4.2.2等差数列的前 n 项和公式课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 课时1 等差数列的前n项和公式 第四章 数列 1. 等差数列定义: an－an-1＝d(n≥2) 4. 等差中项： 2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n – 1) d 2A＝a＋b an＝am＋(n－m)d 3. 几种计算公差 d 的方法： m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 5. 等差数列的性质： 或 或 复习导入 传说印度泰姬陵的陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(见右图)，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 新课导入 1 2 3 21 21 20 19 1 获得算法： 借助几何图形之直观性，把这个“三角形”倒置，与原图补成平行四边形. 想一想：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？ 知识讲解 ① 受此启发，我们得到下面的方法: ② 将上述两式相加，可得 知识讲解 所以，等差数列{an}的前 n 项和公式为： Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ ··· ＋ an Sn ＝ an ＋ an – 1 ＋ an – 2 ＋ ··· ＋ a1 ① ② 因为在等差数列{an}中，a1 ＋ an＝ a2 ＋ an – 1＝··· ＝an＋ a1， 所以，2Sn ＝(a1＋an) ＋ (a1 + an) ＋ ···＋ (a1 ＋an) ＝n (a1＋an). 两式相加得：2Sn ＝(a1＋an) ＋ (a2 +an – 1)＋ ··· ＋ (an＋a1) 知识讲解 等差数列的前 n 项和公式 把等差数列的通项公式 an = a1 + (n – 1)d 代入上式，得： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d，那么该数列的前n项和公式为 知识讲解 等差数列的前 n 项和公式 a1 (n-1)d a1 n a1 an n 公式记忆 结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式. 知识讲解 例1 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5，an＝95，n＝10； (2) a1＝100，d＝－2，n＝50； (3) a1＝－4，a8＝－18，n＝10； (4) a1＝14.5，d＝0.7，an＝32. 典例剖析 例1 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5，an＝95，n＝10； (2) a1＝100，d＝－2，n＝50； (3) a1＝－4，a8＝－18，n＝10； (4) a1＝14.5，d＝0.7，an＝32. 典例剖析 例1 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5，an＝95，n＝10； (2) a1＝100，d＝－2，n＝50； (3) a1＝－4，a8＝－18，n＝10； (4) a1＝14.5，d＝0.7，an＝32. 典例剖析 知识运用 1. 已知数列{an}是等差数列，结合前 n 项和公式完成下列问题： (1) 若 a1＝1，a50＝49，求 S50； (2) 若 a1＝2，a2＝4，求 S10； (3) 若 a1＝1，d ＝2，Sn ＝25，求 n. 解：(1)∵a1 ＝1，a50＝49，结合公式 Sn＝ ， ∴S50 ＝ ＝1250； 知识运用 1. 已知数列{an}是等差数列，结合前 n 项和公式完成下列问题： (1) 若 a1＝1，a50＝49，求 S50； (2) 若 a1 ＝2，a2＝4，求 S10； (3) 若 a1＝1，d ＝2，Sn ＝25，求 n. (2)∵a1＝2，a2 ＝4，∴d ＝2，结合公式 Sn ＝na1 ＋ d 可得：S10 ＝10×2＋ ×2 ＝110； 知识运用 1. 已知数列{an}是等差数列，结合前 n 项和公式完成下列问题： (1) 若 a1＝1，a50＝49，求 S50； (2) 若 a1 ＝2，a2＝4，求 S10； (3) 若 a1＝1，d ＝2，Sn ＝25，求 n. (3)把 a1＝1，d ＝2，Sn ＝25 代入 Sn ＝na1 ＋ d 得：25 ＝n ＋n(n – 1)，整理得 n2 ＝25， 解得 n＝5 或 – 5 (舍去)， 所以 n＝5 . 例2 已知一个等差数列{an}前 10 项的和是 310，前 20 项的和是1220. 求这个等差数列的首项和公差. 解：∵S10 = 310，S20 = 1220，代入公式 Sn = na1 ＋ d 即可求首项和公差， ， 解得： . 所以等差数列{an}的首项为 4，公差为 6. 典例剖析 知识运用 2. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 . 知识运用 3. 等差数列 1，3，5，···，的前 n 项的和为 100，求出 n . 解：由题意 a1 = 1，d = 3 – 1 = 2，Sn = 100 代入公式得， n×1 + ×2 = 100，整理得 n2 = 100， 解得 n = 10或 – 10 (舍)， 所以 n = 10， 即等差数列 1，3，5，···，的前 10 项的和为 100 . 知识运用 4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，求 k . 知识运用 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝an－1，a1＝4，则S5等于(　 ) A．25　　　 B．20 C．15 D．10 D 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a5＋a9＝24，则S9＝(　 ) A．36 B．72 C．144 D．70 B 解：由等差数列的性质得， a1＋a5＋a9＝3a5 =24， 则a5＝8. 解：依题意得an+1－an＝-1，故{an}是等差数列，故S5=5×4+×(-1)=10 知识运用 3．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为( ) A．8 B．16 C．4 D．0 知识运用 4．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则 n＝_____. 知识运用 5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝______. 54 知识运用 6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9. 等差数列前 n 项和公式： Sn = Sn = na1 + d 课堂总结 $