都是为了简化运算，将复杂的幂运算转化为更简单的指数间的运算（加、减、乘）。 四、 法则的推广与规定 1. 指数为零： · 根据同底数幂除法： · 另一方面，任何非零数除以它本身等于 1。 · 规定：。即：任何不等于0的数的0次幂都等于1。 · 例：，但无意义。 2. 指数为负整数（初步了解）： · 根据同底数幂除法：。 · 另一方面，。 · 规定：， n是正整数）。 · 例：。 五、 综合运算的优先级与步骤 当多个法则混合运算时，遵循以下顺序： 1. 先确定运算类型：识别题目是“积的乘方”、“幂的乘方”还是“同底数幂乘除”。 2. 遵循运算顺序： · 先算积的乘方或幂的乘方。 · 再算同底数幂的乘法或除法。 · 有括号先算括号内。 3. 化简要彻底：最终结果通常应化为最简形式： · 系数是数字。 · 字母按指数从高到低排列。 · 通常不含括号（单项式）。 通用解题步骤口诀： 一看底数，二看指数； 先乘方，后乘除； 系数计算，指数运算。 --- 六、 典型例题与易错警示 例1：基础法则应用 计算： 解： 例2：公式的逆用（重要思维） 已知 的值。 解： · （逆用同底数幂乘法） · （逆用幂的乘方） 例3：易错题辨析 1. 混淆法则： 2. 忽略符号： 3. 忽略系数： --- 一、单选题 1．下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算的基本规则；根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项以及积的乘方的性质，逐一验证各选项. 【详解】对于选项A: ∵ ，∴ 正确； 对于选项B: ∵ ，∴ 正确； 对于选项C: ∵ ，∴ 不正确； 对于选项D: ∵ ，∴ 正确； 故选：C. 2．设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 3．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：∵ ，故选：A． 4．已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握公式是解题的关键； 先利用幂的乘方法则把变为同底数幂相乘的形式，继而根据同底数幂的乘法法则得到，再根据，利用等式的性质得出，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键． 计算各表达式的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ，，，， ∴． 故选：B． 6．若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深约的小洞．数据0.0000052用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，掌握科学记数法的形式为是解题的关键． 将小数转化为科学记数法形式，确定满足的值，再根据小数点向右移动到第一个非的数字后，小数点移动了几位，就等于几，由此确定的值即可． 【详解】解：∵的小数点向右移动位得到，且满足， ∴． 故选：B． 7．若，且，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的除法法则，将已知条件、代入公式直接计算． 【详解】解：根据同底数幂的除法法则： 将、代入得： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，解题关键是熟练掌握的变形，直接代入已知值计算即可． 8．若，则，的值分别为（    ） A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．3，12 【答案】B 【分析】先根据积的乘方与幂的乘方法则，对等式左边进行化简，再通过等式两边对应字母的指数相等，建立方程求出 m 和 n 的值，最后与选项进行比对． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 且 ， ∴ ，． 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，并通过指数相等建立方程求解． 二、填空题 9．若，则 ． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 11．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法及幂的乘方的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 逆用同底数幂除法的运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（1）已知，求的值． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法法则、解二元一次方程组以及整体代入思想，解题关键是熟练运用幂的运算法则将式子变形，再结合已知条件进行整体代入或建立方程组求解． （1）先从已知条件中得到的值，再利用同底数幂的除法法则，将转化为进行整体代入求值． （2）根据同底数幂的乘法法则和除法法则，列出关于、的方程组，解出、后再计算的值． 【详解】解：（1）由，得， ∴． （2）由题意，得，， ∴， 解得， ∴． 14．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（1）已知，求的值． （2）已知，求所有满足条件的整数的值． 【答案】（1）8；（2）整数的值为或0或2 【分析】本题考查了幂的运算法则、整体代入思想以及乘方为的分类讨论思想，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）考察幂的运算法则和整体代入思想，核心是将不同底数的幂统一为同底数，再结合已知条件整体代入求值； （2）考察乘方结果为的分类讨论，需考虑“的任何次幂为”“的偶次幂为”“非零数的次幂为”三种情况，全面求解并验证条件． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． （2）①当，时，； ②当时，； ③当且为偶数时，． 综上所述，所有满足条件的整数的值为或或． 16．（1）计算：． （2）若，，用，的代数式表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方逆运算、幂的乘方，掌握逆用积的乘方公式简化计算，以及通过分解底数将未知幂转化为已知幂的技巧是解题的关键． （1）观察到与互为倒数，逆用积的乘方公式，将指数相同的部分合并，再计算剩余项； （2）将分解为，再把转化为，结合已知条件用代换，最后整理成含的代数式． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵，， ∴． 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项，掌握幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，最后合并同类项是解题的关键． （1）先对两个项分别运用积的乘方和幂的乘方法则展开，再合并同类项； （2）先计算积的乘方展开所有项，再合并同类项得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键．（1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算幂的乘方和积的乘方，然后将化为，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （3）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 19．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 20．（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）72 【分析】本题考查求代数式的值，以及同底数幂的乘方、乘法计算，熟练掌握对应公式是解题的关键． （1）将代入，可求得的值，最后求出的值； （2）由变形成，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； 解：（2）∵， ∵，， ∴， ∴． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 22．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 23．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，，， ． 24．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 25．按要求解答下列各小题． (1)已知，求的值； (2)已知，求m的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）， ， ， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $