精品解析：浙江省新阵地教育联盟2026届高三第二次联考数学试题

浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考 数学试题卷 命题：鄞州中学 茹威豪等 审题：嵊州中学 吕金晶 台州一中 陈亚菲 校稿：李慧华、王军民 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 或，所以. 所以. 2. 已知向量，，若，则x的值为（ ） A. 6 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平面向量垂直的坐标运算公式计算求解参数. 【详解】因为向量，，且， 所以， 所以， 得. 3. 已知平面互相垂直，则下列正确的是（ ） A. 若直线 ，则 B. 若直线 ，则 C. 内有无数条直线与平行 D. 内的所有直线与都垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行判定和面面平行判定，以及面面垂直判定，逐项判断，即可求得答案. 【详解】选项A：若，可能与相交，也可能在内，不一定有，A错误； 选项B：无法推出，可以平行或与相交或者垂直，B错误； 选项C：根据线面平行的判定定理，内所有平行于交线的直线都与平行，这样的直线有无数条，C正确； 选项D：内平行于交线的直线与平行，并非所有直线都垂直，D错误. 由图可知ABD错误. 【点睛】 4. 已知是定义在 上的奇函数，满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果. 【详解】将中的替换为 可得， 则， 用替换，即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在 上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 5. 数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先证必要性，由“数列为常数列”出发，得出“数列为等差数列”；再证充分性，由“数列为等差数列”，设公差为 ，，得出当 时，数列不是常数列，即可得出答案. 【详解】若数列为常数列，则设 ，所以 ， 于是 ，所以为等差数列； 即“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要条件； 若数列为等差数列，设公差为 ， ， 于是 ， ， 当 时，数列不是常数列， 所以“数列为等差数列”不是“数列为常数列”的充分条件； 综上所述，“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】注意充分性及必要性的证明，利用等差数列，常数列的相关知识，特别是当 时，数列不是常数列. 6. 一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干可列出，，结合全概率公式列出等式即可求解. 【详解】设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件， 根据题意，，，. 根据全概率公式，，代入已知， 得：，解得. 7. 已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，因为，所以，所以，所以，所以，选项与此矛盾. 8. 已知，曲线，则（ ） A. 当， 时，曲线C表示两条直线 B. 当， 时，曲线C表示圆 C. ，曲线C过原点 D. ，曲线C不能表示抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B选项，讨论为奇数和偶数的不同情况，来判断正误；利用反证法判断C选项；根据抛物线的方程特征来判断D选项. 【详解】A选项：当时，当为偶数时，，方程化为，即 ，确实是两条直线； 当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示两条直线， 因此A错误； B选项：当时，当为偶数时，，方程化为，表示圆； 当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示圆，故B错误； C选项：若曲线过原点 ，代入方程得，即，矛盾，不存在这样的，故C错误； 抛物线的方程特征是：仅含一个二次项，另一变量为一次项， 而本题方程中，和都是二次项，若要表示抛物线，必须有一个二次项系数为0， 若，则，方程为，仅能表示两条直线或无实轨迹； 若，则，方程为，也仅能表示两条直线或无实轨迹， 因此对任意，曲线都不能表示抛物线，故 D正确. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，其中，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误. 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 10. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求得  处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是 的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若 在单调递增，则 在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得 ，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项. 【详解】在中，，故， 代入原式得：  ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先出展开式的通项，令指数等于，求得的值，即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 令可得， 所以常数项为， 故答案为：. 13. 已知椭圆 ，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，化简得， 解得，因为， 所以，即，解得． 所以该椭圆的离心率的取值范围是． 14. 已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球与圆锥的侧面、底面均相切．球与球外切，且与圆锥的侧面相切．球心位于圆锥的顶点和之间，则球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，利用面积法及相似三角形性质求出球的半径即可. 【详解】依题意，圆锥的轴截面截球得球的大圆，且为圆锥轴截面等腰 的内切圆， 截球得球的大圆，该圆与圆外切，与 都相切，设球、球的半径分别为， 在等腰 中，，则边上的高， 由，得，解得， 显然圆可视为 平行于的中位线截 所得小三角形的内切圆，而此小三角形与 相似， 因此，解得，所以球的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面， ，为线段中点，为线段上的动点． （1）证明：平面 平面； （2）设直线 与平面所成角为 ，求 的取值范围． 【答案】（1）因为 ，且为线段中点，所以． 又因为底面，平面，所以． 而 ，且，因此平面 而平面，因此． 又因为，所以平面． 而平面，所以平面 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面 平面. （2）方法1：先确定 为直线 与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求 的取值范围. 方法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角正弦的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由（1）可知直线 与平面所成角为 ， 因此 不妨设 ，则 ， 所以 法二：以为原点， ，， 所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐标系． 不妨设，设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面的一个法向量 ， ，即，令 ，则 ， 则 ， 因此 . 16. 如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，． （1）当时，求的长度； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理计算求解； （2）先应用正弦定理计算，结合两角和余弦公式化简应用面积公式计算求解最值. 【小问1详解】 因为，且，所以 易知，且，故， 所以 【小问2详解】 因为，所以． 又因为，所以． 故， 因此 而． 此时．故面积的最小值为 17. 为研究主、客场比赛是否影响自身的发挥，甲统计在主、客场进行的150场比赛，得到如下列联表： 场地 胜负情况 合计 胜 负 主场 60 40 100 客场 20 30 50 合计 80 70 150 （1）根据小概率值的独立性检验，分析胜负情况是否与主、客场有关； （2）用上述胜负的频率估计甲在两个场地胜负的概率．现在甲进行n场比赛，规定：若甲胜，则下一场比赛在甲的主场进行；若甲负，则下一场比赛在甲的客场进行．第一场比赛在甲的主场开始，记第k场比赛甲获胜的概率为． ①求； ②记，求． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为胜负情况与主、客场有关 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）求出卡方，结合独立性检验思想方法判断即可. （2）①根据题意求出，再结合等比数列化简即可. ②结合分组求和法、错位相减法求和即可. 【小问1详解】 零假设：胜负情况与主、客场无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为胜负情况与主、客场有关，该推断犯错的概率不超过0.05． 【小问2详解】 ①根据题意，由频率估计概率，可得甲在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为． 第场获胜的概率，可能存在两种情况，即第 场甲胜或甲负， 所以，即， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以． ②， 记，则， 两式相减得， 故， 则. 18. 已知双曲线的离心率为，且过点，O为坐标原点．设点，过P作C的两条切线，（其中直线的斜率小于直线的斜率）． （1）求双曲线C的方程； （2）求，的直线方程； （3）平面上一动点，过A作C的两条切线，，与双曲线的左支切于点E，与双曲线的右支切于点F，与交于点M，与交于点N．求直线EF与直线MN的交点Q的轨迹方程． 【答案】（1） （2），的直线方程为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，代入点可得 ， ，即可得双曲线方程； （2）设过的切线方程为 ，联立方程结合判别式可得，即可得切线方程； （3）设直线，联立方程结合判别式可得，求交点坐标 ，以及交点Q的坐标，即可得轨迹方程. 【小问1详解】 因为，则， 将点代入双曲线方程得，解得 ， ， 故双曲线方程为 . 【小问2详解】 设过的切线方程为 ， 联立方程，消去y得， 则，解得， 故，的直线方程为． 【小问3详解】 已知，设直线， 联立方程，消去y得， 则，即， 且， 可得，即， 则，切点， 且，即 当斜率不存在时，切线方程，切点，则， 联立方程，解得， 联立方程，解得， 则， 可得． 联立方程，解得， 故交点的轨迹为． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性； （2）当 时，设正项数列，其中为函数从小到大的第n个极值点， ①证明：数列为等比数列； ②证明：． 【答案】（1）单调增区间为，无减区间 （2） ，设，， 则当时，， 当或时，， 故或为极值点. 所以，,, 因此， 又因为，故，所以为等比数列 ②由题意，， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ； 综上所述 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，再对函数求导，将导数整理为含三角函数的表达式，结合的条件分析导数的正负，进而判断单调区间； （2）①先根据极值点的定义，令导数为0求出极值点的表达式，再代入 得到的表达式，最后验证相邻两项的比值为非零常数即可. ②先写出和的表达式，代入绝对值内整理，再结合 的条件，利用均值不等式进行放缩证明即可. 【小问1详解】 已知的定义域为． 而，故，故 ． 因此函数的单调增区间为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考 数学试题卷 命题：鄞州中学 茹威豪等 审题：嵊州中学 吕金晶 台州一中 陈亚菲 校稿：李慧华、王军民 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则x的值为（ ） A. 6 B. 2 C. D. 3. 已知平面互相垂直，则下列正确的是（ ） A. 若直线 ，则 B. 若直线 ，则 C. 内有无数条直线与平行 D. 内的所有直线与都垂直 4. 已知是定义在 上的奇函数，满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，曲线，则（ ） A. 当， 时，曲线C表示两条直线 B. 当， 时，曲线C表示圆 C. ，曲线C过原点 D. ，曲线C不能表示抛物线 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，其中，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为1 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为_____ 13. 已知椭圆 ，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______． 14. 已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球与圆锥的侧面、底面均相切．球与球外切，且与圆锥的侧面相切．球心位于圆锥的顶点和之间，则球的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面， ，为线段中点，为线段上的动点． （1）证明：平面 平面； （2）设直线 与平面所成角为 ，求 的取值范围． 16. 如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，． （1）当时，求的长度； （2）求面积的最小值． 17. 为研究主、客场比赛是否影响自身的发挥，甲统计在主、客场进行的150场比赛，得到如下列联表： 场地 胜负情况 合计 胜 负 主场 60 40 100 客场 20 30 50 合计 80 70 150 （1）根据小概率值的独立性检验，分析胜负情况是否与主、客场有关； （2）用上述胜负的频率估计甲在两个场地胜负的概率．现在甲进行n场比赛，规定：若甲胜，则下一场比赛在甲的主场进行；若甲负，则下一场比赛在甲的客场进行．第一场比赛在甲的主场开始，记第k场比赛甲获胜的概率为． ①求； ②记，求． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知双曲线的离心率为，且过点，O为坐标原点．设点，过P作C的两条切线，（其中直线的斜率小于直线的斜率）． （1）求双曲线C的方程； （2）求，的直线方程； （3）平面上一动点，过A作C的两条切线，，与双曲线的左支切于点E，与双曲线的右支切于点F，与交于点M，与交于点N．求直线EF与直线MN的交点Q的轨迹方程． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性； （2）当 时，设正项数列，其中为函数从小到大的第n个极值点， ①证明：数列为等比数列； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $