第11章 二次根式复习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2026年春八年级数学下册导学案(11-8) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：第11章 二次根式复习 复习目标： 理解二次根式的概念和性质，并熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则。 复习重点：二次根式的概念及其运算. 复习难点：二次根式的混合运算. 1、 本章知识网络： 二、要点梳理： 1、二次根式的概念： 一般地，我们把形如的式子叫作二次根式(quadraticradical)，a可以是一个数， 也可以是一个代数式，当a是一个非负数时，表示a的算术平方根。 （1）二次根式有意义的条件：被开方数是一个非负数。 （2）二次根式无意义的条件：被开方数是一个负数。 （3）二次根式双重非负性： 二次根式的双重非负性是指二次根式中被开方数非负，算术平方根非负。 2、二次根式的性质： （1）当时，；（2）； 3、二次根式的运算与化简： （1）二次根式的乘法法则： 。 拓展：； 积的算术平方根的性质（即二次根式的乘法公式的逆运用）：。 化简二次根式运算的结果中，被开方数中应不含能开得尽方的因数或因式。 （2）二次根式的除法法则： 商的算术平方根的性质：（常用于二次根式的化简）。 （3）分母有理化：使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 （4）最简二次根式：化简二次根式实际上就是使二次根式满足： ①被开方数中不含有分母；②分母中不含有根号；③被开方数中不含能开得尽方的因数， 因式的次数等于1；这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式。 （5）同类二次根式： 经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。 （6）二次根式的加减法运算步骤: 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。 （7）二次根式混合运算要求： 二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并； 运算律同样适用于二次根式的运算；计算结果要最简。 进行二次根式的混合运算时，一般需要综合运用二次根式的乘除法性质、分母有理化方法和整式 运算的法则、公式和运算律。 三、问题研讨： 例1、认真选一选： （1）在函数中，自变量x的取值范围是 （　 　） A、x≥－1且x≠2　　　B、－1≤x≤2　　　C、－1≤x＜2　 D、x＜2 （2）已知，则的值为 （ ） A、 　　 B、 　　 　 C、2025　 D、2020 （3）设为的小数部分，b为的小数部分， 则的值为（ ） A、 　　B、　 C、 D、 例2、计算 （1）；（2）；（3） 例3、（1）已知，求的值。 （2）先化简，再求值：，其中。 例4、如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上， 求：（1）△ABC的面积；　　 （2）△ABC的周长； （3）点C到AB边的距离。 例5、(1)已知正整数n满足不等式 求n的最大值与最小值之差； (2)已知,求代数式的值 (用含a的代数式表示). 4、 拓展提高： 1、已知a＝6＋，b=1＋，c＝3＋，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为 。 2、已知实数x,y满足=1,求证:x+y=0。 3、若求x的值. 五、强化训练： 1、下列二次根式：中与是同类二次根式的个数为 （　　） A、1个　　　B、2个　　　C、3个　　　D、4个 2、下列根式中，与是同类二次根式的是 （　 ） A、　　　B、　　　　C、　　　　D、 3、若代数式的值是常数2，则a的取值范围是 （　　） A、a≥4　　　B、a≤2　　　C、2≤a≤4　　　D、a＝2或a＝4 4、在函数中，自变量x的取值范围是 。 5、计算：= 。 6、化简：（1）； （2）。 7、计算： （1）； （2）；（3）。 8、先阅读下列材料，再解答问题。 材料:数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m.n.使,且mn=b.则可变形为从面达到化去一层根号的目的. 例如: . 仿照上例完成下面各题: (1)填空: ； (2)化简: . 解答： 三、问题研讨 例1、（1）A （2）B （3）B 例2、解：（1）1；（2）；（3） . 例3、解：（1）∵，∴ (， ∴13+2，即 = （2）当时，∴x＞0，y＞0。 。 例4、解：（1）运用“割补法”可知△ABC的面积为9-（；　 （2）∵AB=, ∴△ABC的周长为； （3）如图，点C到AB边的距离CD为2S△ABC÷AB=2×3.5÷。 例5、解：（1）∵ ∴ ∴解得，又∵n为正整数，所以n最小值为64，最大值为79， ∴n的最大值与最小值之差为15. （2） ∵，∴ ∴原式=（. 四、拓展提高： 1、19 2、证明：∵=1 ∴ （1） 同理 （2） （1）+（2）得 x+y=-x-y, 2x+2y=0,∴x+y=0 3、解： 设，∴ b-a=2 由得，； 五、强化训练： 1、B 2、A 3、C 4、且x≠3 5、 6、解：（1） = （2）设。 。 7、解：（1）=； （2）=； （3）=。 8、(1) ； (2) . 学科网（北京）股份有限公司 $