精品解析：广东省佛山市顺德区2026届高三二模数学试题

高三数学 2026.03 共4页，19小题，满分150分，用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，而， 所以. 2. 复数 满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以 . 3. 等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列中，由，得， 则，即 ，所以公差. 4. 已知平面上两点，若，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解. 【详解】设的坐标为 且平面上两点，又， 则，且， 所以，即得 则的坐标为. 5. 设直线与圆交于两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由圆，即，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以. 6. 函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，， ， 因为曲线与都经过原点， 所以，， 则，且， 又因为曲线与正好关于轴对称， 所以， 则，即， 联立，则，即， 则. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义确定函数 的奇偶性，再变形不等式，借助指数函数单调性求解. 【详解】当时，，；当时， ，； ，则当时，，即函数 是R上的偶函数， 不等式， 整理得，解得，所以原不等式的解集为. 8. 设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D. 2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 10. 定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】令 ，则，化简得，又，，故A正确， 令 ，，化简得，又，，故B正确， 令 ，则，化简得，故为奇函数，故C错误. 令，则，化简得， 又，， 再令，则， 又为偶函数，，又为奇函数，， 故化简得， ，解得，故D正确. 11. 已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线 为的内角平分线，过作于点 ，则（ ） A. 当轴时，点在直线 上 B. 当轴时，点 在轴上 C. 点 在圆上 D. 直线 与双曲线的公共点只有1个 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分​，对A、B，写出直线方程代入求解即可；对C，求出 是的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对D，利用双曲线的几何性质判断即可 【详解】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分​，因此直线即为双曲线在点处的切线 对A，当轴时，不妨设点坐标为 双曲线在点的切线（即角平分线 ）方程为：， 将原点代入方程得，因此点不在直线l上，故A错误 对B，求得 的方程为，，，的方程为， 联立得交点，横坐标为0，故 在轴上，B正确 对C，延长交于，因为 是角平分线且， 所以是等腰三角形，， 是中点， 又是中点， 是的中位线， 因此：  即， 故 在圆上，C正确 对D，因为直线  即为双曲线在点处的切线，所以直线 与双曲线的公共点只有1个，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且是第一象限角，则___________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得，又是第一象限角，解得， 所以. 13. 已知为坐标原点，椭圆与抛物线有共同的焦点，且在第一象限相交于点，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】联立曲线方程，求得，然后将代入得出，化简整理即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，依题意可得， 因为， 由，解得，即， 所以，即，即， 所以，解得， 所以. 14. 在平面四边形中，．将沿翻折到，若三棱锥的外接球半径是2，则二面角的正弦值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用球面的性质及二面角的定义求解. 【详解】在三棱锥中，取中点，为的外心， 由，得，在线段上，且， 由 ，得是的外心，令三棱锥的外接球球心为， 则 平面 ，平面，而，则， 显然平面，则平面， 令平面平面，则是二面角的平面角， 且，而，则， 所以二面角的正弦值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象经过． （1）求函数的表达式； （2）在中，角所对的边为 ．已知，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点计算求解参数，得出解析式即可； （2）应用三角函数值得出，再结合两角和正弦公式及正弦定理得出，最后应用特殊角三角函数值计算求解. 【小问1详解】 函数的图象经过，所以， 所以，且， 所以，所以， 即得； 【小问2详解】 在中，，所以， 且，且，所以 ，即， 所以，即得， 由正弦定理，所以， 所以，即得， 所以， 即得，， 所以， 所以. 16. 现有一枚质地均匀的骰子，6个面中有3个面的点数是1，有2个面的点数是2，还有1个面的点数是4．掷骰子次，且每次掷骰子相互独立． （1）记第一次朝上的点数为，求的分布列和数学期望； （2）记4次朝上的点数之积为，求． 【答案】（1） 1 2 4 ； （2） 【解析】 【小问1详解】 依题意，的可能取值为，， 所以的分布列为 1 2 4 数学期望. 【小问2详解】 依题意，的事件是以下3个互斥事件的和，4次正面朝上的点数都是2的事件； 4次正面朝上的点数中1次为1，2次为2，1次为4的事件； 4次正面朝上的点数中2次为1，2次为4的事件， ， 所以 17. 如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且． （1）证明：平面； （2）已知圆柱的体积为， ，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1） 在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得 平面，而平面，则， 又平面，所以平面. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出；（ii）求出平面 的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为， ，得， 解得，则 ，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， ，由点到直线的距离是1， 得，则，而 ，解得， 所以. （ii），，设平面 的法向量为， 则，取，得，设直线与平面 所成的角为 ， 则， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆 的左顶点 ，上顶点． （1）求椭圆的方程和直线的方程； （2）过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点 ，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） ，； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而求出点 的坐标，再利用斜率坐标公式计算得证；（ii）由（i）求出点坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最大值. 【小问1详解】 由椭圆的左顶点 ，上顶点，得 ， 所以椭圆的方程为 ，直线的方程为. 【小问2详解】 （i）直线斜率存在，设其方程为，点 由，得，则， 解得，即点， 直线交直线于点， 由点是线段的中点，得点， 因此直线的斜率，即， 所以直线的斜率之和为定值. （ii）由（i）同理得，， 点到直线的距离， 则的面积， 显然，，令， ，求导得， 当时， ；当时， ，函数在上递增，在上递减， 当时，，所以面积的最大值为. 19. 已知函数， （1）若，讨论的单调性； （2）若，记为在区间，上的零点． （i）证明：数列为等比数列； （ii）对任意，比较与的大小． 【答案】（1）在 上单调递减，在 上单调递增 （2）（i）由，，， 则， 令 ，得 ， 即 ， 则 ，其中 ，， 又 ，则，， 所以， 又 ，则， 所以， （ii） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性； （2）（i）求导，结合题设可得 ，结合同角三角函数的基本关系可得，易得，进而得到，即可求证； （ii）结合（i）可得，进而构造函数 ，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当时， ， 则， 由于 ，则时， ，即 ， 时， ，即 ， 则函数在 上单调递减，在 上单调递增. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，，， 则， 因此，而， 设 ，， 则，所以函数 在上单调递减， 则，即 ， 则， 即， 由，则，即， 则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 2026.03 共4页，19小题，满分150分，用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知平面上两点，若，则 的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设直线与圆交于两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 函数的图象向右平移得到曲线，的图象向左平移得到曲线，若曲线与正好关于轴对称，且都经过原点，则 （ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D. 2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 10. 定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 若，则 11. 已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在 上，直线为的内角平分线，过作于点，则（ ） A. 当轴时，点在直线上 B. 当轴时，点在轴上 C. 点在圆上 D. 直线与双曲线 的公共点只有1个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且是第一象限角，则___________． 13. 已知为坐标原点，椭圆与抛物线有共同的焦点，且在第一象限相交于点，若，则___________． 14. 在平面四边形中，．将 沿翻折到，若三棱锥的外接球半径是2，则二面角的正弦值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象经过． （1）求函数的表达式； （2）在 中，角所对的边为 ．已知，求 ． 16. 现有一枚质地均匀的骰子，6个面中有3个面的点数是1，有2个面的点数是2，还有1个面的点数是4．掷骰子次，且每次掷骰子相互独立． （1）记第一次朝上的点数为，求的分布列和数学期望； （2）记4次朝上的点数之积为，求． 17. 如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且． （1）证明：平面； （2）已知圆柱的体积为， ，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面 所成角的正弦值． 18. 已知椭圆 的左顶点 ，上顶点． （1）求椭圆的方程和直线的方程； （2）过椭圆上异于的点 作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 19. 已知函数， （1）若，讨论的单调性； （2）若，记为在区间，上的零点． （i）证明：数列为等比数列； （ii）对任意，比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $