6.3.1二项式定理 课后达标练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

聚焦二项式定理，涵盖展开式通项、系数计算、特殊项分析等核心内容，题目从基础化简（如逆用定理化简多项式）到综合应用（如三项式展开系数），形成递进式学习支架，衔接排列组合与代数运算知识。 其亮点在于通过多样题型（单选、多选、解答题）培养数学思维与眼光，如多选题考查系数绝对值之和需抽象转化，三项式系数计算需逻辑推理。解析详细，助力学生掌握解题方法，教师可借此提升课堂效率，学生能深化对定理的理解与应用能力。

6.3.1　二项式定理 一．选择题 1.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　) A.(2x+2)5 B.2x5 C.(2x-1)5 D.32x5 2.在的展开式中,x2的系数为(　　) A.- B. C.- D. 3.在的展开式中,常数项为(　　) A.5 B.10 C.-20 D.40 4.已知的展开式的第4项等于5,则x等于(　　) A. B.- C.7 D.-7 5.(多选题)关于多项式的展开式,下列结论正确的是(　　) A.各项系数之和为1 B.各项系数的绝对值之和为212 C.存在常数项 D.x3的系数为40 6.已知的展开式中,常数项为15,则n的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 7.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有(　　) A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 8.在的展开式中,若前三项的系数成等差数列,则展开式中有理项的项数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 9.若的展开式中含有常数项,则正整数n取得最小值时常数项为(　　) A.- B.-135 C. D.135 10.在(3x+2y+z)5的展开式中,xy3z项的系数为(　　) A.120 B.240 C.360 D.480 11.(多选题)对于(n∈N*),有以下四种判断,其中判断正确的有(　　) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 二．填空题 12.在(1-i)10(i为虚数单位)的展开式中,第7项为　　　　　.  13.根据二项式定理,(1+x)10的二项展开式共有　 项.  14.若(1+x)10=ai(1-x)i,则a9=　　　　　.  15.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　　.  16.设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=　　　　　.  三．解答题 17.化简:S=1-2+4-8+…+(-2)n(n∈N*). 18.已知的展开式中,第3项与第5项的二项式系数之比为2∶5. (1)求n的值; (2)求(2x+1)的展开式中含x2项的系数. 19.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数. 20.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项; (2)求n+9+81+…+9n-1的值. 21.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*). (1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项; (2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值? 6.3.1　二项式定理 一．选择题 1.D 原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 2.C 的通项为Tk+1==(-1)k22k-6x3-k, 令3-k=2,则k=1,因此x2的系数为(-1)1×2-4×=-,故选C. 3.D 由题意知Tk+1=)5-k=(-2)k, 令=0,得k=2,因此T3=(-2)2=40. 4.B T4=x4=5,解得x=-. 5.BCD 对于A,在中,令x=1,可得展开式中各项系数之和为26,所以A不正确; 对于B,的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等,在中,令x=1可得展开式中各项系数之和为212,故B正确; 对于C,展开式,其含义是6个相乘,在6个相同因式中,每个因式可取1,,-x三者其一乘到一起,所有情况相加再进行合并,于是6个因式中1,,-x各取两个时便得到常数项,故C正确; 对于D,同C选项的分析可得含x3的系数为[×(-1)3]×(×13)+(×21)×[×(-1)4]=40,故D正确.故选BCD. 6.D 展开式的通项为Tk+1=(x2)n-k·(-1)k·=(-1)kx2n-3k.令2n-3k=0,得n=k(n,k∈N*).若k=2,则n=3不符合题意;若k=4,则n=6,此时(-1)4·=15,所以n=6. 7.C Tk+1=,又k≤24,且k∈N,故当k=0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,因此x的幂指数是整数的共有5项. 8.C 二项展开式的前三项的系数分别为1,,由其成等差数列,可得2=1+,整理得n=1+,解得n=8(n=1舍去),故展开式的通项Tk+1=.若为有理项,则有4-∈Z,k可取0,4,8,故展开式中有理项的项数为3. 9.C ∵Tk+1=(3x2)n-k··(x-3)k=·3n-k··x2n-5k,∴2n-5k=0, 又n∈N*,k≥0,∴当n=5,k=2时满足题意,此时常数项为·33·.故选C. 10.D (3x+2y+z)5表示5个因式(3x+2y+z)的乘积,故它的展开式中,含xy3z的项是由其中一个因式取3x,其中三个因式取2y,剩下的一个因式取z得到的,故xy3z的系数为·3··23·=480.故选D. 11.AD 的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.故选AD. 二．填空题 12.-210 由通项公式得T7=·(-i)6=-=-210. 13.11 由二项式定理,可得(1+x)10=x0+x1+…+x10, 所以二项展开式共有11项. 故答案为11. 14. -20 15. -2 Tk+1=·(ax2)5-k·a5-k. 令10-k=5,解得k=2. 又展开式中x5的系数为-80,则有·a3=-80,解得a=-2. 16.3 由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4),即a0=1,a1=3,a2=4. 由的展开式的通项知Tk+1=(k=0,1,2,…,n).故=3,=4,解得a=3. 经检验,a=3符合题意. 三．解答题 17.解:将S的表达式改写为S=+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n =[1+(-2)]n=(-1)n. 因此S=(-1)n= 18. 解(1)因为的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为, 又第3项与第5项的二项式系数之比为2∶5,所以, 即,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故n的值为8. (2)因为展开式的通项为Tk+1=)8-k, 当=1时,解得k=2;当=2时,解得k=(舍). 所以(2x+1)的展开式中含x2项的系数为2×=14. 19.解f(x)=(1+x)m+(1+x)n=1+x+x2+…+xm+1+x+x2+…+xn. 由题设知m+n=19,又m,n∈N*,所以1≤m≤18. x2的系数为(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+171. 所以当m=9或10时,x2的系数的最小值为81, 此时x7的系数为=156. 20. 解(1)由第5项的系数与第3项的系数分别是·(-2)4,·(-2)2,又两者之比是56∶3,整理得n2-5n-50=0,解得n=10,n=-5(舍去). 因为通项为Tk+1=·(-2)k·,当5-为整数,k可取0,6,于是有理项为T1=x5和T7=13 440. (2)n+9+81+…+9n-1 =10+9+92·+…+910-1· = = =. 21. 解(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3·(1+2x)4. (1+x)3展开式的通项为xr, (1+2x)4展开式的通项为(2x)r, f(x)g(x)的展开式含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2. (2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n. 因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12, 所以+2=12,即m+2n=12,所以m=12-2n. x2的系数为+4+4(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4,n∈N*,所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $