精品解析：四川广元市利州区兴安初级中学2025-2026学年下学期数学九年级入学定时作业

广元市利州区兴安初中2026年春九年级入学定时作业 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 2的绝对值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. ±2 2. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 1600000000 4. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某年级7名教师某周使用人工智能（）办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3．这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 6，5 B. 5，9 C. 5，6 D. 5，5 7. 如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 9. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 因式分解：_________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 13. 如图，的度数为______． 14. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，则的面积为______． 16. 如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为___________． 三、解答题（共10小题，共96分） 17. 计算： 18. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，，BD平分交AE于点D． （1）尺规作图：过点A作BD的垂线AC交BF于点C（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 20. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度； （3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 21. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8． （1）求反比例函数的解析式； （2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标． 22. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 23. 如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 24. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ （3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 25. 是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点． （1）如图1，当点D为的中点时，点E在边上，连接．若，，求的长； （2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线上一点，且．求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．连接，当的值最小时，直接写出的面积． 26. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市利州区兴安初中2026年春九年级入学定时作业 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 2的绝对值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：2的绝对值就是在数轴上表示2的点到原点的距离，即|2|=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 2. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3. 银江水电站位于攀枝花市境内金沙江与雅砻江交汇处附近，每年可为国家电网输送约16亿千瓦时的清洁能源．16亿可用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 1600000000 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为比原整数位数少1的整数进行表示即可． 【详解】解：16亿； 故选B． 4. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，不合题意； C.不是轴对称图形，不合题意； D.是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 某年级7名教师某周使用人工智能（）办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3．这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 6，5 B. 5，9 C. 5，6 D. 5，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的计算．众数是数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大或从大到小排列后处于中间位置的数． 【详解】解：将原数据从小到大排列为：2，3，5，5，5，6，9． 数据中5出现3次，次数最多，故众数为5． 共有7个数据，中位数为第4个数（即中间位置的数），排序后第4个数为5． 因此，众数和中位数分别为5和5， 故选D． 7. 如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 9. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A，点B 代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④． 【详解】解：∵抛物线开☐向下， ∴，故①错误， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 设点B坐标为 ∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为， ∴，解得：， ∴点B的坐标为，故②正确， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ ∴由得，即，故③正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，时函数最大值， 当时，， ∴，即， 综上所述：正确的结论有②③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用和二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性是解题关键． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 13. 如图，的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 14. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】1≤x≤2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣1≥0， 解得x≤2，x≥1， ∴1≤x≤2． 故答案为：1≤x≤2． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键． 设，根据题意表示出点，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过矩形的顶点， 设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为，代入反比例函数解析式得， 点横坐标为， 点横坐标为代入反比例函数解析式，， ， ， 故答案为：． 16. 如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、交于点，过点作，交于点，先证明是等边三角形，垂直平分，求得，，再解三角形求出，，最后运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图：连接、交于点， 又∵，， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 过点作，交于点， ∴， ， ， ∴， ∴． ∴在中，． 故答案为：. 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键． 三、解答题（共10小题，共96分） 17. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 19. 如图，，BD平分交AE于点D． （1）尺规作图：过点A作BD的垂线AC交BF于点C（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)按照尺规作图的基本步骤画图即可． (2)根据四边形相等的四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 根据尺规作图，画图如下： ． 【小问2详解】 如图，连接AC，CD，设AC，BD交于点M． ∵，BD平分， ∴∠ABD=∠CBD=∠ADB，∠DAC=∠BCA， ∴AB=AD， ∵AC⊥BD， ∴∠BAC=∠DAC，直线AC是BD的垂直平分线， ∴∠BAC=∠BCA，CB=CD， ∴AB=BC， ∴AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了垂线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 20. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度； （3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 【答案】（1），详见图示； （2），，； （3）； 【解析】 【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可； （2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数； （3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 本次调查的学生总数：（人）， D、书法社团的人数为：(人)，如图所示 故答案为：50； 【小问2详解】 由图知，， ∴，参加剪纸的圆心角度数为 故答案为：20，10， 【小问3详解】 用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下： 共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛， 故恰好选中小鹏和小兵的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率． 21. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8． （1）求反比例函数的解析式； （2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，可得，结合的面积是8．可得，从而可得答案； （2）先求解，，可得直线为，联立，再解方程组即可． 【小问1详解】 解：∵点A在反比例函数的图象上， ∴设， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， ∵的面积是8． ∴， 解得：； ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 ∵点A的横坐标为2时， ∴，即， 则， ∵直线过点C， ∴， ∴， ∴直线为， ∴， 解得：或，经检验，符合题意； ∴或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键． 22. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】36m 【解析】 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键． 23. 如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，解直角三角形的计算，掌握切线的判定，锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意得到，，平分，，得，，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得到，由平行线截线段成比例得到，解得，则，根据，得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ （3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元 （2）45副 （3）购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元 【解析】 【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可； （3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解， （元）， 答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元； 【小问2详解】 设该商店购进A种羽毛球拍m副， 根据题意，得， 解得，m为正整数， 答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副； 【小问3详解】 设总利润为w元， ， ∵， ∴w随着m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大利润为（元）， 此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副）， 答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键． 25. 是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点． （1）如图1，当点D为的中点时，点E在边上，连接．若，，求的长； （2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线上一点，且．求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．连接，当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作于F，可得出，从而，从而，从而解得，进一步得出结果； （2）在上截取，连接，可推出，从而，，进而可证明，从而得出，进一步得出结论； （3）在上截取，连接，可证得，从而，从而得出，从而得出点N在过W且与垂直的直线上l运动，作点关于l的对称点，连接交l于点N，直线l交于I，交于X，可推出是等边三角形，从而，进而得出得值，可求得得值，进而求得，从而求得，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：（1）如图1，作于F， ∵是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在过W且于垂直的直线l上运动， 如图4，作点B关于l的对称点，连接交l于点N，直线l交于I，交于X， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 26. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①当时，有最大值，最大值为；②或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点，与直线交于点 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②设直线与x轴交于H， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则 ∴点G为的中点， 由（2）得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点E的纵坐标为5， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 如图3-3所示，当时，过点C作于G， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴ 综上所述，点E的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $