精品解析：浙江省强基联盟2026年3月高三联考数学试题

浙江强基联盟2026年3月高三联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知，所以直线的斜率为． 2. 已知i为虚数单位，下列各式的运算结果中，虚部为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，虚部为零，故A错误； 对于B，，虚部为，故B错误； 对于C，，虚部为零，故C错误； 对于D，因为，虚部为，故D正确. 3. 某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ ） A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 【答案】B 【解析】 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 4. 已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为，，由面面垂直的判定定理可得．选项D正确. 5. 若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对进行变换可得，再结合两角差的正切展开公式求解. 【详解】因为， 所以． 6. 在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（ ） A. 210% B. 100% C. 97.3% D. 70% 【答案】C 【解析】 【详解】因为一枚都没拦截成功的概率， 所以至少一枚拦截成功的概率为． 7. 已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 8. 在平面直角坐标系中，曲线上的点列满足：以为圆心的圆与轴相切，且．若与外切，则为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知以为圆心且与轴相切的圆方程为． 由题意可得满足曲线，所以， 因为与外切，所以． 两边平方整理得， 所以．两边除以，得， 所以为等差数列．于是，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题，共1．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上投影向量的模为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共线，垂直以及模长公式的坐标公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，若，在上的投影向量为， 于是在上的投影向量的模为，故C选项正确； 对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确． 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的值域相同 B. 与的奇偶性相同 C. 与有相同的零点 D. 与在上的单调性相同 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，，， 于是的值域为，的值域为，故A选项不正确； 对于B选项，，所以为偶函数， ，所以为偶函数，故B选项正确； 对于C选项，由于的值域为，所以没有零点， 令，得，所以，．故C选项不正确； 对于D选项，因为在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在单调递减， 因为在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在单调递减，故D选项正确． 11. 已知曲线C由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上两点之间的距离的最大值为8 C. 曲线C所围成的图形的面积等于16 D. 曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】计算可得关于点中心对称，曲线C的关于轴对称，作出示意图，逐项判断可得每个选项的正误. 【详解】设， 因为， . 所以曲线C在第一象限的图像关于点中心对称， 又， 又在上单调递减，所以在上单调递减， 故的图像如图所示， 在方程和将代换， 方程不变，所以曲线关于轴对称， 当时，方程为， 当时，方程为，故曲线如图所示， 由图可得曲线C上两点之间的距离的最大值为8，故A错误，B正确； 对于C选项，由对称性可知，图中区域1与区域2的面积相等，所以C正确； 对于D选项，如图三块区域绕x轴旋转所得几何体的体积分别为，，， 由于，区域1和区域3旋转后构成一个三棱锥， 由锥体的体积公式可得， 所以， 的部分旋转一周后得到一个三棱锥，体积为， 所以曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积小于故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题，共1． 12. 已知数列满足：，，．则数列的通项公式可以是_____________．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可知数列为递减数列，再结合已知项求解符合条件的数列即可. 【详解】由，可知数列为递减数列，当时，验证如下， 符合题意， ，故通项公式可以是. 13. 已知为奇函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，解得， 当，，不为奇函数，不合题意舍去． 当时，，即，为奇函数，符合题意， 所以． 14. 已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解法一：， 所以，或， 所以为直角三角形， 当时， ，其中， 所以当，的最大值为； 当时，同理可得的最大值为； 当时，． 综上的最大值为． 解法二：先降次再用和差化积，由题知， 所以．进而， 所以， 即． 化简得，于是为直角三角形． 下同解法一． 四、解答题：本题共5小题，共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助等腰三角形中线性质与线面垂直性质定理可得、，再利用线面垂直判定定理可得平面，即可得证； （2）法一：利用几何法，作出平面与平面夹角，再借助勾股定理与余弦定义计算即可得；法二：利用空间向量法，建立适当空间直角坐标系后，求出两平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，、平面， 所以平面，又因为平面，所以； 【小问2详解】 法一：如图，过作于，连接， 由（1）知，又因为，、平面， 所以平面，所以就是平面与平面的夹角， 因为平面，平面，所以， 因为， 则， ，则， 则， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 法二：以为原点建立如图所示的坐标系， 则，，，， 由轴平面，则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由题意，可得平面的一个法向量为， 所以， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 16. 2025年11月，全国多地中小学推行“秋假”政策，直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多中小学生游客，选取拟定价格开展门票定价试运行，相关数据如下表所示： 门票价格x（元/人） 40 50 60 70 80 日游客人数y（千人） 18 17 13 7 5 （1）已知y与x具有线性相关关系，求出y关于x的经验回归方程； （2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元/人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中y是当门票为10（元/人）时，根据（1）中的经验回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时才能使日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-日均广告费） 参考公式：经验回归方程，． 【答案】（1） （2）当门票定价为10元时，日广告费用为4千元时门票净收入最大 【解析】 【分析】（1）根据公式求得，可求得y关于x的经验回归方程； （2）设门票净收入为，结合（1）可得，进而利用，可求解. 【小问1详解】 由题意得：，， ，， ，， 关于x的经验回归方程为． 【小问2详解】 设门票净收入为，则，由（1）时，， 故， 若要使最大，则，代入可得，又因为，故， 所以当门票定价为10元时，日广告费用为4千元时门票净收入最大． 17. 设点沿的圆周按逆时针方向旋转角后到点． （1）当时，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的三角函数公式写出点的坐标表达式，进而得到的三角函数式并计算.（2）利用点在圆上的条件将转化为关于的表达式，再根据的范围，利用三角函数和二次函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 设射线与x正半轴的夹角为，则，， 由三角函数定义可知，， 因为，则， 所以． 【小问2详解】 由题知， 由，，可知初始位置，即， 得， 终边位置，即，即， 由（1）知，所以，所以当，取得最小值， 所以n的取值范围为， 因为在上单调递增，上单调递减， 所以当时，， 由， 可知时， 所以的取值范围为． 18. 已知是双曲线上垂直于实轴的动弦，，为双曲线的左、右顶点，直线与相交于点P，点P形成的曲线为C． （1）若过双曲线的右焦点，求； （2）求曲线C的方程； （3）已知动直线与曲线C交于，两点，，为直线l上的另两点，点F的坐标为，且，，O为坐标原点，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 联立得， ，，， 所以， 因为在曲线C上，所以， ， 因为，所以； 设中点为E，要证，只需证，即证， 又由，以及（2）得， 所以， ， 即， ， 所以，所以． 【解析】 【分析】（1）先求出焦点坐标，再代入标准方程即可求出； （2）设及，，再写出直线和直线的方程并两式相乘，化简即可求出； （3）联立得到，再求出，设中点为E，进而求得，最后利用即可求出. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为， 由对称性不妨设，，所以． 【小问2详解】 设及，，又，， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 两式相乘得，又因为点，在双曲线上， 所以，代入化简得，所以曲线C的方程为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，（e为自然对数的底数，） （1）证明：当时，； （2）关于x的方程的一个实数根为，其中， ①求实数a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，利用导数可判断的单调性，证明最大值小于0即可； （2）①由题意得，令，可得，构造函数，可求得实数a的取值范围；②法一：利用分析法可证，利用分析法结合一元二次方程的根的求法可证.法二：利用分析法要证，可证即可；要证，结合，只需，构造函数证明即可. 【小问1详解】 设，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增； 因为，， 所以时恒成立，即． 【小问2详解】 ①由得，两边取对数得， 令，则，，从而有； 设，．则； 所以，在上单调递增； 因为，，； 故实数a的取值范围． 方法一：②要证，只需证， 因为，，要证，只需证时，， 只需证．上式显然成立； 要证，只需证， 因为，所以，由（1）知时，， 所以，即，解得，所以； 于是成立． 方法二：②要证，只需证， 因为，只需证，只需证，上式显然， ，要证，只需证， 因为，故只需证，只需证， 两边平方，消去a，只需证， 注意到，所以只需证，只需证， 只需证， 构造函数，，则， 当时，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 又，， 所以在的最大值小于0，故成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2026年3月高三联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知i为虚数单位，下列各式的运算结果中，虚部为1的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ ） A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4. 已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（ ） A. 210% B. 100% C. 97.3% D. 70% 7. 已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，曲线上的点列满足：以为圆心的圆与轴相切，且．若与外切，则为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题，共1．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上投影向量的模为 D. 若，则 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的值域相同 B. 与的奇偶性相同 C. 与有相同的零点 D. 与在上的单调性相同 11. 已知曲线C由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C上两点之间的距离的最大值为8 C. 曲线C所围成的图形的面积等于16 D. 曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题，共1． 12. 已知数列满足：，，．则数列的通项公式可以是_____________．（写出一个符合要求的答案即可） 13. 已知为奇函数，则_____________． 14. 已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 2025年11月，全国多地中小学推行“秋假”政策，直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多中小学生游客，选取拟定价格开展门票定价试运行，相关数据如下表所示： 门票价格x（元/人） 40 50 60 70 80 日游客人数y（千人） 18 17 13 7 5 （1）已知y与x具有线性相关关系，求出y关于x的经验回归方程； （2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元/人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中y是当门票为10（元/人）时，根据（1）中的经验回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时才能使日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-日均广告费） 参考公式：经验回归方程，． 17. 设点沿的圆周按逆时针方向旋转角后到点． （1）当时，求的值； （2）若，求的取值范围． 18. 已知是双曲线上垂直于实轴的动弦，，为双曲线的左、右顶点，直线与相交于点P，点P形成的曲线为C． （1）若过双曲线的右焦点，求； （2）求曲线C的方程； （3）已知动直线与曲线C交于，两点，，为直线l上的另两点，点F的坐标为，且，，O为坐标原点，证明：． 19. 已知函数，（e为自然对数的底数，） （1）证明：当时，； （2）关于x的方程的一个实数根为，其中， ①求实数a的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $