4.3.1等比数列的概念与通项公式课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 课时1 等比数列的概念与通项公式 第四章 数列 ①1，2，4，8，16，…； ②5，52，53，···，510，….； ③9，92，93，···，910 ，….； ④100，1002，1003，···，10010 . 思考：下面几个数列有什么共同特点？ 每一项是前一项的 100 倍 每一项是前一项的 5 倍 每一项是前一项的 9 倍 每一项是前一项的 2 倍 共同规律： 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 新课导入 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示. (一) 等比数列的概念 定义的符号表示: ②等比数列中的各项均不能为0. 注：①公比可正、可负，但不能为0； 知识讲解 例1 判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项 a1 和公比 q ，如果不是，说明理由． (1) 1，3，9，27，… (2) 1，-1，1，-1，… (3) 5， 5， 5， 5，… (4) 0，0，0，0，… (5) 1，0，1，0，… (6) 1，a，a2，a3，… (7) x0，x，x2，x3，… a1=1，q=3 a1=5，q=1 a1=1，q=-1      不一定  a1=x0，q=x 当a≠0时，是等比数列，公比为a； 当a＝0时，不是等比数列. 知识讲解 练1 判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比. (1) 3，9，15，21，27，33； (2) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641； (3) 4，– 8，16，– 32，64，– 128. ≠ ，即后一项与前一项的比不等于同一个常数； = = = = 1.1 = q； q = – 2.    知识讲解 (二) 等比中项 思考：在如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成一个等比数列？ ① 2，( )，8 ； ② -12，( )，-3 . 4 或 -4 6 或 -6 若三个数a，G，b组成等比数列，则G叫做 a 与 b 的等比中项． 根据等比数列的定义，有 知识讲解 填一填： (1)2，x，8 成等比数列，则 x＝_______； (2)2，x ，8 ，-16 成等比数列，则 x＝______. (二) 等比中项 ±4 －4 【方法归纳】 ①同号的两项才有等比中项，并且有两个，它们互为相反数． ②异号的两项没有等比中项． 知识讲解 设一个等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，根据等比数列的定义， (三) 等比数列的通项公式 可得 an+1＝an · q，所以 a2 ＝a1 · q1 ， a3 ＝a2 · q ＝(a1 · q) · q ＝a1 · q2， a4 ＝a3 · q ＝(a1 · q2) · q ＝a1 · q3， ······ 归纳可得：an＝a1 · qn – 1 (n≥2). 知识讲解 (三) 等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则通项公式为 an ＝a1 · qn – 1 当 n＝1 时，a1＝a1 · q0 ＝a1 · q1 – 1，上式同样成立. 注意： ① a1≠0，q≠0； ② 公式中有四个基本量：a1，n，q，an，可“知一求三” 知识讲解 例2 在等比数列{an}中， (1)a1＝1，a4＝8，求 an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1. 【解析】 (1)∵a4＝a1 q3，∴8＝q3，所以q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1. (2)， 知识讲解 练2 在等比数列{an}中，已知a4＝2，a7＝16，求 an. 【解析】设等比数列{an}的公比为q， 由题 解得 ， ∴{an}的通项公式是 . 当堂检测 【解析】设等比数列{an}的公比为q， 由题 解得 或 ∴{an}的通项公式是 或 . 练3 在等比数列{an}中，若a2＝-1，a4＝-9，求 an. 当堂检测 例3 等比数列{an}中， ， ，则 与 的等比中项是( ) A. B. 4 C. D. 【解析】由题， ， 所以 ， ， 故 与 的等比中项为 . 知识讲解 练4 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝ ，ac＝ . 【解析】因为b是－1，－9的等比中项， 所以b2＝9，b＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3， 而b又是a，c的等比中项， 故b2＝ac，即ac＝9. 当堂检测 练5 已知 1 既是 与 的等比中项，又是 与 的等差中项，则 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 1或-1 D. 2或-2 解：由题： ，解得 ， 又 ， 所以 . 当堂检测 例4 若等比数列{an}的第 4 项和第 6 项分别为48和12，求{an}的第5项. 解法1：由 a4 ＝48，a6 ＝12，得： ②的两边同时除以①的两边，得 q2＝， 解得 q＝ 或– . 把 q＝ 代入①，得a1＝384，此时a5＝a1 · q4＝384× ＝24 因此，{an}的第5项是24或-24 把 q＝– 代入①，得a1＝-384，此时a5＝a1 · q4 ＝-384×＝-24 知识讲解 解法 2：∵ a5 是 a4 与 a6 的等比中项，∴a52 ＝a4 · a6＝48×12＝546， ∴{an}的第 5 项是 24 或 – 24. ∴ a5＝± ＝±24. 例4 若等比数列{an}的第 4 项和第 6 项分别为48和12，求{an}的第5项. 知识讲解 练6 在等比数列{an}中，a1 a3 ＝36，a2＋a4＝60，求 a1和公比 q . 解：∵a2 是 a1 与 a3 的等比中项，∴a22 ＝a1·a3＝36，即a2＝6或– 6； 又∵a2＋a4＝60，∴a4 ＝54 或 a4 = 66 ①当a2 ＝6，a4＝54 时，q2＝9，∴q＝3 或 –3，此时a1＝2或–2； 综上，a1＝2，q＝3 或 a1＝ – 2，q＝ – 3. ②当a2＝– 6，a4＝66 时，又等比数列中a2、a4 符号一致，故此情况 舍去； 当堂检测 例3.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1. 判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由． 解析：数列 是等比数列． 证明如下： ∵ ， ， ∴ ∴数列 是以1为首项，公比为2的等比数列． 等比数列的判定 知识讲解 例1 在等比数列{an}中， (2) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，若an＝1，求 n. (2)设等比数列{an}的公比为q， 由题 ，②÷①得 ， ， 又 ，所以 ，解得 . 知识讲解 判定等比数列的方法： (1)定义法： 或 (2)等比中项法： (3)通项法： 【方法归纳】 知识讲解 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？ 解：∵ ，∴ ， 作差得 ∴ ， 又 ，∴ ∴数列{an}是以-1为首项，公比为2的等比数列． 当堂检测 an＝am＋(n－m)d . m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq 类比左边，说说等比数列中会有哪些公式？ 等比数列的通项公式: 等差数列： 新 课 讲 授 例 2：已知等比数列 {an} 的公比为 q，试用 {an} 的第 m 项 am 表示 an . 典例剖析 解：由题意得：am = a1 · qm – 1 ①，an = a1 · qn – 1 ②； 的两边同时除以 ① 的两边得： = = qn – 1 – (m – 1) = qn – m， ∴ an = am · qn – m. 等比数列的通项公式推广： 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示； 即：an = am · qn – m 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 已知{an}是一个公比为 q 的等比数列，在下表中填上适当的数. 练一练 a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 50 4 0.08 16 0.0032 或 – 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：数列{an}共有 5 项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第 3 项等于 80，第 2 项与第 4 项的和等于 136，第 1 项与第 5 项的和等于 132. 求这个数列. 典例剖析 解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为 ，，80，80 + d，80 + 2d； 于是有 ， 解得 ， 或 . 所以这个数列是 20，40，80，96，112，或 180，120，80，16，– 48. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1. 等比数列的定义是什么？什么是等比中项？ 3. 仔细说说，等比数列与指数函数的关系？ 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？ 2. 等比数列的通项公式有什么意义？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 1.等比数列的概念，等比中项的定义； 2.等比数列的通项公式 ； 3.体会本堂课中涉及的数学思想． 根据以下内容回顾本课所学知识： 课堂总结 $