精品解析：云南保山市第八中学等校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二期末考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占50%，选择性修第一册，选择性必修第二册第四章占50%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 3. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 6. 图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某科技馆内有一个半径为的球形展柜，若在展柜内部放置一个正四面体模型，则该正四面体模型的体积的最大值为（不考虑展柜的厚度）（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 4是的一个周期 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______． 13. 已知，则的最小值是_________． 14. 一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积． 17. 如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. （1）求，的值； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 19. 已知椭圆长轴长为，且点在上． （1）求的方程． （2）若斜率为1的直线与交于A，B两点，求|AB|的最大值． （3）过点的直线交于P，Q（异于的左、右顶点）两点，直线PT，QT分别交直线于点M，N，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占50%，选择性修第一册，选择性必修第二册第四章占50%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以． 2. 若向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，且， 所以，所以． 3. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由方程表示双曲线，得或，则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件． 4. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，， 所以11，解得． 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和举反例验证的方法进行判断即可. 【详解】当时，，，则A，B均不符合题意． 因为，所以，所以，C符合题意． 当，，时，，D不符合题意． 6. 图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 7. 函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质和分段函数的单调性列出不等式组，进而求解即可. 【详解】由题意可知是上的单调函数，而指数函数是增函数， 则，解得． 8. 某科技馆内有一个半径为的球形展柜，若在展柜内部放置一个正四面体模型，则该正四面体模型的体积的最大值为（不考虑展柜的厚度）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四面体的结构特征和体积公式计算即可. 【详解】当正四面体模型的所有顶点都在球形展柜的表面上时，该正四面体模型的体积最大， 设此时该正四面体模型的棱长为，则该正四面体模型的高为． 设该球形展柜的球心到正四面体模型的一个面的距离为，球的半径为， 则，解得， 故该正四面体模型的体积的最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 则或． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建系，利用空间向量线面关系的证明方法可判断AB；利用三棱锥体积的计算方法可判断C；利用空间向量线面角的计算方法可判断D. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设平面的法向量为， 则即 取，可得. ， 所以与平面不平行，A错误； ， 所以平面正确； 三棱锥的体积即三棱锥的体积， 其值为，C正确； ， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确． 故选：BCD 11. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 4是的一个周期 D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得是定义在上奇函数，结合，求得，可判定A错误；由的图象关于对称，得到的图象关于轴对称，可判定B正确；推得，可判定C正确；由的图象关于点对称，且关于直线对称，得到的图象关于点对称，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，可得的图象关于对称，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 因为，所以，所以A错误； 对于B，因为的图象关于对称，所以的图象关于轴对称， 所以是偶函数，所以B正确； 对于C，因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以函数是以为周期的周期函数，所以C正确； 对于D，因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于点对称， 因为的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的公式求解即可. 【详解】由题意可得，这120个零件的合格率是． 故答案为：. 13. 已知，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 14. 一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反射光线所在直线的方程，然后求出圆心到的距离的表达式，然后根据题意列出不等式，求解不等式的解集即可. 【详解】当时，反射光线所在直线方程为，该直线与圆不相交，不符合题意； 当时，由题可知反射光线所在直线经过点， 则直线的方程为，即． 依题意得圆的圆心到的距离，解得． 故的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，． 由，得，即， 解得或，即不等式的解集为． 【小问2详解】 因为开口向上，在区间上的最大值必在端点处取得， 所以要使对于任意的恒成立，需满足， 即， 解不等式组得，所以， 即的取值范围为． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦二倍角公式辅助角公式先化简，然后利用正弦型函数单调性求解即可； （2）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 令， 解得，即的单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1）可得，则， 因为，所以，则，解得， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以． 17. 如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，应用向量法求点面距离； （3）结合（2）求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为，分别是棱，的中点，所以，， 因为，所以， 因为，是线段中点，，所以， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，且，所以平面， 因为，所以平面； 【小问2详解】 以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题中数据得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 故点到平面的距离是； 【小问3详解】 由（2）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值是. 18. 某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为. （1）求，的值； （2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，） 【答案】（1）2210，2331 （2）证明见解析， （3）第9年 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，进而求得. （2）根据题意列出的递推关系式，然后变形化简得到是以1000为首项，为公比的等比数列，最后根据等比数列的通项公式计算即可. （3）根据（2）的结论列出不等式，然后求解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得，则， ， ． 小问2详解】 由题意可得，所以． 因为，所以， 所以是以1000为首项，为公比的等比数列， 则，即． 【小问3详解】 由（2）得，则，即2， 两边取常用对数得， 所以， 则该牧场第9年年初羊的存栏数超过3000． 19. 已知椭圆的长轴长为，且点在上． （1）求的方程． （2）若斜率为1的直线与交于A，B两点，求|AB|的最大值． （3）过点的直线交于P，Q（异于的左、右顶点）两点，直线PT，QT分别交直线于点M，N，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是，1 【解析】 【分析】（1）根据长轴长为求出，再将代入求出，从而得到椭圆方程. （2）设直线方程与椭圆联立，由判别式确定范围，用韦达定理和弦长公式求关于的表达式，进而求得最大值. （3）设直线方程与椭圆联立，求出M，N纵坐标，得出，几何韦达定理化简结果. 【小问1详解】 根据题意可得，所以． 将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 设的方程为． 由得， 由，得， ， 所以， 当时，|AB|取得最大值，最大值为． 【小问3详解】 设直线． 由得， 设． ，得． 直线PT的方程为， 令，得， 同理可得，， 所以． 因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $