4.3.2 等比数列的前n项和公式（7大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．（24-25高二下·北京·期中）设等比数列的前n项和为．若，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，由于，所以， 则由公式可得， 解得，所以， 故选：B 2．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知数列是等比数列，若，公比，则的前8项和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖北·期中）化简 . 【答案】 【解析】. 4．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知为等比数列，，，那么的公比为 ，数列的前5项和为 . 【答案】 /0.5 31 【解析】设等比数列的公比为，因为，， 可得，解得， 又由，且，所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 则数列的前项和为． 题型二 等比数列前n项和的基本量计算 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等比数列单调递减，前n项和，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在等比数列中，设首项为， 因为等比数列单调递减，所以， 因为，所以， 则，化简得， 解得或（舍去），故选项C正确. 故选：C 2．(多选)（25-26高三上·河南新乡·阶段练习）公比为q的等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得， 两式作比可得，解得，故B错误； 由，则解得，故A正确； 所以等比数列的通项公式，前项和公式. 可得，故D错误；，故C正确. 故选：AC. 3．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 【答案】（1），（）；（2）． 【解析】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，d， 由题意，，解得，， 所以，（）， 即数列的通项公式为，（）. （2）依题意， 由于，所以两式相除得，则， 所以，可得，故， 所以，可得. 4．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【解析】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 题型三 等比数列前n项和的性质 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【解析】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【解析】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 3．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）记为等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【解析】因为，， 又数列为等比数列，由等比数列的性质知，成等比数列， 则，得到， 所以. 5．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【解析】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 6．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 题型四 等比数列前n项和的函数特性 1．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 2．（23-24高三上·北京大兴·期中）等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】“若为递增数列，则”为假命题， 所以若为递增数列，则， ，则， 等比数列为递增数列，且，则和公比，满足题意. 题型五 等比数列前n项和的实际应用 1．（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 2.(2025河南安阳高二上期末)洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解析】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为，则，公比，所以，所以，所以第4层“浮雕像”的数量为.故选C 题型六 与的关系——等比数列 1．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 2．（24-25高二下·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·陕西·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1). (2). 【解析】（1）当时，， 数列是等比数列，满足， ，解得. （2）由（1）可知，， ， ，解得. 题型七 与等比数列有关的数列求和 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由题可知，①， ②， ①-②得， 即. 当时，由①知， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可知，，所以. 所以. 2．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 1．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C．31 D． 【答案】C 【解析】因为数列是各项均为正数的等比数列，且， 故，联立可得，化简可得， 解得或， 当时，,不符合题意，舍去； 当时，， . 故选：. 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解析】由题可设正项等比数列的公比为， 则， 当且仅当即时等号成立. 所以的最大值为2. 故选：B 3．（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解析】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 4．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴. 故选：C. 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，所以， 所以成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列， 所以. 故选：D. 7．（23-24高三上·辽宁·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【解析】由可知中一个大于1，一个小于1，结合，可知，又，故， 故公比，A错误， ，故B错误， 可知，故无最大值，的最大值为，C错误，D正确， 故选：D 8．(多选)（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 【答案】ACD 【解析】对于A，，所以，故，又， 所以为等比数列，故A正确， 对于B，，，所以为等比数列， 且公比为，首项为1，故是递减数列，故B错误； 对于C，，所以为公差为1的等差数列，故C正确， 对于D， 又， 所以，成等比数列，故D成立， 故选：ACD 9．(多选)（2025高三·全国·专题练习）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为， 因为，所以，且或， 即或. 当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误； 因为，所以， 所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误； 又，且， ①当时，由于， 则，， 所以有最小值，最大值； ②当时，， 所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值； 综上所述，有最小值，C错误，D正确． 故选：D. 10．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）设公比为的等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【解析】因为是公比为的等比数列， 故， 所以，故. 11．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和为.若，则公比的取值范围为 . 【答案】 【解析】由可得，即， 所以，解得，故公比的取值范围为. 12．（2025·北京·三模）已知等比数列的前项和为，满足，.则为 ；满足的最小的整数为 . 【答案】 【解析】，， 当时，，则，， ； 是等比数列，设公比为，， ，令，则， 化简得，两边取自然对数并整理得，，故最小整数， 当时，，满足条件. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.已知数列的前项和，，则的值是 . 【答案】 【解析】设数列和的前项和分别为，则 ， 若，则，则， 显然没有出现，所以， 所以， 所以， 由两边的对应项相等可得， 解得， 所以. 14．等比数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设数列的公比为, ∵成等差数列，∴， ∴，即， ∴， （2）由（1）知 . 15．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 【答案】(1) (2)682 【解析】（1）因为，， 所以，解得（负值舍去）， 所以． （2）设的第项与的第项相等， 则，即，． 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则． 故． 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 2．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【解析】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，． (1)求，的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解析】（1）由题意，可得， 则， 由，两式相减得， 可得的公比， 进而可得， 所以. （2）由题设，为奇数时，为偶数时， 且时，， 则， 所以， 则， 所以， 且时，， 而， 所以， 综上，. 4.（2025江西六校高二下一联）已知数列满足，（） (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围； (3)记，，数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）因为， 当时，， 两式作商，， 时，也符合上式， . （2）由（1）可知 不等式对恒成立，且， ． 令，在上单调递减，在上单调递增 ，当时，， 当时，， 的取值范围为 （3）因为， 所以是递减数列， 所以，所以， 所以原不等式成立． 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 等比数列的前n项和公式 题型一 求等比数列的前n项和 1．（24-25高二下·北京·期中）设等比数列的前n项和为．若，，则（    ） A． B． C．0 D． 2．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知数列是等比数列，若，公比，则的前8项和（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）化简 . 4．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知为等比数列，，，那么的公比为 ，数列的前5项和为 . 题型二 等比数列前n项和的基本量计算 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等比数列单调递减，前n项和，，则公比（   ） A． B． C． D． 2．(多选)（25-26高三上·河南新乡·阶段练习）公比为q的等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 4．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 题型三 等比数列前n项和的性质 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 2．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 3．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）记为等比数列的前项和，若，，则 . 5．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 6．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 题型四 等比数列前n项和的函数特性 1．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24高三上·北京大兴·期中）等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ． 题型五 等比数列前n项和的实际应用 1．（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 2.(2025河南安阳高二上期末)洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 题型六 与的关系——等比数列 1．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 3．（24-25高二下·陕西·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 题型七 与等比数列有关的数列求和 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 2．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C．31 D． 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 4．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 5．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24高三上·辽宁·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 8．(多选)（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 9．(多选)（2025高三·全国·专题练习）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 10．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）设公比为的等比数列的前项和为，若，则 . 11．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和为.若，则公比的取值范围为 . 12．（2025·北京·三模）已知等比数列的前项和为，满足，.则为 ；满足的最小的整数为 . 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.已知数列的前项和，，则的值是 . 14．等比数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求，求的值． 15．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，． (1)求，的通项公式； (2)设，证明：． 4.（2025江西六校高二下一联）已知数列满足，（） (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围； (3)记，，数列的前项和为，求证：． 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $