精品解析：安徽省潜山中学2025-2026学年高二下学期期初适应性训练数学试题

25-26学年高二第二学期期初适应性训练 （数学学科） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线在y轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 4. 已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 C. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 D. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是 10. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率e的取值范围为 B. 当离心率时，的最大值为 C. 存在点Q使得 D. 当离心率不小于时，的最小值为 11. 设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列的前项和为 B. 数列为递增数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的最大项为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是__________. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 14. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． （1）若，求的值； （2）求线段的长． 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过原点作圆的切线，求直线的方程； （3）求直线被圆所截得的弦长． 17. 如图1，在平面四边形中，，，，，过点D作，垂足为.如图2，将三角形沿折起，使得点到达点处，且. （1）证明：； （2）若点F为线段上的点（不含端点），是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求； （2）若，求数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）若曲线的方程为. （i）求经过伸缩变换后所得到曲线的标准方程； （ii）设曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与曲线交于M，N两点，直线与交于点T，证明：点T在一条定直线上； （2）已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设，，.求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年高二第二学期期初适应性训练 （数学学科） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程先求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 直线的斜率为，即，所以. 故选：C 2. 直线在y轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令直线方程中的求得的值即是直线在y轴上的截距. 【详解】由，令得. 即直线在y轴上的截距为. 故选：A. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆和圆位置关系的判断方法即得. 【详解】由两圆的方程可知，圆心坐标依次为：，，半径依次为， 则，由，可得两圆相交. 故选：C. 4. 已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式，然后由裂项相消法求和即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得 则 所以 则 故选：A 5. 已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基底表示结合向量的数量积和模长的计算即可. 【详解】， 所以， 因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ∵，， ∴数列为递减数列， ∴，，， 由得，即， ∴， ∴使的最小的的值为. 故选：D． 8. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到点到定点的距离与到定直线的距离比为，即可得到. 【详解】因为， 所以， 表示点到定点的距离与到定直线的距离比为， 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 C. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 D. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项由方向向量的定义判断；B选项分过原点与不过原点两种情况求截距满足2倍关系的直线；C选项用投影向量公式计算；D选项用点到直线距离公式计算验证. 【详解】对于A，直线的斜率为， 故是直线的一个方向向量，故A正确； 对于B，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故B错误； 对于C，，， 在方向上的投影向量为，故C正确， 对于D，，是直线的一个单位方向向量， ∴点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率e的取值范围为 B. 当离心率时，的最大值为 C. 存在点Q使得 D. 当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点在椭圆内部求得的范围，从而解得离心率范围即可判断A；由离心率求得，再利用椭圆定义，数形结合求得的最大值；根据可得，结合选项A中所得的范围即可判断；利用均值不等式以及椭圆定义，即可求得的最小值. 【详解】因为长轴长为4，所以，即；因为点在椭圆内部， 所以，又，故可得. 对于选项A：因为，故，，故A正确； 对于选项B：当，即，解得，所以， 则； 由椭圆定义：， 如图所示：当点，，共线且在轴下方时，取最大值， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：若，则 由A选项知，，，， 所以， 所以不存在使得，故C不正确； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 故选：ABD. 11. 设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列的前项和为 B. 数列为递增数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的最大项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得，结合，得数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式，可得，结合求数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：由，得， ，即， 又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列， 则，可得，故正确； 当时，， ，数列的最大项为，故错误，正确． 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用焦半径公式可求的横坐标. 【详解】抛物线的方程为，故且焦点为， 设，则到焦点的距离， 故， 故答案为：4. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，对于抛物线，抛物线上的动点到焦点的距离为，注意该公式的合理使用. 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 14. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用椭圆与双曲线的性质、以及余弦定理，求得，得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值，即可得到答案. 【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． （1）若，求的值； （2）求线段的长． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， ． 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过原点作圆的切线，求直线的方程； （3）求直线被圆所截得的弦长． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据求得参数，进而得到圆的标准方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据直线与圆相切求得直线的方程； （3）根据直线与圆相交，几何法求解弦长； 【小问1详解】 设圆心，，， 解得，∴圆心，半径， ∴圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线恰与圆相切； 当直线斜率存在时，设，即． 由圆心到直线的距离，可得， 则，即． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， ． 17. 如图1，在平面四边形中，，，，，过点D作，垂足为.如图2，将三角形沿折起，使得点到达点处，且. （1）证明：； （2）若点F为线段上的点（不含端点），是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，连接，再由线面垂直的判定定理证明平面可得； （2）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【小问1详解】 由题意得，又． 为平面内两条相交直线， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，又有公共边， 所以与全等， 所以，， 如图，连接，则． 因为，，平面PCE， 所以平面． 因为平面，所以． 【小问2详解】 由（1）知平面，且平面BCDE， 所以，．又， 所以两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图2的空间直角坐标系，如图1，过作， 由（1）知为等边三角形，所以， 因为，所以， 所以，即，则，，， 设，则，所以， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则即， 取，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 化简可得， 解得或，又， 故不存在点F满足直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将原式化简后两边同除可得等差关系，利用数列的通项解出； （2）由（1）结果，利用求出，进而求出，再用错位相减法求解； 【小问1详解】 依题意， 故， 故是以2为公差的等差数列. 而， 又，解得， 故的首项为3， 则， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，； 当时， 也满足该式，故， 故， 则， 两式相减得，， 故 19. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）若曲线的方程为. （i）求经过伸缩变换后所得到曲线的标准方程； （ii）设曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与曲线交于M，N两点，直线与交于点T，证明：点T在一条定直线上； （2）已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设，，.求数列的前n项和. 【答案】（1）（i）；（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）设上任意一点，利用点在上，求得轨迹方程；（ii）设直线，，，与椭圆联立方程组，结合韦达定理可得，，求得直线的直线方程，设点，求得的坐标，法一：结合韦达定理计算可得，可得结论.法二，利用，可得，可得结论. （2）利用伸缩变换求得的方程为，进而得，利用累乘法求得，进而利用错位相减法求得. 【小问1详解】 （i）设上任意一点，则点在上， 由题意得，化简得，所以曲线的标准方程为； （ii）设直线，，， 联立直线与，，化简得， ，， 直线，直线， 设点，则， 两条直线方程相除，可得 法一： 即，解得，即点T在直线上； 法二：，， 即，解得，即点T在直线上. 【小问2详解】 设上的点经过伸缩变换后得点， 则代入的方程，得 则的方程为，则 因为，，所以， 又，所以当时， ， 又符合上式，所以，所以， ， ， 两式作差可得 ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $