4.3.2等比数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 课时1 等比数列的前 n 项和公式 第四章 数列 等比数列的定义和通项公式： 等比数列的定义： 等比数列的通项公式： 复习导入 国际象棋起源于古印度。相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨，问他想要什么。这位宰相说： 陛下请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。 新课导入 3 问题： 国王一共应该给他多少颗麦粒？ 第 2 格： 2 第 1 格： 1 第 4 格： 23 第 3 格： 22 第 63 格：262 第 64 格：263 …… 知识讲解 4 问题实质：如何计算 ？ 首项为1，公比为2 共 64 项 S64 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 22 ＋···＋ 262 ＋ 263 ① 2S64 ＝ 2 ＋ 22 ＋ 23 ＋···＋ 263 ＋ 264 ② 两边同时乘以 2 得， 由②－①得： 知识讲解 5 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则{an}的前 n 项和是： Sn ＝ a1＋ a2 ＋ a3 ＋···＋ an– 1 ＋ an Sn ＝ a1 ＋ a1q1＋ a1q2 ＋···＋ a1qn – 2＋ a1qn – 1 ① qSn ＝a1q1＋ a1q2 ＋a1q3 ＋··· ＋ a1qn – 1 ＋ a1qn ② 由 ① – ② 得：Sn – qSn ＝ a1 － a1qn， 即：(1－q) Sn＝a1(1－qn)； 消除中间项 知识讲解 6 当1－q≠0 时，即q≠1时，上式两边除以(1－q)，得 当1－q＝0 时，即q＝1时， 知识讲解 (一) 等比数列的前n项和公式 特别的， 当q=1时，Sn=na1 已知首项 a1，项数 n 与公比 q，则 已知首项 a1，末项 an 与公比 q，则 知识讲解 8 问题解决 ＝？ 按每年7亿吨计算，要用1000多年才能满足西萨的要求，如果按人均每天吃______粮食计算，此棋盘上的粮食可供全世界___亿人吃上约____年. 1千克 80 240 所以，国王兑现不了他的承诺. 9 判断对错: n个 5n 知识讲解 例1 已知数列{an}是等比数列. (1)若a1＝1，q＝2，求 S8 ； (2)若a1＝2，q＝1，求 S2026； (3)若a1＝4，q＝2，Sn＝124，求 n. 解：(1)因为 a1＝1，q＝2，所以 S8 ＝ ＝28 – 1； (2)因为 a1＝2，q＝1，所以 S2026＝2026×2＝4052； (3)把 a1 ＝4，q＝2，Sn ＝124 代入 Sn＝， 得 124＝4(2n – 1)，解得 n＝5. 知识讲解 练1 已知数列{an}是等比数列，若 a1 = – 1，a4 = 64，求 q 与 S4 . 解：因为 a1 = – 1，q = 2，所以 a4 = a1· q4 – 1 = – q3 = 64， 解得 q = – 4； 所以 S4 = = 51. 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 C 当堂检测 16 例2 设等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn，已知 a2 = 6，6a1 + a3 = 30. 求 an 和 Sn . 解：设等比数列{an}的公比为 q，则 a2 = a1·q，a3 = a1·q2， 解得 或 ； 又 a2 = 6，6a1 + a3 = 30，所以， 当 a1 = 2，q = 3 时，an = 2×3n – 1，Sn = 3n – 1； 当 a1 = 3，q = 2 时，an = 3×2n – 1，Sn = 3×2n – 3. 知识讲解 例2 已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若 求公比q. 知识讲解 C 当堂检测 19 当堂检测 20 当堂检测 21 （1）等比数列的前n项和 （2）等比数列求和时，应考虑 与 两种情况. 课堂总结 22 练2 在等比数列{an}中： (1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，求a1和公比q. 解：(1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，∴a5＝a1q4，∴16＝q4，∴q＝2(负舍)，∴S7＝eq \f(a11－q7,1－q)＝eq \f(1－27,1－2)＝127. 练2 在等比数列{an}中： (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，求a1和公比q. （2）由公式Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)及条件得189＝eq \f(a1－96×2,1－2)，解得a1＝3 ∴a1(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)，即eq \f(\f(3,2),q2)(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)，解得q＝－eq \f(1,2)(舍去q＝1)，∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝eq \f(3,2). 综上得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝6，,q＝－\f(1,2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝\f(3,2)，,q＝1.)) 练2 在等比数列{an}中： (3)若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，求a1和公比q. (3)①当q≠1时，S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(9,2)，又a3＝a1·q2＝eq \f(3,2)， 1．数列{2n－1}的前99项和为(　　) A．2100－1　　　　　　　　 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 解析 数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2， 故其前99项和为S99＝eq \f(1－299,1－2)＝299－1. 练3.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( ) A. 2 B. 4 C. D. 解：∵S4＝，a2＝a1q，∴＝＝. 即2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得2q2＋q＝0，∴q＝－eq \f(1,2)(q＝0舍去)． 练4 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解：(1)∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2， 显然{an}的公比q≠1，于是eq \f(2a11－q3,1－q)＝a1＋eq \f(a11－q2,1－q)， 练4 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. (2)∵q＝－eq \f(1,2)，又a1－a3＝3，∴a1－a1·(－eq \f(1,2))2＝3，解得a1＝4. 于是Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq \f(8,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)). $