4.1.3 三角形的中线、角平分线、高-课件--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 4.1.3 三角形的中线、角平分线、高 第四章 三角形 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月8日 2026年3月8日星期日12时55分9秒 2026年3月8日星期日12时55分10秒 新课导入 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。说说你的想法，并于同伴进行交流。 点击视频观看→ 观察 ∠AFB 或线段 AF 的大小有什么特殊的？ 探究点一：三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高. A B C F AF⟂BC 【知识要点】 活动1：每人准备一个锐角三角形纸片. (1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？ (2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部. 如图所示. 议一议：在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形. (1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？ (2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？ A B C D A B C D E F （1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点. （2）只能折出 其中一条高，画出如图： A B C D F (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流. O E 钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 三角形的三条高所在的直线交于一点. 1. 分别指出图中 △ABC 的三条高. 直角边 BC 上的高是 ； 直角边 AB 上的高是 . (1) 斜边 AC 上的高是 ； AB CB BD (2) AC 边上的高是 ； AB 边上的高是 ； BC 边上的高是 ； BF CE AD 【练一练】 第(1)题图 第(2)题图 点击视频观看→ 观察 FB 与 CF 的长度有什么特殊的？ 探究点二：三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. 如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线. B A C BE = EC E 让我们先看看三角形的中线有什么特点. 【知识要点】 活动2：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系? 三条中线， 相交于一点 (2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流. 三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心. 归纳总结： 重心 (3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断 △ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？ B C D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. (4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？ 三角形的中线能将三角形的面积平分. 例1 如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AD 是△ABC的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 AB＝____cm. 提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长之差. 7 B A C D 解析：因为 CE 是△ACD 的中线， 例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2. 12 所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC， 即 S△ADC = 6 cm2. 又因为 AD 是△ABC 的中线， 所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC， 即 S△ABC = 12 cm2. 点击视频观看→ 观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊的？ 探究点三：三角形的角平分线 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线. ∠1 =∠2 【知识要点】 活动3： 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸 片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？ (2) 你能用折纸的办法得到它们吗？ (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系？ B A C （1）用量角器画最简便，用圆规也能. （2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 即为∠BAC 的平分线. A B C D D 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形角平分线的特征 【归纳总结】 解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°， 例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数. B D A C 所以∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°， 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 2. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 上一点，CF 交 AD 于 H，判断下列说法的正误. ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H （1）AD 是△ABE 的角平分线. ( ) （2）BE 是△ABD 的边 AD 上的中线. ( ) （3）BE 是△ABC 的边 AC 上的中线. ( ) × × × 三角形中 几条重要线段 角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段 高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段. 课堂小结 1. 下列图形中，线段 BD 是 △ABC 的高的是( 　) C 当堂检测 随堂练习 2. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝74°， AD是角平分线，则∠BAD的度数为(　B　) A. 24° B. 30° C. 37° D. 45° B 3. 如图，AD是△ABC的中线，若AB＝5 cm， AC＝3 cm，则△ABD与△ACD的周长之差是(　B) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 5 cm B 随堂练习 4. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC 边上的中线，AC＝10 cm，则AE＝ cm.若 ∠ABD＝30°，则∠ABC＝ ⁠°. 5　 60　 随堂练习 第6题图 5. 如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AB＝7，BC＝8，AD＝6.则CE＝ ⁠. 　 6. 如图，AD是 △ABC 的中线，CE是 △ACD 的中线.若 S△ACE＝3cm2，则S△ABC＝ . 12cm2　 第5题图 随堂练习 7. 如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE 的度数. 解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB ＝180°－30°－110°＝40°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×40°＝20°. ∵∠B＝30°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°. ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°. 随堂练习 知识点1 三角形的高 1.如图， 。 （第1题） （1）在中， 边上的高是____； （2）在中， 边上的高是____； （3）在中， 边上的高是____。 中考考法 29 2.如图，已知，为边上的高，若 ，则 的度 数为_____。 （第2题） 中考考法 30 3.如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，， 均在 小正方形的顶点上。 中考考法 31 （1）画出的边上的高 ； 解：如图， 即为所求。 （2） 的面积为____。 12 中考考法 32 知识点2 三角形的中线 （第4题） 4.如图，已知是的中线，，则 的 长为( ) B A.4 B.5 C.6 D.8 中考考法 33 5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，， ， ，均在小正方形的顶点上，则 的重心是_____。 点 （第5题） 中考考法 34 6.如图，在中，是边上的中线，的面积是 ， 则的面积是____ 。 12 （第6题） 中考考法 35 7.[绍兴月考] 如图，已知为的中线， ， ，的周长为，则的周长为____ . 22 中考考法 36 知识点3 三角形的角平分线 （第8题） 8.[北京朝阳区月考] 如图，若是 的角平分线， 则下列结论不正确的是( ) C A.平分 B. C. D. 中考考法 37 （第9题） 9.如图，是的角平分线,是 的角平 分线,若 ,则 的度数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 38 $