第2讲：导数的运算8个题型归纳讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第2讲：导数的运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本初等函数的导数】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 2.本质导数公式是求导的基础所有复杂函数的求导都可分解为基本初等函数的组合 解题思路 1.识别函数类型判断函数属于哪一类基本初等函数 2.套用对应公式直接代入导数公式注意符号和系数 3.化简结果整理导数表达式确保最简形式 名师点睛 幂函数求导指数可以是任意实数如 指数/对数函数和的导数最简洁优先记忆 三角函数注意的导数带负号避免符号错误 （25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，则________经典例题1例题 （25-26高二下·全国·课堂例题）已知，则角等于（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二下·广东肇庆·月考）下面求导正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列结论中正确的有（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列说法中正确的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：导数的四则运算】 【练方法】 知识梳理 1.核心法则 和差 乘积 商（） 2.适用场景函数由两个或多个基本初等函数通过加减乘除组合而成 解题思路 1.拆分函数将函数拆分为和 2.分别求导计算和 3.套用法则根据四则运算类型代入对应法则 4.化简整理合并同类项化简导数表达式 名师点睛 乘积法则优先使用避免展开后求导的繁琐 商法则分子是“前导后不导后导前不导”顺序不可颠倒避免符号错误 多个函数相乘可多次应用乘积法则如 【多选题】（25-26高二上·江苏扬州·期末）下列说法中正确的有（   ）．经典例题1例题 A． B． C． D．已知函数在上可导，若，则 （25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导结果正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【多选题】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）下列求导数运算结果正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：间单复合函数的导数】 【练方法】 知识梳理 1.链式法则若则 2.本质从外到内逐层求导每一层都要乘以内层函数的导数 3.常见复合形式等 解题思路 1.分解复合结构识别外层函数和内层函数 2.逐层求导先求外层导数再求内层导数 3.相乘得到结果 4.回代将替换回得到最终导数 名师点睛 口诀“由外到内逐层求导层层相乘” 易错点遗漏内层导数如而是 多次复合若函数是多层复合如则需多次应用链式法则 （25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数．经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4)． （25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数.经典例题2例题 (1)； (2)； (3)； (4). （25-26高二上·河北衡水·期末）求下列函数的导数：小试牛刀1 (1) (2) (3) (4) （25-26高二上·河南郑州·期末）（1）求函数的导数．小试牛刀2 （2）利用，证明：． （3）已知函数满足，求在的导数． （25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数.小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4)； 【题型4：利用导数运算求在某点处的切线方程】 【练方法】 知识梳理 1.核心关系切线斜率 2.切线方程点斜式 3.前提点在曲线上 解题思路 1.求导函数根据函数类型用基本公式、四则运算或链式法则求 2.求斜率代入得 3.求切点计算得到切点坐标 4.写方程代入点斜式整理为一般式或斜截式 名师点睛 “在某点处”的切线该点必为切点直接用点斜式即可 若切线为水平直线若不存在切线为垂直直线 计算后可代入验证切线方程是否过该点确保正确 （山西省大同市2026届高三年级第一次模拟考试质量监测数学试题）曲线在点处的切线方程为______.经典例题1例题 （25-26高二下·全国·课堂例题）求曲线在点处的切线方程．经典例题2例题 （2026·山东菏泽·一模）曲线在点处的切线方程是______.小试牛刀1 （2026·湖北襄阳·一模）曲线在点处的切线方程为_______．小试牛刀2 （2026·广东汕头·一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程是_______.小试牛刀3 【题型5：利用导数运算求过某点的切线问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心区别“过某点”的切线该点不一定是切点需分“点在曲线上”和“点在曲线外” 2.解题关键设切点利用导数表示斜率结合点斜式和已知点坐标列方程 解题思路 1.判位置判断已知点是否在曲线上 2.设切点若点在曲线外设切点为 3.列方程切线斜率切线方程为将代入解出 4.写方程代入求出斜率写出切线方程 名师点睛 已知点在曲线上时可能存在多条切线需验证每一个解的合理性 解方程时优先因式分解避免高次方程的复杂运算 可通过画图辅助判断直观确定切线的条数和大致位置 （安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）若函数的图象与直线相切，则________.经典例题1例题 （25-26高二下·湖北十堰·开学考试）（1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值．经典例题2例题 （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知直线与函数的图象相切，则实数_____．小试牛刀1 （25-26高二下·全国·课堂例题）求过点与曲线相切的直线方程．小试牛刀2 （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 .小试牛刀3 (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【题型6：利用导数运算求公切线问题】 【练方法】 知识梳理 1.公切线定义同时与两条曲线相切的直线 2.核心条件公切线在两个切点处的斜率相等且切线方程表示形式一致 解题思路 1.设切点分别设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为 2.表斜率与方程分别写出以及两条曲线的切线方程 3.列方程令两条切线方程的斜率和截距分别相等建立方程组 4.解方程组求出进而求出公切线方程 名师点睛 公切线问题的核心是“斜率相等”和“方程同解”两个条件缺一不可 若两条曲线为二次函数可结合判别式法即切线与曲线联立后求解 注意公切线的条数可能有1条、2条或多条需全面求解 （25-26高三下·河南·开学考试）若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ）经典例题1例题 A． B． C．0 D．1 （25-26高二下·全国·课堂例题）如图，已知曲线与曲线相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求点P的坐标及a的值．经典例题2例题 （25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ）小试牛刀1 A．0 B．1 C． D． （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________．小试牛刀2 （2026高三·全国·专题练习）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ________．小试牛刀3 【题型7：导数运算法则的综合应用】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体导数运算与函数单调性、极值、切线、不等式证明等结合 2.核心思路先通过导数运算求出导函数再利用导函数的性质解决问题 解题思路 1.求导函数综合运用基本公式、四则运算、链式法则求出 2.分析导函数研究的符号、零点、单调性确定原函数的单调区间、极值点 3.解决问题利用导函数的性质解决切线、单调性、不等式证明等问题 名师点睛 求导是基础务必保证导数计算的准确性后续分析都依赖正确的导函数 复杂函数求导时分步进行先拆分再求导避免一步到位导致错误 若导函数仍较复杂可再次求导（二阶导数）分析导函数的单调性辅助判断原函数的性质 （2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为，当是原点时，定义P的“伴随点”为它自身.平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.则曲线（其中是自然对数的底数）的伴随曲线长为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ）经典例题2例题 A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． （24-25高二下·北京东城·期中）牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用．如图，设r是方程的根，选取作为r初始近似值．过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的1次近似值；过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的2次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列．这就是“牛顿迭代法”．小试牛刀1 （1）当时，r的次近似值与n次近似值的关系为：____． （2）若取作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，的2次近似值为____ (用分数表示)． （24-25高二下·北京·期中）丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·山东青岛·期中）牛顿法Newton's method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切，的方程为 ．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值，重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，若给定，则的二阶近似解（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：抽象函数的导数问题】 【多选题】（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ）经典例题2例题 A． B．的图象关于直线对称 C． D． （25-26高三上·重庆·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 _____.小试牛刀1 【多选题】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，，为偶函数，若，则（    ）小试牛刀2 A． B．4为的一个周期 C． D． （2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数，则（    ） A．2e B．3e C． D． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知车轮旋转的角度（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系为，则车轮转动开始后第10s时的瞬时角速度大小为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，其导函数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二下·浙江·开学考试）曲线的两条过坐标原点的切线与直线围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·全国·课后作业）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列导数计算正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D． 三、填空题 10．（25-26高三下·浙江·开学考试）曲线在点处的切线方程为___________． 11．（25-26高三上·江苏扬州·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.①；②当时，；③是奇函数. 12．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数，若，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是______. 13．（25-26高三上·云南曲靖·期末）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数________． 14．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 ______. 15．（25-26高三上·福建漳州·期末）直线是曲线的切线，则_____. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数与的图像都过点，且在点P处有公共切线，则________，________． 四、解答题 17．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 18．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知函数，曲线在点处的切线为. (1)若，求的方程； (2)若，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值. 19．（25-26高二下·全国·课后作业）设，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第2讲：导数的运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本初等函数的导数】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 2.本质导数公式是求导的基础所有复杂函数的求导都可分解为基本初等函数的组合 解题思路 1.识别函数类型判断函数属于哪一类基本初等函数 2.套用对应公式直接代入导数公式注意符号和系数 3.化简结果整理导数表达式确保最简形式 名师点睛 幂函数求导指数可以是任意实数如 指数/对数函数和的导数最简洁优先记忆 三角函数注意的导数带负号避免符号错误 （25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，则________经典例题1例题 【答案】 【分析】对函数进行求导后代入计算即可. 【详解】，把代入， ． 故答案为： （25-26高二下·全国·课堂例题）已知，则角等于（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再由及的范围可得答案. 【详解】由题意得， 因为，所以． 又，故． 故选：B. （24-25高二下·广东肇庆·月考）下面求导正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【多选题】（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列结论中正确的有（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据常数的导数为零，判断选项A；利用幂函数的求导法则求导判断选项B；利用对数函数的求导法则求导判断选项C；利用指数函数的求导法则求导判断选项D． 【详解】是常数，，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． （25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列说法中正确的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据初等函数的导数公式依次计算各选项即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 【题型2：导数的四则运算】 【练方法】 知识梳理 1.核心法则 和差 乘积 商（） 2.适用场景函数由两个或多个基本初等函数通过加减乘除组合而成 解题思路 1.拆分函数将函数拆分为和 2.分别求导计算和 3.套用法则根据四则运算类型代入对应法则 4.化简整理合并同类项化简导数表达式 名师点睛 乘积法则优先使用避免展开后求导的繁琐 商法则分子是“前导后不导后导前不导”顺序不可颠倒避免符号错误 多个函数相乘可多次应用乘积法则如 【多选题】（25-26高二上·江苏扬州·期末）下列说法中正确的有（   ）．经典例题1例题 A． B． C． D．已知函数在上可导，若，则 【答案】BCD 【分析】根据导数的概念结合导数的运算法则逐项验证即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，故D正确； 故选：BCD. （25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【详解】选项A∶，故选项A错误； 选项B∶，故选项B正确； 选项C∶，故选项C正确； 选项D∶，故选项D正确． 故选：BCD 【多选题】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导结果正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的四则运算一一计算即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 【多选题】（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据导数公式和导数运算法则逐一计算即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，，故C正确； 对于D，若，，故D正确. 故选：BCD 【多选题】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）下列求导数运算结果正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 【题型3：间单复合函数的导数】 【练方法】 知识梳理 1.链式法则若则 2.本质从外到内逐层求导每一层都要乘以内层函数的导数 3.常见复合形式等 解题思路 1.分解复合结构识别外层函数和内层函数 2.逐层求导先求外层导数再求内层导数 3.相乘得到结果 4.回代将替换回得到最终导数 名师点睛 口诀“由外到内逐层求导层层相乘” 易错点遗漏内层导数如而是 多次复合若函数是多层复合如则需多次应用链式法则 （25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数．经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）采用换元法，利用指数函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （2）采用换元法，利用对数函数和指数、幂函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （3）采用换元法，利用正弦函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （4）采用换元法，利用幂函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解． 【详解】（1）令，则， ． （2）令，则， ． （3）设， 则． （4）设， 则． （25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数.经典例题2例题 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】应用换元法结合复合函数求导计算求解 【详解】（1）函数可看作函数和的复合函数， . （2）函数可看作函数和的复合函数， . （3）函数可看作函数和的复合函数， . （4）函数可以看成函数的复合函数. . （25-26高二上·河北衡水·期末）求下列函数的导数：小试牛刀1 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由导数的四则运算即可求解； （2）由导数的四则运算即可求解； （3）由正弦二倍角公式化简，再由导数的四则运算即可求解； （4）由导数的四则运算和简单复合函数的求导法则即可求解 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以； （4）因为，所以. （25-26高二上·河南郑州·期末）（1）求函数的导数．小试牛刀2 （2）利用，证明：． （3）已知函数满足，求在的导数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）由导数的四则运算和简单复合函数求导法则即可求解； （2）由简单复合函数求导法则即可求解； （3）求出导函数，再令即可求解. 【详解】（1）. （2）由题设，. （3）因为，所以， 令，所以，所以， 解得. （25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数.小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合导数的运算法则及复合函数求导发法则，计算即可求解. 【详解】（1）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）解：由，根据导数的四则运算法则， 可得. （4）解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 【题型4：利用导数运算求在某点处的切线方程】 【练方法】 知识梳理 1.核心关系切线斜率 2.切线方程点斜式 3.前提点在曲线上 解题思路 1.求导函数根据函数类型用基本公式、四则运算或链式法则求 2.求斜率代入得 3.求切点计算得到切点坐标 4.写方程代入点斜式整理为一般式或斜截式 名师点睛 “在某点处”的切线该点必为切点直接用点斜式即可 若切线为水平直线若不存在切线为垂直直线 计算后可代入验证切线方程是否过该点确保正确 （山西省大同市2026届高三年级第一次模拟考试质量监测数学试题）曲线在点处的切线方程为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】先求出导函数，进而得出切线斜率，再代入求参数，最后应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为，所以，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为，即得. （25-26高二下·全国·课堂例题）求曲线在点处的切线方程．经典例题2例题 【答案】 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率即可求解. 【详解】因为， 所以当时，，即切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为： （2026·山东菏泽·一模）曲线在点处的切线方程是______.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】 ，点在曲线上，，， 所以切线方程为， 即切线方程为. （2026·湖北襄阳·一模）曲线在点处的切线方程为_______．小试牛刀2 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程. 【详解】由得,故， 所以在点处的切线方程为,即. （2026·广东汕头·一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程是_______.小试牛刀3 【答案】 【分析】求导后代入可得，即可得，从而可得，再利用导数的几何意义计算即可得. 【详解】，则， 即，故，则， 故曲线在点处的切线方程是， 化简得. 【题型5：利用导数运算求过某点的切线问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心区别“过某点”的切线该点不一定是切点需分“点在曲线上”和“点在曲线外” 2.解题关键设切点利用导数表示斜率结合点斜式和已知点坐标列方程 解题思路 1.判位置判断已知点是否在曲线上 2.设切点若点在曲线外设切点为 3.列方程切线斜率切线方程为将代入解出 4.写方程代入求出斜率写出切线方程 名师点睛 已知点在曲线上时可能存在多条切线需验证每一个解的合理性 解方程时优先因式分解避免高次方程的复杂运算 可通过画图辅助判断直观确定切线的条数和大致位置 （安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）若函数的图象与直线相切，则________.经典例题1例题 【答案】2 【详解】根据导数的意义列方程组求解即可. 因为，所以. 设切点为，由题意知，，解得. 所以. （25-26高二下·湖北十堰·开学考试）（1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值．经典例题2例题 （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求曲线在处的切线方程，再设切线方程与的图象相切于点，利用公切线即可求解； （2）设切点坐标为，利用斜率公式得，进而得，利用二次方程即可求解. 【详解】（1），，又， 曲线在处的切线方程为． 设直线与的图象相切于点， ，， 切线方程为，即， ，解得， 所以； （2）对求导得， 设切点坐标为，则过点的切线的斜率， 化简得， 依题知，关于的方程有两个不相等的实数根， ，解得或， 故实数a的取值范围是． （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知直线与函数的图象相切，则实数_____．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】设函数在点处的切线为，根据导数的几何意义列式计算可求得. 【详解】设函数在点处的切线为， 函数的定义域为. 由，得，所以， 所以，解得（舍去）或. 又，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得. 故答案为：. （25-26高二下·全国·课堂例题）求过点与曲线相切的直线方程．小试牛刀2 【答案】，． 【分析】设为切点，根据题意求出切线方程，再代入点和点求解和即可. 【详解】设为切点，则切线斜率为， 故切线方程为．① 在曲线上，．② 又在切线上， 将②式和代入①式得， 解得或， 或． 故所求的切线方程为和， 即和． （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 .小试牛刀3 (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程. （2）分点为切点和不为切点两种情况讨论可求得函数的图像经过点的切线方程. 【详解】（1）由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. （2）①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 【题型6：利用导数运算求公切线问题】 【练方法】 知识梳理 1.公切线定义同时与两条曲线相切的直线 2.核心条件公切线在两个切点处的斜率相等且切线方程表示形式一致 解题思路 1.设切点分别设公切线与曲线的切点为与曲线的切点为 2.表斜率与方程分别写出以及两条曲线的切线方程 3.列方程令两条切线方程的斜率和截距分别相等建立方程组 4.解方程组求出进而求出公切线方程 名师点睛 公切线问题的核心是“斜率相等”和“方程同解”两个条件缺一不可 若两条曲线为二次函数可结合判别式法即切线与曲线联立后求解 注意公切线的条数可能有1条、2条或多条需全面求解 （25-26高三下·河南·开学考试）若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ）经典例题1例题 A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． （25-26高二下·全国·课堂例题）如图，已知曲线与曲线相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求点P的坐标及a的值．经典例题2例题 【答案】点P的坐标为的值为． 【分析】设切点，由导数的几何意义，列出等式求出切点坐标即可求解. 【详解】设切点，由直线l与曲线相切于点P，， 得切线l的斜率为． 由直线l与曲线也相切于点P，， 得切线l的斜率为． 由，得，解得． ，即点P的坐标为． 由点在曲线上，得，解得． 点P的坐标为的值为． （25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ）小试牛刀1 A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线l与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，两边同乘 得：①， 由可得，即，代入①可得 ，即； 又由可知，， 则. 故答案为： （2026高三·全国·专题练习）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ________．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，设的切线的切点为，利用导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，由在处的切线也是曲线的切线，通过斜率相等得到，将代入得到，从而得到曲线的切线的切点坐标，又切点在切线上，代入得到. 【详解】将代入，得到，则切点为， 的导数，则， 则切线方程为，即. 的导数， 设的切线的切点为， 则， 因为在处的切线也是曲线的切线， 所以，所以，解得， 将代入得到， 则切点为，又切点在切线上，则有. 故答案为：． 【题型7：导数运算法则的综合应用】 【练方法】 知识梳理 1.综合载体导数运算与函数单调性、极值、切线、不等式证明等结合 2.核心思路先通过导数运算求出导函数再利用导函数的性质解决问题 解题思路 1.求导函数综合运用基本公式、四则运算、链式法则求出 2.分析导函数研究的符号、零点、单调性确定原函数的单调区间、极值点 3.解决问题利用导函数的性质解决切线、单调性、不等式证明等问题 名师点睛 求导是基础务必保证导数计算的准确性后续分析都依赖正确的导函数 复杂函数求导时分步进行先拆分再求导避免一步到位导致错误 若导函数仍较复杂可再次求导（二阶导数）分析导函数的单调性辅助判断原函数的性质 （2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为，当是原点时，定义P的“伴随点”为它自身.平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.则曲线（其中是自然对数的底数）的伴随曲线长为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出曲线和过原点的切线斜率，判断两切线的位置关系，再根据伴随曲线的定义（两条过原点切线之间的单位圆弧）求出伴随曲线的长度.利用导数的几何意义求切线斜率，根据点斜式得到切线方程，再结合两直线斜率乘积判断垂直关系，最后根据弧长公式求伴随曲线长. 【详解】由题意，曲线C的伴随曲线为其两条过原点切线之间的单位圆弧， 因为，，所以该函数在单调递减，在单调递增. 过原点作的切线，设切点， 由，得切线的斜率为， 直线过原点， 故，，即， 由函数与的图象在有且只有一个交点， 且当时满足方程，故方程有唯一解，则； 过原点作的切线，设切点， 由，得切线的斜率， 则切线过原点， 则有，所以，则， 则有，则两切线垂直，故伴随曲线长为. 故选：B. （2025高三·全国·专题练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ）经典例题2例题 A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算，逐项判断即可求解. 【详解】构造函数，则.取初始近似值，则， ，故选项A正确； 取初始近似值，则， ，故选项B正确； 根据题意，可知，，，， 上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确. 故选：D. （24-25高二下·北京东城·期中）牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用．如图，设r是方程的根，选取作为r初始近似值．过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的1次近似值；过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的2次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列．这就是“牛顿迭代法”．小试牛刀1 （1）当时，r的次近似值与n次近似值的关系为：____． （2）若取作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，的2次近似值为____ (用分数表示)． 【答案】 / 【分析】（1）根据题意利用归纳推理可得的次近似值与的次近似值的关系式；（2）设，求导，化简，取，分别计算即可得解. 【详解】（1）由，令，解得，同理可得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为； （2）设，是的正根，且， ， 当时，，， 故答案为：； （24-25高二下·北京·期中）丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求导法则和基本函数的导数，再根据题设定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，， 因为，所以在区间上恒成立，所以选项A不正确， 对于选项B，因为，则，， 易知在区间上恒成立，所以选项B错误， 对于选项C，因为，则，， 易知易知在区间上恒成立，所以选项C错误， 对于选项D，因为，则，， 则在上不是凸函数，所以选项D正确， 故选：D. （24-25高二下·山东青岛·期中）牛顿法Newton's method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切，的方程为 ．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值，重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，若给定，则的二阶近似解（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由新定义，结合切线方程的计算即可求解. 【详解】 由得，， 所以的方程为， 由题意可得：，，点在曲线上， ，所以切线方程为：，即， 与轴的交点横坐标记为， 故选：C 【题型8：抽象函数的导数问题】 【多选题】（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求导法则对等式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案. 【详解】令，代入到中， 得：，即：， 令，得， 而是定义域为的奇函数，所以， 所以，故A正确； 假设成立，又因为， 所以，所以为偶函数， 又已知是定义域为的奇函数， 所以对，， 与，使得矛盾，故B错误； ， 两边求导数，得， 即，故C正确； 因为是定义域为的奇函数， 所以， 两边求导得：， 又， 所以， ， 在中令，得，故D正确． 【多选题】（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ）经典例题2例题 A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性结合平移得出A，应用复合函数求导再应用赋值法计算判断B，D，根据对称性得出周期再计算函数值判断C； 【详解】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确； 又，则. 因为，则，所以， 令，得，则，所以，即，则关于直线对称， 两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误； 因为关于点对称，关于直线对称，即，， 所以，则，所以的周期； 所以，，所以， 所以 ，C选项正确； 又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反， 且，令，得，所以，，D选项正确， 故选:ACD. （25-26高三上·重庆·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 _____.小试牛刀1 【答案】 【分析】通过偶函数、奇函数的条件推导函数等式，求导后得到导数的对称与周期性质，利用周期性化简目标值并求和. 【详解】由为偶函数，得， 整理得，两边求导得①. 由为奇函数，得，令， 则， 两边求导得， 即，故. 将代入①，得， 由此得，即周期为4. ，， 由，得. 故答案为：2 【多选题】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，，为偶函数，若，则（    ）小试牛刀2 A． B．4为的一个周期 C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得周期判断A、B、C；利用周期性求函数值判断D； 【详解】因为，所以，所以关于对称， 又为偶函数，所以，所以，所以， 所以，选项A正确； 因为，又，所以， 所以，所以4为的一个周期，选项B正确； 因为为偶函数，所以，选项C正确； 因为4为的一个周期，，， 所以， 所以，选项D错误． 故选：ABC． （2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】对条件等式左右求导可判断出的对称中心，然后根据对称性可计算出结果. 【详解】因为，所以， 所以的对称中心为， 又因为， 所以， 所以 ， 故答案为：. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数，则（    ） A．2e B．3e C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时变化率的定义将所求式化成，再对函数求导代值计算即得. 【详解】由求导得， 由. 故选：C. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的导数公式进行求解. 【详解】. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知车轮旋转的角度（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系为，则车轮转动开始后第10s时的瞬时角速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，然后将代入导函数计算即可求出结果. 【详解】因为，则，则. 即车轮转动开始后第10s时的瞬时角速度大小为 故选：B. 4．（25-26高二下·山东滨州·开学考试）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据初等常见函数的求导公式以及求导法则和复合函数的求导法则，一一判断各选项即可. 【详解】由于为常数，故，故A错误； 而，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，其导函数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别计算与的值，代入可得结果. 【详解】， 所以为偶函数，所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C. 6．（25-26高二下·浙江·开学考试）曲线的两条过坐标原点的切线与直线围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的几何意义分别求出和时过原点的切线方程，联立直线方程，得到两切线的交点，再令，求出两条切线与的交点，即可求得两条切线与直线围成的三角形面积. 【详解】设，则有，则， 当时，设切点为， ， 所以切线方程为， 因为切线过原点，则有，解得， 所以切线方程为，即， 当时，设切点为， ， 所以切线方程为， 因为切线过原点，则有，解得， 所以切线方程为，即， 将代入到，则其交点为， 将代入到，则其交点为， 则有，所在的直线的方程为， 又两切线的交点为，易得点到直线的距离， 则， 即两条切线与直线围成的三角形面积为. 7．（25-26高二下·全国·课后作业）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的条件，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出的值，再比较大小即可选出正确选项. 【详解】若，则，由，又， 解得，即． 若，则，由，令， 函数为增函数，，，故． 若，则，由，得，故． 综上，． 故选：B 二、多选题 8．（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列导数计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 9．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABC 【分析】由导数的四则运算及初等函数导数逐项判断即可. 【详解】因为，所以A错误； ，而，所以B错误； ，所以C错误； ，所以D正确. 故选：ABC 三、填空题 10．（25-26高三下·浙江·开学考试）曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，由直线的点斜式方程求解即得. 【详解】对求导得 依题意，可得 故所求切线方程为 ，即. 11．（25-26高三上·江苏扬州·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.①；②当时，；③是奇函数. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则， 所以，满足①， ，当时，有，满足②， 的定义域为，又， 故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 12．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数，若，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出在P处和在Q处的切线方程，以及M，N两点坐标，从而可得，令，设，，利用单调性求得，即可得解. 【详解】当时，，， ∵，∴， ∴在P处的切线方程为，即， 令可得，∴； 当时，，，所以，， 所以在Q处的切线方程为：，即， 令可得，∴， ∵两条切线互相垂直，∴， ∴，∴， 令，，设， 因为在上单调递增，∴，即，所以. 故答案为： 13．（25-26高三上·云南曲靖·期末）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合导数的运算法则和常见函数的导数进行求解即可. 【详解】对于， 当时,， 又，所以，切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 令，则，设切点，由，解得， 则． 故答案为： 14．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 ______. 【答案】 【分析】利用导数求得曲线在处的切线斜率，根据两条直线垂直，斜率乘积为，求得的值. 【详解】函数，. 求导得,， 故曲线在处的切线斜率为. 由，得，所以其斜率为. 所以，解得 . 故答案为：. 15．（25-26高三上·福建漳州·期末）直线是曲线的切线，则_____. 【答案】1 【分析】设切点为，进而根据几何意义求得切点，再将切点坐标代入直线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，直线的斜率为， 所以，解得，代入曲线得，， 所以切点为，代入直线方程得，， 故答案为： 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数与的图像都过点，且在点P处有公共切线，则________，________． 【答案】 【分析】根据点在函数图象上代入求参数得出，再根据公切线得出斜率相等即可求解参数，得出解析式. 【详解】因为的图像过点，所以， 所以，所以． 因为的图像过点，所以． 又， 所以，所以，所以． 综上可知，． 故答案为：． 四、解答题 17．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出的值. （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切点，进而求出切线的斜率即可. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，所以； （2）设曲线过原点的切线的切点为，则， 原点不在曲线上，于是，解得， 当时，；当时，， 所以曲线过原点的切线方程为或． 18．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知函数，曲线在点处的切线为. (1)若，求的方程； (2)若，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求，求导数，然后得，由点斜式求得切线方程； （2）求，，然后写出切线方程，即可求得横纵截距，从而表示出与坐标轴围成的三角形面积，由基本不等式求得面积的最小值. 【详解】（1）当，则函数，则， ，∴， ∴，即， （2），则， ， ∴，即， 令，则，令，则， 令与坐标轴围成的三角形面积为， 则， ∵，则， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴与坐标轴围成的三角形面积的最小值为. 19．（25-26高二下·全国·课后作业）设，求． 【答案】 【分析】求出导函数，写出，然后由错位相减法求和可得. 【详解】由题设， 所以，① ．② 得， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $