4.2.2 等差数列的前n项和公式（9大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列的前n项和 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2.（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型三 等差数列前n项和的性质 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 2．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 4．(多选)（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 6．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 题型四 等差数列前n项和的函数特性 1．（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 3．（多选）（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 4．（24-25高二下·北京大兴·期末）设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 题型五 等差数列前n项和的实际应用 1．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 3．（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 题型六 与的关系——等差数列 1．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 2．（多选）（24-25高二下·四川泸州·期中）已知数列的前项和，则下列正确的是（    ） A． B． C．取最小值时， D．为递增数列 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 题型七 等差数列奇数项或偶数项的和 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 2．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 题型八 含绝对值的等差数列前n项和 1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知数列满足为的前项和，则 . 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 题型九 裂项相消法求和 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的前99项和等于 ． 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 2．等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意正整数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某条上,则这条曲线是(　　) A B C D 3.（2025河南开封高二上期末）已知等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（   ） A． B． C． D． 4．(2025江西南昌高二下联考)设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 6．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 7.（多选）（2025 黑龙江省龙东十校联盟高二下联考）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．数列是递减数列 8．(多选)（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 9．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 10．（24-25高二下·山西长治·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 11．（24-25高二下·江西新余·期末）已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为 ． 12．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明是等差数列，并求的通项公式； (3)若，记数列的前项和为，求. 13.（2025安徽枞阳县浮山中学高二上段测）已知数列满足，且. (1)若数列满足：，求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)记数列的前n项和为，若，求n的最小值. 14．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 1．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）设的整数部分为，则数列的前21项的和为（   ） A．250 B．253 C．255 D．258 2．已知函数f(x)=x+3sin+,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 024)=(　　) A.2 024　　　　B.2 025　　　　C.4 048　　　　D.4 050 3.(2025江西抚州金溪一中月考)蚊香(如图1)具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”如图2所示.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,以AB为一边作等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,此段圆弧为第一段圆弧,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　) A.44π　　　　B.64π　　　　C.70π　　　　D.80π 4．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，则关于n的不等式：的解集为 5．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，将函数先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． (1)求的值域； (2)求的单调增区间； (3)求数列的前项和． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列的前n项和 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 【答案】C 【解析】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知数列为等差数列， 则， 解得， 即， 故选：D. 3．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【解析】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 则，即，解得， 所以. 故选：C 2.（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 3．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由， ， 可得，， 则． 故选：C. 题型三 等差数列前n项和的性质 1．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【解析】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【解析】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 4．(多选)（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 【答案】AB 【解析】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 5．（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】18 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 6．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【解析】由题意得 所以. 题型四 等差数列前n项和的函数特性 1．（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以该数列单调递减，且, 所以当时，取得最大值． 故选：A． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则， 令，因为，所以， 所以二次函数的图象关于直线对称． 又因为，可得，所以当取得最小值时，． 故选：B 3．（多选）（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】BC 【解析】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 4．（24-25高二下·北京大兴·期末）设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 【答案】3 【解析】因为数列为等差数列，设公差为，所以，所以， 由等差数列的求和公式可知，，易知当时最小. 题型五 等差数列前n项和的实际应用 1．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【解析】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 3．（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D 题型六 与的关系——等差数列 1．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 【答案】C 【解析】由. 故选：C 2．（多选）（24-25高二下·四川泸州·期中）已知数列的前项和，则下列正确的是（    ） A． B． C．取最小值时， D．为递增数列 【答案】AD 【解析】因为，令得， 当时，①，②，    由①②可得：， 因当时，，故，A对B错； 因时，单调递增，且，故为递增数列，D对； 因为，故当或时，取最小值，C错. 故选：AD. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 【解析】（1）当时，； 当时，； 经检验符合通项公式， 所以通项公式为． （2）令，则， 令得； 所以，所以最小项为. 题型七 等差数列奇数项或偶数项的和 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【解析】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 2．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【解析】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 题型八 含绝对值的等差数列前n项和 1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 2．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知数列满足为的前项和，则 . 【答案】104 【解析】，令，得， 又，所以当时，，当时，. 当时，； 当时， 综上所述， 所以. 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【解析】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 题型九 裂项相消法求和 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设公差为，则， 解得， 故， 所以， 所以的前10项和为. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的前99项和等于 ． 【答案】 【解析】设. 所以数列的前99项的和为： . 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 2．等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意正整数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某条上,则这条曲线是(　　) A B C D 【答案】C 【解析】由等差数列的前n项和公式可知Sn=na1+=n2+n,设f(x)=x2+x,当a1>0,d<0时,f(x)的图象开口向下,对称轴在y轴右侧,C符合要求. 故选C. 3.（2025河南开封高二上期末）已知等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C，，，仍然成等差数列，，化为，即 故选D. 4．(2025江西南昌高二下联考)设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以,即,解得m=5.故选B. 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】B 【解析】由题意可得，，化简， 所以，. 故选：B. 6．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 7.（多选）（2025 黑龙江省龙东十校联盟高二下联考）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．数列是递减数列 【答案】ABD 【解析】 设的公差为，又，则， 所以，即，A,B正确； ，C错误； 由，则， 所以数列是递减的等差数列，D正确.故选ABD. 8．(多选)（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 【答案】ABD 【解析】数列的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，也成立， ，故A正确； ，令，解得， 当时，，， ，故B正确； ，为开口向下的二次函数，对称轴为， ，，均为最大值，故C错误； ， 数列是首项为公差的等差数列， 数列奇数项组成的新数列是首项为，公差为的等差数列，项数为， ，故D正确． 故选：． 9．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 【答案】 【解析】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 10．（24-25高二下·山西长治·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【解析】由题意得， 所以，又， 所以， 11．（24-25高二下·江西新余·期末）已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为 ． 【答案】 【解析】，当时，， 当时，， 当时也满足，故； 又，当时，，， 当时，，，即， 是首项为，公比为的等比数列，， 数列是数列的公共项， 又，，，， ，，， ，，，，且为单调递增数列， 满足的的最大值为. 12．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明是等差数列，并求的通项公式； (3)若，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【解析】（1）因为，故，解得或， 而，故. （2）因为，故， 整理得到：，故是等差数列，且首项为，公差为， 故，而为正项数列，故，故， 故当时，，而也满足该式， 故. （3）， 故 . 13.（2025安徽枞阳县浮山中学高二上段测）已知数列满足，且. (1)若数列满足：，求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)记数列的前n项和为，若，求n的最小值. 【解析】（1）由已知， 所以，， 故是首项为，公差为的等差数列. （2）当时，， ， 又，满足上式，故. （3）由（1）知， 所以 ， 由，即，解得， 因为，所以n的最小值为32. 14．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）依题意得，当时，． 由，可得， 两式相减得， 当时，，亦符合， 所以数列是以3为首项，以4为公差得等差数列，故． （2）在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，理由如下： 由（1）可得，依题意得， 假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列， 则，即 整理得：① 又因为m，k，p成等差数列，则， 代入①式整理得： ， 即，化简得，即， 而m，k，p成等差数列，即， 又因为，，为不同的三项，，故假设不成立． 因此，在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列． 1．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）设的整数部分为，则数列的前21项的和为（   ） A．250 B．253 C．255 D．258 【答案】B 【解析】因为， 所以当时，，所以， 当时，，所以为小于1的分数，此时，所以 则数列的前21项和为. 故选:B. 2．已知函数f(x)=x+3sin+,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 024)=(　　) A.2 024　　　　B.2 025　　　　C.4 048　　　　D.4 050 【答案】A 【解析】∵f(1-x)=1-x+3sin+, ∴f(x)+f(1-x)=2. ∵an+a2 025-n=+=1,∴f(an)+f(a2 025-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 024), 则S=f(a2 024)+f(a2 023)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2 024,∴S=2 024.故选A. 3.(2025江西抚州金溪一中月考)蚊香(如图1)具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”如图2所示.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,以AB为一边作等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,此段圆弧为第一段圆弧,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　) A.44π　　　　B.64π　　　　C.70π　　　　D.80π 【答案】D 【解析】由题意可知每段圆弧所对的圆心角都是,且每段圆弧的半径依次增加1, 则第n段圆弧的半径为n,记第n段圆弧的长为an,则an=·n, 所以这15段“蚊香”的长度为×(1+2+3+…+15)=×=80π. 故选D. 4．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，则关于n的不等式：的解集为 【答案】{1} 【解析】由， 可知，，即， 又数列为等差数列，所以公差， 所以，， 由可得， 代入不等式化简可得， 解得，即， 又，所以， 故不等式的解集为. 5．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，将函数先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． (1)求的值域； (2)求的单调增区间； (3)求数列的前项和． 【解析】（1） ， 的值域为． （2），时满足，其中， 解得，最小零点为时，， 依题意有，，， 单调递增区间满足，， 单调递增区间为，． （3）由（2）可知满足，依据三角函数特性可知，一个周期内有两个零点，所以最小的两点零点为、，周期， 也即的奇数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列，的偶数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列， 也即，所以， ． 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $